空間ベクトルとは？成分・大きさ・内積をわかりやすく【例題・問題つき】

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大学受験

空間ベクトルとは

前後・左右・上下の 3 方向をもつ空間で考えるベクトルです。成分は 3 つで $\vec a=(a_1,a_2,a_3)$ と書き、大きさは $|\vec a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$ です。

読み方：くうかんべくとる／英語：vector in space／習う学年：数学C（ベクトル）

サクラちゃん

空間ベクトルって、図がかきにくくて苦手です…

合格先生

計算は平面とほとんど同じで、成分が 1 つ増えるだけだよ。図はおおまかでいい。長さや角は図ではなく、成分の計算で出そう。

この用語のポイント

成分は 3 つ： $\vec a=(a_1,a_2,a_3)$
大きさは $\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$ （三平方の定理を 2 回）
空間の点を表すには、同じ平面にない 3 つのベクトルが必要

やさしく言うと

空間ベクトルは、前後・左右・上下の 3 方向に進む矢印です。平面のベクトルは「横・たて」の 2 つの数で表しましたが、空間では3 つの数で表します。

ビルの中の移動：「東へ 20 m、北へ 30 m 歩いて、エレベーターで 10 m 上がる」。この動きは、東・北・上の 3 つの数 $(20,30,10)$ で表せます。
ドローン：ドローンは前後・左右に動くだけでなく、上下にも動きます。その動きを表すには、3 つの数が必要です。
部屋のすみ：部屋のすみから、床の 2 本の辺と、たての柱の 3 本の線が出ています。これが空間の $x$ 軸・ $y$ 軸・ $z$ 軸のイメージです。

原点 O から x 方向へ 2、y 方向へ 3、上へ 2 で点 P(2, 3, 2)

まとめると、空間ベクトルは $\vec a=(a_1,a_2,a_3)$ と 3 つの成分で表すベクトルです。考え方や計算のしかたは平面のベクトルとほとんど同じで、成分が 1 つ増えるだけです。

空間ベクトルの例

○ 空間ベクトルの例

$\vec a=(1,2,2)$ （大きさ 3）
$\vec{e_3}=(0,0,1)$ （真上を向く長さ 1 のベクトル）
A $(1,0,2)$ から B $(3,2,1)$ へ → $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(2,2,-1)$
立方体の頂点 O から向かいの頂点 F へ → $\vec a+\vec b+\vec c$
$(2,0,0)$ （ $x$ 軸の方向。成分に 0 があってもよい）
$\vec 0=(0,0,0)$

× まちがい

$(3,4)$ は空間ベクトルではない（成分が 2 つ）
$(1,2,2)$ の大きさを $\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5$ とする（ $z$ 成分を落とした）
$(1,2,2)$ の大きさを $1+2+2=5$ とする
$(1,0,1)\cdot(0,1,1)$ を $(0,0,1)$ とする（内積は数）
空間の 2 つのベクトルで、空間のどの点も表せると思う（3 つ必要）

空間ベクトルの成分は、どれが $x$ ・ $y$ ・ $z$ かの順番が決まっています。 $(a_1,a_2,a_3)$ の順に $x$ 成分、 $y$ 成分、 $z$ 成分です。

図で見る

空間ベクトルの大きさは、三平方の定理を 2 回使うと求められます。 $(1,2,2)$ なら、まず床の上で $\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5$ 、次にそれと高さ 2 で $\sqrt{(\sqrt5)^2+2^2}=\sqrt9=3$ です。

(1, 2, 2) は直方体の対角線。長さは √(1²＋2²＋2²) ＝ 3

まとめると、 $\vec a=(a_1,a_2,a_3)$ の大きさは $|\vec a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$ です。2 点間の距離も同じ式で求めます。

立方体や四面体の問題では、座標を使わずに、基準になる 3 つのベクトルで全部を表すことがよくあります。

立方体 OABC-DEFG で、OF ＝ a ＋ b ＋ c

うかるくん

平面では 2 つのベクトルで全部表せたのに、空間では 3 つ必要なんですか？

合格先生

そう。 $\vec a$ と $\vec b$ の 2 つだけだと、作れるのは $\vec a$ 、 $\vec b$ をふくむ1 枚の平面の上の点だけなんだ。その平面から飛び出すには、もう 1 方向 $\vec c$ がいる。ただし $\vec c$ がその平面にのっていてはだめだよ。

2 つのベクトル a、b で表せるのは、その平面上の点 OP ＝ s a ＋ t b だけ

計算は平面と同じ形

$\vec a=(a_1,a_2,a_3)$ 、 $\vec b=(b_1,b_2,b_3)$ とします。平面のときの式に、第 3 成分を付け足した形です。

計算	空間ベクトル	平面ベクトル
たし算	$(a_1+b_1,\ a_2+b_2,\ a_3+b_3)$	$(a_1+b_1,\ a_2+b_2)$
実数倍	$(ka_1,\ ka_2,\ ka_3)$	$(ka_1,\ ka_2)$
大きさ	$\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$	$\sqrt{a_1^2+a_2^2}$
内積	$a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$	$a_1b_1+a_2b_2$
基準のベクトル	3 つ（同じ平面にないもの）	2 つ（平行でないもの）

内積となす角の関係 $\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta$ や、三角形の面積 $S=\dfrac12\sqrt{|\vec a|^2|\vec b|^2-(\vec a\cdot\vec b)^2}$ も、空間でもそのまま使えます。

