2直線の平行・垂直条件｜傾きの積が−1になる証明（三平方の定理）・一般形 a₁a₂+b₁b₂=0 と例題【高校受験〜大学受験 数学Ⅱ】

うかるくん

垂直な直線の傾きの積が $-1$ になるのは、なぜなの？

合格先生

原点を通る2直線と $x=1$ の交点 $(1,\ m_1)$、$(1,\ m_2)$ をとるんだ。三平方の定理を式にすると $m_1m_2=-1$ が出てくるぞ。

2直線の平行・垂直条件

垂直な直線の傾きは「逆数にしてマイナスをつける」と覚えます。傾き $2$ なら $-\dfrac12$、傾き $-\dfrac34$ なら $\dfrac43$ です。図1の点線の三角形を見ると、「右へ1、上へ2」を90°回すと「右へ2、下へ1」になっています。

証明：なぜ傾きの積が −1 なのか

平行の条件

傾きは「右へ1進んだときに上がる量」です。傾きが等しい2直線は、どこでも同じ割合で上がるので、2本の間の上下の差 $n_1-n_2$ はずっと変わりません。だから交わらず、平行です。逆に傾きがちがえば、差 $(m_1-m_2)x+(n_1-n_2)$ が $0$ になる $x$ があるので交わります。

垂直の条件（三平方の定理で）

平行移動しても角度は変わらないので、原点を通る $y=m_1x$、$y=m_2x$ で考えます。直線 $x=1$ との交点を $P(1,\ m_1)$、$Q(1,\ m_2)$ とします（$m_1>m_2$ とする）。

$\angle POQ=90^\circ$ となるのは、三平方の定理（とその逆）より $OP^2+OQ^2=PQ^2$ のときです。

一般形の条件（ベクトルで）

直線 $ax+by+c=0$ は、ベクトル $(a,\ b)$ に垂直です（法線ベクトル）。2直線の法線ベクトル $(a_1,\ b_1)$、$(a_2,\ b_2)$ が平行なら直線どうしも平行、垂直なら直線どうしも垂直です。内積が $0$ ⇔ 垂直なので $a_1a_2+b_1b_2=0$、平行は $a_1b_2-a_2b_1=0$ です。この形は、$y$ 軸に平行な直線（$x=k$、傾きがない）でもそのまま使えるのが強みです。

高校受験（中学数学）での使い方

平行の条件「傾きが等しい」は一次関数でそのまま使います。垂直の条件 $m_1m_2=-1$ は高校の数学Ⅱで習う内容ですが、上の証明のとおり三平方の定理で理由が分かるので、関数と図形の問題で役に立ちます。

大学受験（数学Ⅱ）での使い方

よくある間違い

合格先生

傾き $3$ に垂直な傾きは $\dfrac13$ ではない。逆数にして、符号も変えて $-\dfrac13$ だぞ。

• マイナスを忘れる：傾き $3$ に垂直な傾きは $\dfrac13$ ではなく $-\dfrac13$。逆数にして符号も変える。
• 平行の答えに一致が混ざる：$a_1b_2-a_2b_1=0$ は「平行または一致」。文字を求めたら、2直線が同じ直線にならないか確かめる。
• $x=k$ の直線で $m_1m_2=-1$ を使う：$y$ 軸に平行な直線には傾きがない。$x=k$ と垂直なのは $y=$（定数）の直線。一般形の $a_1a_2+b_1b_2=0$ なら場合分けがいらない。

練習問題

サクラちゃん

逆数にしてマイナス、声に出して覚えよう！

1. 高校受験 直線 $y=-3x+1$ に垂直で、原点を通る直線の式は？
   答えと解説を見る

   垂直な傾きは $\dfrac13$。原点を通るので $y=\dfrac13x$
2. 高校受験 2点 $(1,\ 2)$、$(3,\ 8)$ を通る直線に平行で、点 $(0,\ -1)$ を通る直線の式は？
   答えと解説を見る

   傾きは $\dfrac{8-2}{3-1}=3$。切片 $-1$ なので $y=3x-1$
3. 大学受験 直線 $3x-4y+5=0$ に垂直で、点 $(2,\ -1)$ を通る直線の式を一般形で答えなさい。
   答えと解説を見る

   垂直な直線は $4x+3y+c=0$ とおける（$3\cdot4+(-4)\cdot3=0$）。$(2,\ -1)$ を入れて $8-3+c=0$、$c=-5$。答え $4x+3y-5=0$

関連する公式

• 一次関数（傾き・切片）
• 点と直線の距離の公式
• ベクトルの内積（垂直 ⇔ 内積0）
• 三平方の定理
• 直線について対称な点
• 座標で三角形の面積

よくある質問

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