ハルちゃん
「こ」と「げん」、どっちが曲がってる線でしたっけ？
合格先生
弓を思い出そう。曲がった木の部分が弧、ピンと張った糸が弦だよ。楽器の「弦」も、まっすぐ張った糸だね。
この用語のポイント
- 弧＝円周の一部（曲線）、弦＝2点を結ぶ線分（まっすぐ）
- 弧の長さは （ は中心角）
- いちばん長い弦は直径。弦の垂直二等分線は中心を通る
やさしく言うと
円の上に2つの点A・Bをとります。2点の間の円周の部分（曲がった線）が弧、2点をまっすぐ結んだ線分が弦です。身近なものにたとえてみましょう。
- 弓：弓の曲がった木の部分が「弧」、ピンと張った糸が「弦」です。漢字の「弧」も「弦」も、弓へんがついています。
- 丸いケーキをまっすぐ切る：ナイフでまっすぐ切った切り口の線が「弦」、切り分けた小さいほうのふちの曲線が「弧」です。
- ボールの通り道：「ボールが弧をえがいて飛ぶ」のように、曲がった道すじを「弧」と言います。楽器のギターやバイオリンの「弦」は、まっすぐ張った糸です。
2点A・Bで、円周は2つの弧に分かれます。ふつう「弧AB」は短いほうをさします。長いほうを言いたいときは、間の点Pをつけて「弧APB」のように書きます。弧ABは、記号で とも書きます。
まとめると、弧は「曲がった線」、弦は「まっすぐな線」です。
弧・弦の例
○ 弧（円周の一部）
- 半円の曲線の部分（円周のちょうど半分の弧）
- おうぎ形の曲線の部分
- 時計の長針の先が5分間に動いた道すじ（中心角30°の弧）
- 虹のような、円の一部の形をした曲線
- 陸上トラックのカーブ（半円の形の部分）
× 弧ではないもの
- 半円の直径（まっすぐなので弦）
- おうぎ形の半径（中心を通る線分）
- 円の外の点から引いた線分（円周上の2点を結んでいない）
- 円周全体（ひと回り全部は「円周」と呼ぶ）
- 放物線のような、円の一部ではない曲線
弦の中でいちばん長いのは、中心を通る弦＝直径です。中心から遠い弦ほど、短くなります。
ハルちゃん
弓の木が弧、張った糸が弦。弓へんで覚えればいいんだね！
図で見る
同じ2点を結んでも、弧と弦では長さがちがいます。半径6、中心角60°のおうぎ形で比べてみましょう。弧は曲がっている分だけ、まっすぐな弦より長くなります。
では、中心角を 2 倍の 120° にするとどうなるでしょう。弧の長さは中心角に比例するので 2 倍になりますが、弦は 2 倍にはなりません。
まなぶくん
弧が 2 倍になるのに、弦が 2 倍にならないのはなんでですか？
合格先生
弦は「まっすぐの近道」だからなんだ。角が大きくなるほど、弧は大回りになって、近道の弦との差が大きくなる。いちばん大きくひらいた 180° でも、弦は直径の 12 までしか長くならないよ。
弧の長さの求め方
弧の長さは、円周のうち、中心角の分だけを取り出して求めます。
| 式 | 半径6・中心角60°のとき | |
|---|---|---|
| 小学校・中学受験 | 直径 × 3.14 × | |
| 中学校 | （ は中心角） | |
| 高校（弧度法） | （ はラジアン） |
一方、弦の長さは、中心と弦の両はしでできる三角形を使って求めます。中心角60°なら正三角形になるので、弦は半径と同じ6です。中心角90°なら直角二等辺三角形なので、弦は半径の 倍です。
弧と弦で囲まれた部分を弓形（きゅうけい）といいます。弓形の面積は、おうぎ形の面積 − 三角形の面積で求めます。半径6、中心角90°なら、 です。中学受験でもよく出る形です。
ハルちゃん
弧は曲がった部分、弦はまっすぐな線分。長さの求め方もちがうよ。
弦と弧の性質
| 性質 | 内容 |
|---|---|
| 弦の垂直二等分線 | 必ず円の中心を通る（円の中心を見つけるのに使う） |
| 中心と弦 | 中心から弦に下ろした垂線は、弦を2等分する |
| 等しい弧と弦 | 同じ円で、中心角が等しければ、弧の長さも弦の長さも等しい |
| 円周角 | 同じ弧に対する円周角は等しく、中心角の半分（中学3年） |
1つ目の性質を使うと、紙にかいた円の中心が分からなくても、弦を2本かいて、それぞれの垂直二等分線の交点を作れば中心が見つかります。
テスト・入試ではこう出る