サクラちゃん

空間ベクトルは、平面の計算に「3 つめの成分」を足すだけ。こわくないわ！

テスト・入試ではこう出る

空間ベクトルは、高校の数学C「ベクトル」で習います。成分を使った大きさ・距離・内積・なす角の計算、立方体や四面体の問題を、基準の 3 つのベクトルで表して解く問題がよく出ます。大学入試では「点が平面上にある条件」「線分と平面の交点」など、空間図形の問題で大きな得点源になります。

例題1（成分と距離）

2 点 A $(1,0,2)$ 、B $(3,2,1)$ について、 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ の成分と、線分 AB の長さを求めなさい。

成分は終点 − 始点： $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(3-1,\ 2-0,\ 1-2)=(2,\ 2,\ -1)$ 。
大きさ： $|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=\sqrt{2^2+2^2+(-1)^2}=\sqrt9=3$ 。

答え　 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(2,2,-1)$ 、 $\mathrm{AB}=3$ 。平面のときと同じやり方に、 $z$ 成分が 1 つ増えただけです。

例題2（なす角）

$\vec a=(1,1,0)$ 、 $\vec b=(1,0,1)$ のなす角 $\theta$ を求めなさい。

内積： $\vec a\cdot\vec b=1\times1+1\times0+0\times1=1$ 。
大きさ： $|\vec a|=\sqrt{1+1+0}=\sqrt2$ 、 $|\vec b|=\sqrt{1+0+1}=\sqrt2$ 。
$\cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt2\times\sqrt2}=\dfrac12$ 。
$0^\circ\le\theta\le180^\circ$ より $\theta=60^\circ$ 。

答え　 $60^\circ$ 。この 2 つは、1 辺 1 の立方体の、となりあう 2 つの面の対角線です。立方体の面の対角線 3 本で正三角形ができることとも合っています。

まちがえやすい点

合格先生

大きさや内積で、 $z$ 成分を落とさない！ $(1,2,2)$ の大きさは 3 だよ。

$z$ 成分を落とす：平面のくせで、大きさや内積の計算で $z$ 成分を忘れがちです。 $(1,2,2)$ の大きさは $\sqrt5$ ではなく 3 です。
2 つのベクトルで空間全体を表そうとする： $s\vec a+t\vec b$ で表せるのは平面上の点だけです。空間の点には、同じ平面上にない 3 つのベクトルが必要です。
3 つのベクトルなら何でも基準になると思う： $\vec a$ 、 $\vec b$ 、 $\vec c$ が同じ平面にのっていると、空間全体は表せません。たとえば $\vec c=\vec a+\vec b$ のときです。くわしくは一次独立のページへ。
見取り図の長さや角度をそのまま信じる：空間の図は斜めから見てかくので、直角が直角に見えず、長さも実際とちがって見えます。長さや角は、図ではなく計算で求めます。

ことばの由来

「空間」は、たて・横・高さのある 3 次元の広がりのことです。平面上のベクトル（平面ベクトル）と区別して、空間の中で考えるベクトルを「空間ベクトル」とよびます。「ベクトル」は英語 vector から来た言葉で、もとはラテン語の「運ぶもの」という意味の言葉です。一般には「3 次元のベクトル」ともいいます。

ミニ問題

問題1　 $\vec a=(2,-1,2)$ の大きさを求めましょう。

答えと解き方を見る

3 です。 $|\vec a|=\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{4+1+4}=\sqrt9=3$ 。 $z$ 成分の 2 乗も忘れずに足します。

問題2　 $\vec a=(1,2,-1)$ と $\vec b=(2,x,4)$ が垂直になるような $x$ を求めましょう。

答えと解き方を見る

$x=1$ です。垂直なら内積が 0。 $1\times2+2\times x+(-1)\times4=0$ より $2x-2=0$ 、 $x=1$ 。

問題3　 $\vec a=(1,0,1)$ 、 $\vec b=(0,1,1)$ とします。 $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec a$ 、 $\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec b$ のとき、三角形 OAB の面積を求めましょう。

答えと解き方を見る

$\dfrac{\sqrt3}2$ です。

$|\vec a|^2=2$ 、 $|\vec b|^2=2$ 、 $\vec a\cdot\vec b=0+0+1=1$ 。
面積の公式 $S=\dfrac12\sqrt{|\vec a|^2|\vec b|^2-(\vec a\cdot\vec b)^2}$ に入れると、 $S=\dfrac12\sqrt{4-1}=\dfrac{\sqrt3}2$ 。

3 辺はどれも $\sqrt2$ なので、1 辺 $\sqrt2$ の正三角形です。正三角形の面積 $\dfrac{\sqrt3}4\times(\sqrt2)^2=\dfrac{\sqrt3}2$ とも一致します。

よくある質問

空間ベクトルとは何ですか？

前後・左右・上下の3方向をもつ空間で考えるベクトルです。成分は3つで、(a₁, a₂, a₃) のように表します。

空間ベクトルの大きさはどう求めますか？

(a₁, a₂, a₃) の大きさは √(a₁²＋a₂²＋a₃²) です。(1, 2, 2) なら √9＝3 です。

空間ベクトルの内積はどう計算しますか？

(a₁, a₂, a₃) と (b₁, b₂, b₃) の内積は a₁b₁＋a₂b₂＋a₃b₃ です。0になれば2つは垂直です。

平面ベクトルとのちがいは何ですか？

成分が2つから3つになることと、空間の点を表すには基準のベクトルが3つ必要になることです。計算のしかたはほとんど同じです。

空間ベクトルは何年生で習いますか？

高校の数学C「ベクトル」で習います（2022年度入学生から。以前は数学B）。

出典・参考

文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説数学編」数学C（ベクトル）

最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦

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