ベクトルの成分とは？意味と計算・大きさをわかりやすく【例題・問題つき】

合格大作戦数学用語辞典 › ベクトル

大学受験

成分とは

ベクトルを「横にいくつ、たてにいくつ」の数の組で表したときの、それぞれの数です。右へ 3、上へ 4 の矢印は $\vec a=(3,4)$ と書き、3 を $x$ 成分、4 を $y$ 成分といいます。

読み方：せいぶん／英語：component／習う学年：数学C（ベクトル）

うかるくん

ベクトルの「成分」って、何の成分なんですか？

合格先生

矢印を「横に何マス、たてに何マス」に分けた、それぞれの数のことだよ。右へ 3、上へ 4 なら $(3,4)$ 。これで矢印を数として計算できるんだ。

この用語のポイント

$\vec a=(a_1,a_2)$ の $a_1$ が $x$ 成分、 $a_2$ が $y$ 成分
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ の成分は終点 − 始点（B − A）
大きさは $\sqrt{a_1^2+a_2^2}$ 、内積は $a_1b_1+a_2b_2$

やさしく言うと

ベクトルの成分は、「横に何マス、たてに何マス進むか」を数で書いたものです。矢印の向きと長さを、2 つの数の組で表します。

道案内：「東へ 3 km、北へ 4 km」と言えば、どこへ行くかがはっきり決まります。東西の 3 が $x$ 成分、南北の 4 が $y$ 成分で、成分は $(3,4)$ です。まっすぐ行った距離は 5 km です。
ゲームのキャラの移動：「右へ 2 マス、下へ 1 マス」は $(2,-1)$ 。左や下へ進むときは、成分がマイナスになります。
ななめに引っぱる力：ななめに引くひもの力も、「横に引く分」と「上に引く分」に分けて考えられます。理科で習う力の分解と同じ考え方です。

右へ 3、上へ 4 進む矢印の成分は (3, 4)、大きさは 5

まとめると、平面のベクトル $\vec a$ を $\vec a=(a_1,a_2)$ と書いたとき、 $a_1$ を $x$ 成分、 $a_2$ を $y$ 成分といいます。この書き方を成分表示といいます。

成分の例

○ 正しい成分

右へ 3、上へ 4 の矢印 → $(3,4)$
左へ 2、上へ 5 の矢印 → $(-2,5)$
真下へ 3 の矢印 → $(0,-3)$
A $(1,4)$ から B $(5,2)$ への矢印 → $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(4,-2)$
零ベクトル → $\vec 0=(0,0)$
空間のベクトル → $(1,2,2)$ のように成分が 3 つ

× まちがった成分

A $(1,4)$ から B $(5,2)$ への矢印を $(1,4)$ とする（始点の座標をそのまま書いた）
同じ矢印を $(-4,2)$ とする（始点 − 終点の順でひいた）
右へ 3、上へ 4 の矢印を $(4,3)$ とする（ $x$ と $y$ が逆）
左へ 2 の矢印の $x$ 成分を $2$ とする（左は $-2$ ）
$(3,4)$ の大きさを $3+4=7$ とする（ $\sqrt{3^2+4^2}=5$ ）

成分は、矢印がどこにあっても同じです。右へ 3、上へ 4 の矢印は、原点から引いても、点 $(10,10)$ から引いても $(3,4)$ です。ベクトルは「場所」ではなく「動き」を表すからです。

図で見る

2 点 A、B を結ぶベクトル $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ の成分は、終点 B の座標から、始点 A の座標をひけば求められます。

AB の成分は B − A ＝ (5−1, 2−4) ＝ (4, −2)

サクラちゃん

点の座標とベクトルの成分は、同じじゃないんですか？

合格先生

原点 O から点 A へのベクトル $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ の成分は、A の座標と同じになる。でも $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ は「A から B への動き」だから、B の座標から A の座標をひいた差になるんだ。

