球の方程式 (x−a)²＋(y−b)²＋(z−c)²＝r²｜距離の公式による証明・一般形から中心と半径・平面との交わりの円と例題【数学C・大学受験】

球の方程式 (x−a)²＋(y−b)²＋(z−c)²＝r²｜距離の公式による証明・一般形から中心と半径・平面との交わりの円と例題【数学C・大学受験】

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大学受験

(x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2

中心 (a, b, c)(a,\ b,\ c)、半径 rr。平面との交わりは半径 r2−d2\sqrt{r^2-d^2} の円

この公式のポイント

  • 球面は中心からの距離が rr の点の集まり
  • 一般形は平方完成して中心と半径を読む
  • 平面との交わりは半径 r2−d2\sqrt{r^2-d^2} の円
  • 座標平面ならz=0z=0 などを代入するだけ
うかるくん

うかるくん

球を平面で切った切り口の半径は、r−dr-d じゃないの？

合格先生

合格先生

中心、垂線の足、切り口の点で直角三角形ができる。だから半径は r2−d2\sqrt{r^2-d^2} だぞ。

球の方程式

中心と半径で決まる球面

中心 C(a, b, c)C(a,\ b,\ c)、半径 rr の球面の方程式は

(x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2

展開した形（一般形）：x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0x^2+y^2+z^2+Ax+By+Cz+D=0 → 平方完成して中心と半径を読む。

平面との交わり：中心から平面までの距離を dd とすると、d<rd<r なら切り口は半径 r2−d2\sqrt{r^2-d^2} の円（中心は垂線の足）。d=rd=r なら接する、d>rd>r なら交わらない。

C(a, b, c)P(x, y, z)rCP＝r（いつも同じ）(x−a)²＋(y−b)²＋(z−c)²＝r²
球面は「中心 C からの距離が r の点」の集まり

ここでいう「球」の方程式は、正しくは球の表面（球面）を表します。中身までふくめた球の内部は (x−a)2+(y−b)2+(z−c)2≤r2(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2\le r^2 です。

証明：距離の公式と三平方の定理

球の方程式

点 P(x, y, z)P(x,\ y,\ z) が球面上にある ⇔ CP=rCP=r です。空間の2点の距離は、三平方の定理を2回使うと CP=(x−a)2+(y−b)2+(z−c)2CP=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2}。両辺を2乗すると球の方程式になります。平面の円の方程式に zz の項が1つ増えただけの形です。

平面との交わりが円になる理由

中心 C から平面に垂線 CH を下ろし、CH=dCH=d とします。切り口の上の点 Q では CQ=rCQ=r、∠CHQ=90∘\angle CHQ=90^\circ なので、三平方の定理より

HQ=CQ2−CH2=r2−d2HQ=\sqrt{CQ^2-CH^2}=\sqrt{r^2-d^2}

Q がどこでも HQ は同じ長さなので、切り口は H を中心とする半径 r2−d2\sqrt{r^2-d^2} の円です。

CHQd＝3r＝54xy 平面（z＝0）切り口の円の半径√(5²−3²)＝4
横から見た図：中心の高さ 3、半径 5 なら、切り口の円の半径は 4

座標平面で切るときは計算がかんたんです。たとえば xyxy 平面（z=0z=0）なら、球の方程式に z=0z=0 を入れて (x−a)2+(y−b)2=r2−c2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2-c^2。右辺が正なら円、00 なら1点で接する（∣c∣=r|c|=r）、負なら交わりません。ななめの平面との距離 dd は、点と平面の距離で求めます。

大学受験（数学C）での使い方

大学受験

例題1（中心と半径から）

中心 (1, −2, 3)(1,\ -2,\ 3)、半径 44 の球面の方程式を求めなさい。

解き方

(x−1)2+(y+2)2+(z−3)2=42(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=4^2。

答え　(x−1)2+(y+2)2+(z−3)2=16(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=16

大学受験

例題2（一般形から中心と半径）

x2+y2+z2−2x+4y−6z+5=0x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z+5=0 はどんな図形か。

解き方

平方完成すると (x−1)2−1+(y+2)2−4+(z−3)2−9+5=0(x-1)^2-1+(y+2)^2-4+(z-3)^2-9+5=0、つまり (x−1)2+(y+2)2+(z−3)2=9(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=9。

答え　中心 (1, −2, 3)(1,\ -2,\ 3)、半径 33 の球面

大学受験

例題3（座標平面との交わり）

球面 (x−1)2+(y+2)2+(z−3)2=25(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=25 と xyxy 平面の交わりを求めなさい。

解き方

z=0z=0 を入れて (x−1)2+(y+2)2=25−9=16(x-1)^2+(y+2)^2=25-9=16。中心から xyxy 平面までの距離は 33 で、52−32=4\sqrt{5^2-3^2}=4 と一致する。

答え　xyxy 平面上の、中心 (1, −2, 0)(1,\ -2,\ 0)、半径 44 の円

大学受験

例題4（直径の両はしが分かるとき）

2点 A(1, 2, −1)A(1,\ 2,\ -1)、B(3, 0, 3)B(3,\ 0,\ 3) を直径の両はしとする球面の方程式を求めなさい。

解き方

中心は AB の中点 (2, 1, 1)(2,\ 1,\ 1)。AB=22+(−2)2+42=24=26AB=\sqrt{2^2+(-2)^2+4^2}=\sqrt{24}=2\sqrt6 なので半径 6\sqrt6。
（別の解き方：球面上の点 P では AP⃗⋅BP⃗=0\vec{AP}\cdot\vec{BP}=0 なので (x−1)(x−3)+(y−2)y+(z+1)(z−3)=0(x-1)(x-3)+(y-2)y+(z+1)(z-3)=0。展開して平方完成すると同じ式になる。）

答え　(x−2)2+(y−1)2+(z−1)2=6(x-2)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=6

A(1, 2, −1)B(3, 0, 3)M(2, 1, 1)P中心＝AB の中点半径＝AB÷2＝√6AP⊥BP（直径の上の角）
例題4：中心は AB の中点、半径は AB の半分。球面上の点 P からは AB が直角に見える

よくある間違い

腕でバツを作る合格先生

合格先生

右辺は r2r^2 だ。(x−1)2+(y+2)2+(z−3)2=9(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=9 の半径は 99 ではなく 33 だぞ。

  • 右辺を rr にする：右辺は r2r^2。(x−1)2+(y+2)2+(z−3)2=9(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=9 の半径は 99 ではなく 33。
  • 中心の符号：(y+2)2(y+2)^2 なら中心の yy 座標は −2-2。
  • 切り口の半径を r−dr-d にする：正しくは r2−d2\sqrt{r^2-d^2}（直角三角形の残りの辺）。半径 5、距離 3 なら 2 ではなく 4。

練習問題

○の札を持つうかるくん

うかるくん

平方完成で中心と半径を読みとろう！

  1. 大学受験 中心 (0, 1, −2)(0,\ 1,\ -2) で、原点を通る球面の方程式は？
    答えと解説を見る半径の2乗は 02+12+(−2)2=50^2+1^2+(-2)^2=5。x2+(y−1)2+(z+2)2=5x^2+(y-1)^2+(z+2)^2=5
  2. 大学受験 x2+y2+z2−4x+6z=12x^2+y^2+z^2-4x+6z=12 の中心と半径は？
    答えと解説を見る(x−2)2+y2+(z+3)2=12+4+9=25(x-2)^2+y^2+(z+3)^2=12+4+9=25。中心 (2, 0, −3)(2,\ 0,\ -3)、半径 55
  3. 大学受験 前の問題の球面と yzyz 平面（x=0x=0）の交わりは？
    答えと解説を見るx=0x=0 を入れて 4+y2+(z+3)2=254+y^2+(z+3)^2=25、y2+(z+3)2=21y^2+(z+3)^2=21。yzyz 平面上の中心 (0, 0, −3)(0,\ 0,\ -3)、半径 21\sqrt{21} の円

関連する公式

この公式に出てくる用語（数学用語辞典）

よくある質問

球の方程式は？

中心 (a, b, c)、半径 r の球面は (x−a)²+(y−b)²+(z−c)²=r² です。中心からの距離が r であることを式にしたものです。

x²+y²+z²+Ax+By+Cz+D=0 の中心と半径はどう求めますか？

x、y、z それぞれで平方完成して (x−a)²+(y−b)²+(z−c)²=k の形にします。中心は (a, b, c)、k>0 なら半径は √k です。

球と平面の交わりはどうなりますか？

中心から平面までの距離 d が半径 r より小さければ、半径 √(r²−d²) の円になります。d=r なら接し、d>r なら交わりません。

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出典・参考

  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）」数学C（ベクトル）

最終更新：2026年10月11日／作成：大学受験合格大作戦