球とは？意味と体積・表面積の公式をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

球とは？意味と体積・表面積の公式をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

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球とは

中心から表面までの距離が、どこも同じ立体です。ボールのような形で、どんな平面で切っても切り口は円になります。半径 rr の球の体積は 43πr3\dfrac43\pi r^3、表面積は 4πr24\pi r^2 です。

読み方：きゅう／英語：sphere / ball／習う学年：小学3年（球）・中学1年（球の体積・表面積）

まなぶくん

まなぶくん

球の体積と表面積の公式、どっちがどっちか、まざっちゃいます。

合格先生

合格先生

体積は長さを 3 回かけるから r3r^3、面積は 2 回だから r2r^2。体積は「43πr3\dfrac43\pi r^3」、表面積は「4πr24\pi r^2」。3 乗か 2 乗かで見分けよう。

この用語のポイント

  • 球 ＝ 中心からの距離がどこも同じ立体。切り口はいつも円
  • 体積 V=43πr3V=\dfrac43\pi r^3、表面積 S=4πr2S=4\pi r^2
  • 半球の表面積は、まるい部分＋平らな円

やさしく言うと

球は、ボールのように、どこから見てもまるい立体です。正確には、1 つの点（中心）から同じ距離にある点が集まってできた面（球面）と、その内側を合わせたものです。

  • ボール・ビー玉：まん中から表面までの長さが、どの向きでも同じです。だから、どの向きに転がっても同じようにころがります。
  • シャボン玉：シャボン玉が球の形になるのは、決まった量の空気をつつむとき、球がいちばん表面積が小さい形だからです。
  • 地球儀：地球はほぼ球の形です。地球儀のまん中にある軸のまん中が、球の中心にあたります。

まとめると、球は「中心からの距離がどこも同じ立体」です。平面で「中心からの距離が同じ点の集まり」が円、空間で同じことを考えたものが球です。

O 半径 半径 直径 中心 O から 表面のどこまでも 同じ長さ（半径） 直径 ＝ 半径 × 2
球の中心 O から表面までの長さが半径。直径は半径の 2 倍
指さして説明するまなぶくん

まなぶくん

円を空間に広げたのが球なんだ！ 中心から表面まで、どこも同じ長さ。

球の例と、そうではないもの

○ 球・球に関係するもの

  • ボール・ビー玉・シャボン玉
  • ゴルフボール（表面のくぼみを気にしなければ、ほぼ球）
  • 地球（ほぼ球。少しだけ横に広がっている）
  • 半径 3cm の球を半分に切った半球（球の一部）
  • 球を平面で切った切り口（いつも円）

× 球ではないもの

  • ラグビーボール（だ円の形。向きによってはばがちがう）
  • 円（平らな図形。球は立体）
  • 円柱・円錐（平らな底面がある）
  • たまご（上と下で形がちがう）
  • 球の表面だけ（数学では「球面」とよび分ける）

小学校では、ボールのような形を「球」と習います。中学・高校では、表面だけを球面、中まで詰まった立体を球とよび分けることがあります。

図で見る（切り口はいつも円）

球をどんな平面で切っても、切り口はいつも円になります。中心を通る平面で切ったときの切り口がいちばん大きく、その円の半径は球の半径と同じです。中心から遠い所で切るほど、切り口は小さくなります。

切り口は円 3 5 4 真横から見ると 3・4・5
半径 5 の球を中心から 3 の所で切ると、切り口の円の半径は 4
ハルちゃん

ハルちゃん

りんごをどんな向きで切っても、切り口がまるくなるのと同じ？

合格先生

合格先生

そうだね。りんごはほぼ球だから、どの向きに切っても切り口はほぼ円になる。真横から見ると、球の中心と切り口の円は直角三角形でつながっていて、切り口の半径が計算できるんだ。

小学 3 年の算数では、この性質を使って、球を半分に切った切り口から球の中心・半径・直径を学びます。また、「箱にぴったり入った球の直径は、箱の 1 辺と同じ」という考え方もよく使います。

体積と表面積

半径を rr とすると、球の体積 VV と表面積 SS は次の式で求めます。

V=43πr3S=4πr2V=\frac43\pi r^3\qquad S=4\pi r^2

体積は「3 分の 4 パイ アール 3 乗」、表面積は「4 パイ アール 2 乗」です。体積は長さを 3 回かけるので r3r^3、面積は 2 回かけるので r2r^2 になります。

円錐 球 円柱 2/3 πr³4/3 πr³2πr³ 体積の比 ＝ 1 ： 2 ： 3
同じはば・同じ高さの円錐・球・円柱の体積は 1：2：3

半径 rr の球がぴったり入る円柱（底面の半径 rr、高さ 2r2r）を考えると、球の体積は円柱の 23\dfrac23 です。さらに、同じ円柱にぴったり入る円錐の体積は円柱の 13\dfrac13 です。この 3 つの体積の比が 1：2：3 になることは、古代ギリシャのアルキメデスが見つけたことで知られています。

r 球の表面 ＝ （半径 r の円を 4 つ、縮小してかいた図） πr² × 4 ＝ 4πr²
球の表面積は、同じ半径の円 4 つ分

球の表面積 4πr24\pi r^2 は、同じ半径の円の面積 4 つ分です。また、球がぴったり入る円柱の側面積（2πr×2r=4πr22\pi r\times2r=4\pi r^2）とも同じになります。

テスト・入試ではこう出る

球は小学 3 年で習い、球の体積・表面積は中学 1 年で習います。テストでは、公式を使った体積・表面積の計算、半球の表面積（平らな面を足す）、円柱や立方体にぴったり入った球の問題がよく出ます。高校の数学Ⅲでは、球の体積の公式を積分で確かめます。