中学1年の「円とおうぎ形」では、弧の長さとおうぎ形の面積を求める問題が出ます。中学受験の算数でも、おうぎ形の弧の長さや弓形の面積はよく出ます。中学3年・高校では、中心から弦への垂線と三平方の定理を組み合わせて弦の長さを求める問題や、円周角の問題で「同じ弧」に注目する問題がよく出ます。
例題1（弧の長さ）
半径 9 cm、中心角 80° のおうぎ形の弧の長さを求めなさい。円周率は 3.14 とします。
- 弧の長さ ＝ 直径 × 円周率 × を使う。
- 直径は （cm）。
答え 12.56 cm（中学では を使って cm と答えます）
例題2（弦と中心の距離）
半径 10 の円 O に、長さ 12 の弦 AB があります。中心 O と弦 AB の距離を求めなさい。
- 中心 O から弦 AB に垂線 OH を下ろすと、H は弦の中点になる。よって 。
- OA は半径なので 10。三角形 OAH は直角三角形。
- 三平方の定理より 、。
答え 8
まなぶくん
中心から弦に垂線をひくと、直角三角形ができる。これが合言葉だ！
まちがえやすい点
合格先生
弧は曲線、弦はまっすぐ。中心角が2倍でも、弦の長さは2倍にならないよ！
- 弧と弦をまぜる：弧は曲線（円周の一部）、弦はまっすぐな線分です。「弧の長さ」と「弦の長さ」は別の値です。
- 弧が2つあることを忘れる：弧ABには短いほうと長いほうがあります。問題がどちらをさしているか確かめましょう。
- 弧の長さが中心角に比例するように、弦も比例すると思う：中心角が2倍になると弧は2倍になりますが、弦は2倍にはなりません（半径6で中心角120°にすると、弧は ですが、弦は （約10.4）で12ではありません）。
- 半径と直径を取りちがえる：「直径 × 3.14」に半径を入れると、弧の長さが半分になってしまいます。式に入れる前に、半径か直径かを確かめましょう。
- 弓形の面積で、三角形を引き忘れる：弓形は「おうぎ形 − 三角形」です。おうぎ形の面積だけで終わらないようにしましょう。
ことばの由来
「弧」も「弦」も、弓から来た漢字です。弧は弓のように曲がった形、弦は弓に張る糸（つる）を表します。だから、弧と弦で囲まれた部分を「弓形」と呼ぶのも自然ですね。英語では、弧を arc（アーク）、弦を chord（コード）といいます。
ミニ問題
問題1 半径 4 cm、中心角 90° のおうぎ形の弧の長さを求めましょう。円周率は 3.14 とします。
答えと解き方を見る
6.28 cm です。円周は （cm）。中心角 90° は 1 周の なので、（cm）。
問題2 直径 10 cm の円で、いちばん長い弦の長さは何 cm ですか。また、それはどんな弦ですか。
答えと解き方を見る
10 cm で、中心を通る弦（直径）です。中心から遠い弦ほど短くなり、中心を通るときにいちばん長くなります。
問題3 半径 13 の円で、中心からの距離が 5 の弦の長さを求めましょう。
答えと解き方を見る
24 です。中心から弦に下ろした垂線は弦を 2 等分するので、弦の半分の長さを とすると、三平方の定理より 、、。弦の長さは です。
関連する公式・用語
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あわせて覚えたい用語
よくある質問
弧と弦のちがいは？
弧は円周の一部分で曲がった線、弦は円周上の2点を結ぶまっすぐな線分です。弓の木の部分が弧、張った糸が弦と覚えるとよいでしょう。
弧の長さの求め方は？
半径r、中心角a度のおうぎ形なら、2πr×a/360 です。半径6で中心角60度なら2π、約6.28です。
いちばん長い弦は何ですか？
円の中心を通る弦、つまり直径です。
弓形とは何ですか？
弧と弦で囲まれた部分です。面積は、おうぎ形の面積から三角形の面積を引いて求めます。
円の中心はどうやって見つけますか？
弦を2本かき、それぞれの垂直二等分線を引きます。2本の交点が円の中心です。
弧と弦は何年生で習いますか？
中学1年の「円とおうぎ形」で習います。中学受験の算数でも、おうぎ形の弧の長さとしてよく使います。
出典・参考
- 文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）解説 数学編」第1学年 B 図形（おうぎ形の弧の長さと面積）
最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦
