垂直二等分線とは？意味・性質・作図をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

垂直二等分線とは？意味・性質・作図をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

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垂直二等分線とは

線分の中点を通り、その線分に垂直な直線です。この直線の上の点は、線分の両はしから等しい距離にあります。逆に、両はしから等しい距離の点は、すべてこの直線の上にあります。

読み方：すいちょくにとうぶんせん／英語：perpendicular bisector／習う学年：中学1年（作図）

うかるくん

うかるくん

作図はできるんですけど、垂直二等分線って何の役に立つんですか？

合格先生

合格先生

「2つの点から同じ距離」の場所がわかるんだ。2つの駅から同じ距離の場所、三角形の3つの頂点から同じ距離の点（外心）…みんな垂直二等分線で見つかるよ。

この用語のポイント

  • 垂直二等分線 ＝ 線分の中点を通り、垂直な直線
  • 2点から等しい距離にある点の集まり（逆も成り立つ）
  • 作図は、両はしから同じ半径（半分より大きい）の弧をかいて交点を結ぶ

やさしく言うと

垂直二等分線は、線分をまん中で、直角に切る直線です。「二等分」は2つの等しい長さに分けること、「垂直」は直角に交わることです。そして、この直線の上の点は、どれも線分の両はしから同じ距離にあります。身近なたとえで考えてみましょう。

  • 2つの家から同じ距離の公園：家 A と家 B から同じ距離のところに公園をつくりたいなら、AB の垂直二等分線の上から場所を選べばよいのです。
  • 2つの駅のどちらが近いか：駅 A と駅 B を結ぶ線分の垂直二等分線を地図にひくと、その線の A 側の家は A 駅が近く、B 側の家は B 駅が近いとわかります。線の上はちょうど同じ距離です。
  • 紙を折る：紙にかいた点 A と点 B がぴったり重なるように紙を折ると、その折り目が AB の垂直二等分線になります。
A B M P PA PB 垂直二等分線 AM＝BM、AB⊥直線、そして PA＝PB
垂直二等分線の上の点Pは、AからもBからも同じ距離

まとめると、垂直二等分線は「2点から等しい距離にある点が並んだ線」です。

垂直二等分線になるもの・ならないもの

○ 垂直二等分線

  • 線分の中点を通り、線分に垂直な直線
  • 2点A・Bから等しい距離にある点をすべて集めた直線
  • A と B が重なるように紙を折ったときの折り目
  • 円の弦の垂直二等分線（必ず円の中心を通る）
  • ひし形の対角線（もう一方の対角線の垂直二等分線）

× 垂直二等分線ではない

  • 中点を通るが、ななめに交わる直線
  • 垂直に交わるが、中点を通らない直線
  • 角の二等分線（角の2辺から等しい距離。別のもの）
  • 三角形の中線（頂点と向かいの辺の中点を結ぶ線。垂直とは限らない）
  • 長方形の対角線（もう一方の対角線と垂直とは限らない）

「中点を通る」と「垂直」の両方がそろって、はじめて垂直二等分線です。

いちばん大事な性質

線分ABの垂直二等分線

＝ 点A・点Bから等しい距離にある点の集まり

「垂直二等分線の上の点 → PA＝PB」と、その逆の「PA＝PB となる点 → 垂直二等分線の上」の両方が成り立ちます。1つ目は、△PAM と △PBM が合同（2辺とその間の角がそれぞれ等しい）になることから説明できます。だから「2点から等しい距離の点を探す問題」は、垂直二等分線をかけば解けます。

本で説明するサクラちゃん

サクラちゃん

「2つの点から同じ距離」と出てきたら、垂直二等分線の出番なのね！

指さして説明するサクラちゃん

サクラちゃん

垂直二等分線の上の点は、両はしから同じ距離にあるのよ。

作図のしかた

  1. 点Aを中心に、ABの半分より大きい半径で円の弧をかく。
  2. 点Bを中心に、同じ半径で弧をかく。
  3. 2つの弧の交点P・Qを直線で結ぶ。これが垂直二等分線です。
A B P Q 半径 r 半径 r A・B から同じ半径の弧 → 交点 P・Q を結ぶ
作図。P・Qはどちらも A・B から距離 r なので、垂直二等分線の上にある

なぜこれでよいかというと、PもQも「A・Bから同じ距離 rr」の点だからです。垂直二等分線の上にある2点を結べば、その直線が垂直二等分線です。この作図は、線分の中点を見つけるときや、直角をつくるときにも使えます。

図で見る：三角形の外心

三角形の3つの辺に、それぞれ垂直二等分線をひいてみましょう。3本は必ず1点で交わります。

O ABC 点線：3辺の垂直二等分線 OA ＝ OB ＝ OC → O は外接円の中心（外心）
3辺の垂直二等分線は1点 O で交わる。O が外心
うかるくん

うかるくん

どうして3本がぴったり1点で交わるんですか？

合格先生

合格先生

AB と BC の垂直二等分線の交点を O とすると、OA＝OB で、OB＝OC。だから OA＝OC で、O は CA の垂直二等分線の上にもあるんだ。3本目も必ず O を通るというわけだよ。

この点 O は3つの頂点から等しい距離にあるので、O を中心に3つの頂点を通る円（外接円）がかけます。O を外心といいます。円の一部の弧しかわからないとき、弧の上に3点をとって垂直二等分線を2本ひけば、円の中心が見つかります。

座標で求める（高校）

A(1, 1)(1,\,1)、B(5, 3)(5,\,3) のとき、中点は (3, 2)(3,\,2)、ABの傾きは 3−15−1=12\dfrac{3-1}{5-1}=\dfrac12 です。垂直な直線の傾きは −2-2（傾きの積が −1-1）なので、垂直二等分線は y−2=−2(x−3)y-2=-2(x-3)、つまり y=−2x+8y=-2x+8 です。

xyO A(1, 1)B(5, 3)M(3, 2)(4, 0) y ＝ −2x ＋ 8 どちらも √10
A(1, 1)、B(5, 3) の垂直二等分線は y＝−2x＋8

たしかめ：この直線上の点 (4, 0)(4,\,0) は、Aまで 9+1=10\sqrt{9+1}=\sqrt{10}、Bまで 1+9=10\sqrt{1+9}=\sqrt{10} で、等しくなっています。別の求め方として、点 (x, y)(x,\,y) が PA＝PB をみたす条件 (x−1)2+(y−1)2=(x−5)2+(y−3)2(x-1)^2+(y-1)^2=(x-5)^2+(y-3)^2 を整理しても、同じ y=−2x+8y=-2x+8 が出ます。これは高校の数学Ⅱで習う軌跡の考え方です。

テスト・入試ではこう出る

垂直二等分線は中学1年の作図で習います。高校入試では「2点から等しい距離にある点を作図しなさい」「3点から等しい距離の点（円の中心）を作図しなさい」という問題がよく出ます。高校では、座標を使って垂直二等分線の式を求める問題や、軌跡の問題で使います。

例題1（座標で式を求める）

2点 A(−1, 2)(-1,\,2)、B(3, 4)(3,\,4) を結ぶ線分 AB の垂直二等分線の式を求めなさい。

  1. 中点 M は (−1+32, 2+42)=(1, 3)\left(\dfrac{-1+3}2,\ \dfrac{2+4}2\right)=(1,\,3)。
  2. AB の傾きは 4−23−(−1)=24=12\dfrac{4-2}{3-(-1)}=\dfrac24=\dfrac12。
  3. 垂直な直線の傾きは −2-2（12×(−2)=−1\dfrac12\times(-2)=-1）。
  4. (1, 3)(1,\,3) を通り傾き −2-2 の直線：y−3=−2(x−1)y-3=-2(x-1)。

答え　y=−2x+5y=-2x+5

例題2（等しい距離の点）

2点 A(1, 3)(1,\,3)、B(5, 1)(5,\,1) から等しい距離にある xx 軸上の点 P の座標を求めなさい。

  1. P は A・B から等しい距離にあるので、AB の垂直二等分線の上にある。P(x, 0)(x,\,0) とおいて PA＝PB を式にする。
  2. PA2=(x−1)2+32PA^2=(x-1)^2+3^2、PB2=(x−5)2+12PB^2=(x-5)^2+1^2。
  3. (x−1)2+9=(x−5)2+1(x-1)^2+9=(x-5)^2+1 を展開すると x2−2x+10=x2−10x+26x^2-2x+10=x^2-10x+26、8x=168x=16、x=2x=2。