例題1（体積と表面積）

半径 6cm の球の体積と表面積を求めなさい。円周率は π\pi とします。

  1. 体積：43πr3=43π×63=43π×216=288π\dfrac43\pi r^3=\dfrac43\pi\times6^3=\dfrac43\pi\times216=288\pi（cm³）。
  2. 表面積：4πr2=4π×62=144π4\pi r^2=4\pi\times6^2=144\pi（cm²）。

答え　体積 288π288\pi cm³、表面積 144π144\pi cm²

例題2（半球）

半径 3cm の球を、中心を通る平面で半分に切りました。できた半球の体積と表面積を求めなさい。円周率は π\pi とします。

  1. 体積は球の半分：43π×33÷2=36π÷2=18π\dfrac43\pi\times3^3\div2=36\pi\div2=18\pi（cm³）。
  2. 表面は 2 つの部分に分かれる。まるい部分は球の表面積の半分で、4π×32÷2=18π4\pi\times3^2\div2=18\pi。平らな部分は半径 3cm の円で、π×32=9π\pi\times3^2=9\pi。
  3. 表面積 ＝ 18π+9π=27π18\pi+9\pi=27\pi（cm²）。

答え　体積 18π18\pi cm³、表面積 27π27\pi cm²（平らな面の 9π9\pi を足し忘れて 18π18\pi にしないこと）

3cm 球面の半分 平らな面（円） 体積＝ 36π ÷ 2 ＝ 18π 表面積＝ 18π ＋ 9π＝ 27π
半球の表面は「球面の半分」と「平らな円」の 2 つ
ひらめいたハルちゃん

ハルちゃん

半球は、平らな切り口の円を足すのを忘れないようにしなきゃ！

まちがえやすい点

腕でバツを作る合格先生

合格先生

球の公式には半径を入れる！ 直径のまま入れると大きくまちがえるよ。

  • 体積と表面積の公式をまぜる：体積は 43πr3\dfrac43\pi r^3、表面積は 4πr24\pi r^2 です。体積を 4πr34\pi r^3 や 43πr2\dfrac43\pi r^2 にするまちがいが多いです。「体積は 3 乗、面積は 2 乗」で確かめましょう。
  • 直径をそのまま入れる：「直径 10cm の球」なら、半径は 5cm です。r=10r=10 を入れると、体積は 8 倍、表面積は 4 倍の大きさになってしまいます。
  • 半球の表面積で、平らな面を忘れる：半球の表面は、まるい部分（2πr22\pi r^2）と平らな円（πr2\pi r^2）で、合わせて 3πr23\pi r^2 です。
  • 球の表面積を「円の面積」と同じにする：球の表面積は、同じ半径の円の面積 πr2\pi r^2 の 4 倍です。

ことばの由来・歴史

球という漢字は、「たま」「まり」を表します。野球・卓球・地球など、まるいものを表す言葉に使われています。英語では sphere（スフィア）といい、ギリシャ語で「ボール」を表す言葉から来ています。

球の体積と表面積の関係を見つけたアルキメデス（紀元前 3 世紀ごろのギリシャの数学者）は、この発見をとても大切にし、自分のお墓に「円柱にぴったり入った球」の図をきざんでほしいと願った、と伝えられています。

ミニ問題

問題1　半径 3cm の球の体積と表面積を求めましょう。円周率は π\pi を使いましょう。

答えと解き方を見る

体積は 36π36\pi cm³、表面積は 36π36\pi cm² です。

  1. 体積：43π×33=43π×27=36π\dfrac43\pi\times3^3=\dfrac43\pi\times27=36\pi（cm³）。
  2. 表面積：4π×32=36π4\pi\times3^2=36\pi（cm²）。

数は同じ 36 ですが、体積の単位は cm³、表面積の単位は cm² で、別の量です。数が同じになるのは半径が 3 のときだけです。

問題2　直径 10cm の球の表面積を求めましょう。円周率は π\pi を使いましょう。

答えと解き方を見る

100π100\pi cm² です。直径 10cm なので、半径は 5cm。4π×52=100π4\pi\times5^2=100\pi（cm²）。直径 10 をそのまま入れて 400π400\pi にしないよう注意しましょう。

問題3　半径 5cm の球を、中心から 3cm はなれた平面で切ります。切り口の円の面積を求めましょう。

答えと解き方を見る

16π16\pi cm² です。

  1. 球の中心、切り口の円の中心、切り口のふちの点は、直角三角形をつくる（ななめの辺が球の半径 5cm）。
  2. 切り口の円の半径を xx とすると、三平方の定理より x2+32=52x^2+3^2=5^2、x2=16x^2=16、x=4x=4。
  3. 面積は π×42=16π\pi\times4^2=16\pi（cm²）。

三平方の定理は中学 3 年で習います。

関連する公式・用語

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あわせて覚えたい用語

よくある質問

球とは簡単にいうと何ですか？

ボールのように、中心から表面までの距離がどこも同じ立体です。

球の体積の公式は？

3分の4×π×半径×半径×半径です。半径3cmなら36π立方センチメートルです。

球の表面積の公式は？

4×π×半径×半径です。同じ半径の円の面積の4つ分になります。

球を切った切り口はどんな形ですか？

どんな平面で切っても円になります。中心を通る平面で切ったときがいちばん大きく、半径は球の半径と同じです。

半球の表面積はどう求めますか？

球の表面積の半分と、平らな面の円の面積をたします。半径rなら2πr²＋πr²＝3πr²です。

球は何年生で習いますか？

球そのものは小学3年、球の体積と表面積は中学1年で習います。

出典・参考

  • 文部科学省「小学校学習指導要領（平成29年告示）解説 算数編」第3学年 B 図形（円と球）
  • 文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）解説 数学編」第1学年 B 図形（空間図形）

最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