成分を使うと、ベクトルのたし算・ひき算・実数倍は成分ごとの計算になります。矢印をつなぐ作図をしなくても、数の計算だけで答えが出ます。

(1, 2) ＋ (3, −1) ＝ (4, 1)。たし算は成分どうし

成分での計算のまとめ

$\vec a=(a_1,a_2)$ 、 $\vec b=(b_1,b_2)$ 、 $k$ を実数とすると、次のように計算します。

計算	成分では	例： $\vec a=(1,2)$ 、 $\vec b=(3,-1)$
たし算	$(a_1+b_1,\ a_2+b_2)$	$\vec a+\vec b=(4,1)$
ひき算	$(a_1-b_1,\ a_2-b_2)$	$\vec a-\vec b=(-2,3)$
実数倍	$(ka_1,\ ka_2)$	$3\vec a=(3,6)$
大きさ	$\sqrt{a_1^2+a_2^2}$	$\|\vec a\|=\sqrt5$
内積	$a_1b_1+a_2b_2$	$\vec a\cdot\vec b=3-2=1$

成分を使うと、2 つのベクトルの関係もすぐ調べられます。

平行： $\vec b=k\vec a$ と書けるとき。成分では $a_1b_2-a_2b_1=0$ 。
垂直：内積が 0 のとき。成分では $a_1b_1+a_2b_2=0$ 。

(2, 1) と (−1, 2) は、内積が 0 なので垂直

また、 $x$ 軸方向の長さ 1 のベクトル $\vec{e_1}=(1,0)$ と、 $y$ 軸方向の長さ 1 のベクトル $\vec{e_2}=(0,1)$ を使うと、 $\vec a=(a_1,a_2)=a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e_2}$ と書けます。成分とは、「 $\vec{e_1}$ を何個分、 $\vec{e_2}$ を何個分」という数のことだ、とも言えます。 $\vec{e_1}$ 、 $\vec{e_2}$ を基本ベクトルといいます。

うかるくん

成分にすれば、ベクトルの問題がただの数の計算になる！

テスト・入試ではこう出る

成分は、高校の数学C「ベクトル」で習います。定期テストでは成分による和・差・実数倍・大きさの計算、平行・垂直になる条件、内積となす角がよく出ます。大学入試でも、座標が与えられた図形の問題は、まず成分にして計算するのが基本です。

例題1（成分と大きさ）

2 点 A $(1,2)$ 、B $(4,6)$ について、 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ の成分と大きさを求めなさい。

成分は「終点 − 始点」： $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(4-1,\ 6-2)=(3,\ 4)$ 。
大きさは $|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$ 。

答え　 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(3,4)$ 、 $|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=5$ 。大きさは 2 点 A、B の距離と同じです。

例題2（なす角）

$\vec a=(1,3)$ 、 $\vec b=(2,1)$ のなす角 $\theta$ を求めなさい。

内積： $\vec a\cdot\vec b=1\times2+3\times1=5$ 。
大きさ： $|\vec a|=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$ 、 $|\vec b|=\sqrt{4+1}=\sqrt5$ 。
$\cos\theta=\dfrac{5}{\sqrt{10}\times\sqrt5}=\dfrac{5}{\sqrt{50}}=\dfrac{5}{5\sqrt2}=\dfrac1{\sqrt2}$ 。
$0^\circ\le\theta\le180^\circ$ より $\theta=45^\circ$ 。

答え　 $45^\circ$ 。角度の問題も、成分があれば計算だけで解けます。

まちがえやすい点

合格先生

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ の成分は終点 − 始点。A − B にすると符号が全部逆になるよ！

ひく順番を逆にする： $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ の成分は「B − A」（終点 − 始点）です。「A − B」にすると、向きが反対の $\overrightarrow{\mathrm{BA}}$ になり、符号が全部逆になります。
大きさを成分の和にする： $(3,4)$ の大きさは $3+4=7$ ではなく、三平方の定理で $\sqrt{3^2+4^2}=5$ です。成分にマイナスがあっても、2 乗するので大きさは正になります。
内積をベクトルにする： $(1,2)\cdot(3,-1)$ を $(3,-2)$ とするのは×。内積は成分ごとの積をたした数 $3+(-2)=1$ です。
点の座標と成分を混ぜる：「A $(1,4)$ 」は点の位置、「 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(4,-2)$ 」は動きです。答えを書くときは、どちらを答えるのかを確かめます。

