図形の回転移動と通った部分の面積の解き方と公式｜大きいおうぎ形−小さいおうぎ形・正方形と長方形の回転【中学受験】

ハルちゃん

辺ABが通った部分って曲がった形だよ。どうやって面積を出すの？

合格先生

大きいおうぎ形から小さいおうぎ形を引けばいい。回す前と後の三角形の部分は同じ形で、打ち消しあうからだ。

回転移動で通った部分の面積

図形を1つの点のまわりに回すと、図形の各点は円の弧をえがきます。だから通った部分は、おうぎ形を組み合わせた形になります。いちばん大事なのは次のきまりです。

図形全体が通った部分は、「回す前の図形の一部＋おうぎ形＋回した後の図形の一部」に分けて考えます（下の例題3）。

なぜ「おうぎ形−おうぎ形」になるのか

上の図で、辺 AB が通った部分を見ます。そのままでは曲がった形ですが、次のようにたして、ひくと考えます。

1. まず、半径 CA のおうぎ形から半径 CB のおうぎ形を取りのぞいたドーナツ形の一部（だいだい色）を考えます。
2. 辺 AB が通った部分は、これに、三角形 ABC の中で半径 CB の円より外にある部分（緑）をたし、回したあとの三角形 A′B′C の中の同じ部分（赤のわく）をひいた形です。
3. 三角形 A′B′C は三角形 ABC を回しただけなので、緑の部分と赤のわくの部分はまったく同じ形。たした分とひいた分が打ち消しあいます。

だから面積は「大きいおうぎ形−小さいおうぎ形」です。辺 AB の長さ（8cm）は使いません。

別の見方：辺 AB の上の点は、C からの長さが 6cm から 10cm まで1つずつあります。どの点も同じ90°だけ弧をえがくので、通った部分は、半径 6cm〜10cm の弧を全部集めた形＝ドーナツ形の一部と同じ面積になります。

式で書くと、角度を $a$ 度として

と3.14 をまとめて計算すると速くなります。

中学受験（算数）での使い方

よくある間違い

合格先生

辺の長さを半径にしてはいけない。半径は回す中心からいちばん遠い点、いちばん近い点までの長さだ。

• 辺の長さを半径にする：半径は「回す中心からの長さ」。例題1では辺 AB（8cm）ではなく、CA（10cm）と CB（6cm）を使います。
• いちばん近い点をまちがえる：1回転なら、辺のとちゅうに中心からいちばん近い点（垂線の足）があるときは、その長さが $r$ です。頂点だけを見ないようにしましょう。
• 図形全体と辺をごっちゃにする：「辺が通った部分」はおうぎ形の差、「図形全体が通った部分」は、回す前と後の図形の一部も入ります。

練習問題

まなぶくん

3.14 はまとめて最後にかけるよ！

1. 中学受験 回す中心から、いちばん近い点までが 2cm、いちばん遠い点までが 5cm の辺（どちらも辺のはし）を、120°回転させました。辺が通った部分の面積は？（円周率3.14）
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   $(5\times5-2\times2)\times3.14\times\dfrac{120}{360}=21\times3.14\div3=7\times3.14=21.98$（cm²）
2. 中学受験 1辺 6cm の正方形を、1つの頂点を中心に90°回転させました。正方形全体が通った部分の面積は？（円周率3.14）
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   対角線×対角線＝$6\times6\times2=72$。三角形2つで $36$、おうぎ形 $72\times3.14\div4=56.52$。合わせて $92.52$（cm²）
3. 中学受験 角 B が直角で、CB＝3cm、CA＝5cm の直角三角形 ABC を、点 C を中心に180°回転させました。辺 AB が通った部分の面積は？（円周率3.14）
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   $(5\times5-3\times3)\times3.14\div2=8\times3.14=25.12$（cm²）

関連する公式

• おうぎ形の面積と弧の長さ
• 円の面積と円周の長さ
• 図形が通過する範囲
• 図形の移動と転がる円
• 3.14の計算のくふう
• 図形の移動（平行・回転・対称移動）

よくある質問

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