答え　P(2, 0)(2,\,0)（たしかめ：PA＝PB＝10\sqrt{10}）

ひらめいたうかるくん

うかるくん

例題2は、垂直二等分線と x 軸の交点を求めているのと同じなんだ！

まちがえやすい点

腕でバツを作る合格先生

合格先生

垂直二等分線は「2つの点から等距離」、角の二等分線は「2つの辺から等距離」。ここをまぜないでね。

  • 角の二等分線とまぜる：垂直二等分線は「2点から等しい距離」、角の二等分線は「角の2辺から等しい距離」です。
  • 作図で半径が小さすぎる：半径がABの半分以下だと、2つの弧が交わりません。半分より大きくとります。
  • A と B で半径を変える：半径がちがうと、交点を結んだ線は垂直二等分線になりません。コンパスの幅はそのまま使います。
  • 座標で傾きの符号や逆数をまちがえる：AB の傾きが 12\dfrac12 なら、垂直な傾きは −2-2 です。22 や −12-\dfrac12 にしないように、「かけて −1-1」で確かめます。
  • 中点ではなく A や B を通る直線にしてしまう：垂直二等分線が通るのは中点です。式を作るときに A の座標を代入しないようにしましょう。

ことばの意味

「垂直」は直角に交わること、「二等分」は2つの等しい部分に分けることで、垂直二等分線は「垂直に交わり、二等分する線」という、はたらきをそのまま表した名前です。英語では perpendicular bisector といい、perpendicular が「垂直な」、bisector が「二等分するもの」という意味です。

ミニ問題

問題1　線分 AB の長さは 8cm です。AB の垂直二等分線の上に、PA＝5cm となる点 P をとりました。点 P と線分 AB との距離は何 cm ですか。

答えと解き方を見る

3cm です。AB の中点を M とすると、AM＝4cm で、PM は AB に垂直です。直角三角形 PAM で三平方の定理より、PM=52−42=9=3PM=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt9=3（cm）。垂直二等分線の上なので、PB も 5cm です。

問題2　△ABC で、辺 AB の垂直二等分線と辺 AC の垂直二等分線の交点を O とします。OA、OB、OC の長さには、どんな関係がありますか。

答えと解き方を見る

OA＝OB＝OC です。O は AB の垂直二等分線の上にあるので OA＝OB、AC の垂直二等分線の上にあるので OA＝OC。だから3つとも等しくなります。O は残りの辺 BC の垂直二等分線の上にもあり、△ABC の外心です。

問題3　2点 A(0, 0)(0,\,0)、B(4, 2)(4,\,2) を結ぶ線分の垂直二等分線の式を求めましょう。

答えと解き方を見る

y=−2x+5y=-2x+5 です。

  1. 中点は (0+42, 0+22)=(2, 1)\left(\dfrac{0+4}2,\ \dfrac{0+2}2\right)=(2,\,1)。
  2. AB の傾きは 2−04−0=12\dfrac{2-0}{4-0}=\dfrac12。垂直な直線の傾きは、かけて −1-1 になる −2-2。
  3. (2, 1)(2,\,1) を通り傾き −2-2：y−1=−2(x−2)y-1=-2(x-2)、つまり y=−2x+5y=-2x+5。

たしかめ：この直線上の点 (0, 5)(0,\,5) は、A まで 5、B まで 42+32=5\sqrt{4^2+3^2}=5 で等しくなります。

関連する公式・用語

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あわせて覚えたい用語

よくある質問

垂直二等分線とは簡単にいうと？

線分をまん中で直角に切る直線です。この直線の上の点は、線分の両はしから同じ距離にあります。

垂直二等分線の作図のしかたは？

線分の両はしを中心に、線分の半分より大きい同じ半径で弧をかき、2つの交点を直線で結びます。

垂直二等分線と角の二等分線のちがいは？

垂直二等分線の上の点は2つの点から等しい距離、角の二等分線の上の点は角の2つの辺から等しい距離にあります。

三角形の3辺の垂直二等分線はどうなりますか？

必ず1点で交わります。その点を外心といい、3つの頂点から等しい距離にあるので、外接円の中心になります。

座標で垂直二等分線の式を求めるには？

2点の中点を求め、2点を結ぶ直線の傾きとかけてマイナス1になる傾きをもつ、中点を通る直線の式を作ります。

垂直二等分線は何年生で習いますか？

中学1年の作図で習います。高校では座標を使って直線の式を求めたり、軌跡の問題で使ったりします。

出典・参考

  • 文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）解説 数学編」第1学年 B 図形（基本的な作図）

最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