なお、成分を $\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}$ のように縦に並べて書く本もあります。高校の教科書では、横書きの $(a_1,a_2)$ がふつうです。

ことばの由来

「成分」は、全体を成り立たせている部分という意味です。食品の「成分表」と同じ言葉です。ベクトルも、横の分とたての分が組み合わさってできているので、それぞれを成分とよびます。英語では component（コンポーネント、構成要素）といいます。

ミニ問題

問題1　 $\vec a=(2,-1)$ 、 $\vec b=(1,3)$ のとき、 $2\vec a-\vec b$ の成分と大きさを求めましょう。

答えと解き方を見る

$(3,-5)$ 、大きさ $\sqrt{34}$ です。 $2\vec a=(4,-2)$ から $\vec b=(1,3)$ を成分ごとにひいて $(4-1,\ -2-3)=(3,-5)$ 。大きさは $\sqrt{3^2+(-5)^2}=\sqrt{34}$ です。

問題2　 $\vec a=(2,3)$ と $\vec b=(x,6)$ が平行になるような $x$ を求めましょう。

答えと解き方を見る

$x=4$ です。平行なら $\vec b=k\vec a$ と書けます。 $y$ 成分より $6=3k$ で $k=2$ 。 $x$ 成分より $x=2\times2=4$ 。「 $2\times6-3\times x=0$ 」という式で確かめても $x=4$ です。

問題3　 $\vec a=(3,x)$ と $\vec b=(2,-6)$ が垂直になるような $x$ を求めましょう。

答えと解き方を見る

$x=1$ です。垂直なら内積が 0。 $3\times2+x\times(-6)=0$ より $6-6x=0$ 、 $x=1$ 。たしかめ： $\vec a=(3,1)$ 、 $\vec b=(2,-6)$ で $6-6=0$ 。

よくある質問

ベクトルの成分とは何ですか？

ベクトルを「横にいくつ、たてにいくつ」の数の組で表したときの、それぞれの数です。(3, 4) なら3がx成分、4がy成分です。

ABの成分はどう求めますか？

終点Bの座標から始点Aの座標をひきます。A(1, 4)、B(5, 2) なら (5−1, 2−4)＝(4, −2) です。

成分からベクトルの大きさはどう求めますか？

(a₁, a₂) の大きさは √(a₁²＋a₂²) です。(3, 4) なら √(9＋16)＝5 です。

成分で内積はどう計算しますか？

(a₁, a₂) と (b₁, b₂) の内積は a₁b₁＋a₂b₂ です。答えはベクトルではなく数です。

点の座標とベクトルの成分は同じですか？

原点から点Aへのベクトルの成分は、Aの座標と同じです。でも2点A、Bを結ぶベクトルの成分は、Bの座標からAの座標をひいた差です。

成分は何年生で習いますか？

高校の数学C「ベクトル」で習います（2022年度入学生から。以前は数学B）。

出典・参考

文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説数学編」数学C（ベクトル）

最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦

ベクトルの成分とは？意味と計算・大きさをわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦数学用語辞典

やさしく言うと

成分の例

図で見る

成分での計算のまとめ

テスト・入試ではこう出る

まちがえやすい点

ことばの由来

ミニ問題

関連する公式・用語

よくある質問

入試まであと何日？

ベクトルの成分とは？意味と計算・大きさをわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

やさしく言うと

成分の例

図で見る

成分での計算のまとめ

テスト・入試ではこう出る

まちがえやすい点

ことばの由来

ミニ問題

関連する公式・用語

よくある質問

入試まであと何日？

ベクトルの成分とは？意味と計算・大きさをわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦数学用語辞典