ペレルマンは何をした人？業績・生涯・名言をわかりやすく｜ポアンカレ予想・フィールズ賞辞退・ミレニアム賞

ペレルマンは何をした人？（業績をひとことで）

グリゴリー・ペレルマン（Grigori Perelman、1966年生まれ）は、ロシアの数学者です。1904年にポアンカレの業績と生涯が問いを出して以来、100年以上解けなかったポアンカレ予想を、2002〜2003年に公開した3本の論文で解決したことで世界に知られています。ポアンカレ予想は、アメリカのクレイ数学研究所が2000年に発表した7つの「ミレニアム懸賞問題」の1つで、これまでに解決されたのはこの1問だけです。

ペレルマンは、その成果に対して贈られるはずだった2006年のフィールズ賞と、2010年のミレニアム賞（賞金100万ドル）を、どちらも辞退したと報じられています。数学の賞を辞退した人は、ほかにほとんどいません。そのため、ペレルマンの名前は、業績の大きさと同じくらい、この出来事でも知られるようになりました。

この記事では、ペレルマンの人柄や私生活についての推測は書きません。公表された論文・受賞の記録・公に報じられた事実だけで、「何が問題で、どう解かれたのか」を、図とたとえ話で説明します。球やドーナツの形の話ですので、小学生でも想像しながら読めるように書きました。数式は少なめです。

ペレルマンの生涯と年表

ここでは、公式の経歴と、公に報じられた受賞・辞退の事実だけを書きます。

レニングラードで生まれ、数学の特別学校へ

ペレルマンは1966年6月13日、ソビエト連邦のレニングラード（今のサンクトペテルブルク）で生まれました。10代のころに、数学と物理を重点的に教えるレニングラード第239特別学校に入りました。1982年には、ブダペストでの国際数学オリンピック（IMO）で満点をとり、金メダルを受けたと記録されています。数学オリンピックについては数学オリンピックの問題（長方形に詰めた正方形）も参考になります。

レニングラード大学からスチェクロフ研究所へ

1982年にレニングラード大学（今のサンクトペテルブルク大学）に入り、1987年に卒業しました。1990年には、スチェクロフ数学研究所のレニングラード支部で「ユークリッド空間の鞍型曲面」という論文で博士の学位を受けています。1990年代には、アメリカの大学などでも研究したことが知られています。この時期に、「アレクサンドロフ空間」という、とがった点があっても幾何学が考えられる空間の研究などで業績をあげました。また、1994年ごろには、幾何学の長年の問題「ソウル予想」（チーガーとグロモルが出した予想）を解いたことでも知られます。

2002〜2003年、3本の論文をインターネットで公開

2002年11月、ペレルマンは「リッチフローのエントロピー公式とその幾何学的な応用」という論文をインターネット上に公開しました。続いて2003年に、「3次元多様体の手術つきリッチフロー」「ある3次元多様体の上のリッチフローの有限時間消滅」を公開しました。この3本は、ポアンカレ予想とサーストンの幾何化予想の証明の道すじを示すものでした。ふつうの数学の論文のように雑誌に投稿するのではなく、ネット上で公開したことも話題になりました。

検証と、数学界の評価

ペレルマンの論文は短く、細かい部分が省略されていたため、世界の数学者たちが数年かけて詳しい解説と検証を行いました。クライナーとロット、モーガンとティアン、曹懐東（ツァオ）と朱熹平（ジュー）らによる検証論文が発表され、2006年ごろまでに、証明は正しいと広く認められました。同じ2006年、アメリカの科学雑誌『サイエンス』は、この成果をその年の「ブレークスルー・オブ・ザ・イヤー」に選びました。

フィールズ賞とミレニアム賞の辞退

2006年8月、スペインのマドリードで開かれた国際数学者会議で、ペレルマンにフィールズ賞が決まりました。しかしペレルマンは受け取らず、フィールズ賞を辞退した最初の人物になりました。2010年3月には、クレイ数学研究所が、ペレルマンがミレニアム賞の条件を満たしたと発表しました。ペレルマンは同年7月にこの賞も辞退したと報じられています。辞退の理由については、ペレルマン自身の短い発言や報道があるものの、くわしい説明はなく、憶測は書きません。

ペレルマンの主な業績をやさしく解説

ペレルマンの名前がつく公式・定理・用語

ペレルマンの名前がつく用語は、大学院レベルの数学のものです。主なものを整理しておきます。

• ペレルマンのエントロピー（$\mathcal{F}$ 汎関数・$\mathcal{W}$ 汎関数）：リッチフローの途中で形がどうなるかを調べるための量。
• 手術つきリッチフロー：リッチフローの途中でできるくびれを切って、ふたをする方法。
• ポアンカレ予想（定理）：単連結な閉3次元多様体は3次元球面と同相。ペレルマンの結果により、いまは定理です。
• 幾何化定理（サーストンの幾何化予想）：3次元多様体は標準的な幾何学の部品に切り分けられる。

高校数学までで関係するのは、「球」と「多面体」の性質です。球の公式は球の体積と表面積の公式で、また、多面体の面・辺・頂点の関係はオイラーの多面体定理 V−E+F＝2で学べます。この「V−E+F」という数は、ふくらませた形のトポロジー（形の性質）を表す、いちばんかんたんな例です。たとえば正多面体の種類と性質は、どれも V−E+F＝2 で、球面と同じ仲間です。

ペレルマンの逸話と名言

ペレルマンについては、報道などでさまざまなことが書かれていますが、ここでは公式の記録として確かめられることと、報道で趣旨が広く伝えられていることだけを紹介します。人柄や私生活についての推測は書きません。

数学オリンピック満点、数学の特別学校

1982年の国際数学オリンピックで、ペレルマンは満点で金メダルを受けたとされます。数学に早くから強くひかれていたこと、特別な学校で学んでいたことは、公式の経歴に記録されています。

論文を雑誌に投稿しなかった

2002〜2003年の3本の論文は、雑誌に投稿せず、インターネットで公開されました。のちにこの形が「新しい論文の出し方」として注目されました。論文を読んだ数学者たちは、短い論文の行間をうめる大きな作業を、数年かけて行いました。

フィールズ賞の辞退

2006年のフィールズ賞を辞退したとき、報道では、ペレルマンが「賞金や名声には関心がない」という趣旨のことを述べたと伝えられました。ただし、発言の原文や正確な言いまわしは出典によって差があります。ここでは辞退したという事実だけを書きます。

ミレニアム賞の辞退

2010年にクレイ数学研究所の賞が発表されたときも、ペレルマンは辞退したと報じられました。ロシアの通信社の取材に、リチャード・ハミルトンの貢献も自分と同じくらい大きいという趣旨のことを答えたと伝えられています。くわしい理由は、ペレルマン自身が詳しく説明していないため、確かめられません。

公の場にほとんど出ない

ペレルマンは、2005年末にスチェクロフ研究所を辞めて以来、公の場やメディアに出ることがごく少ない、と報じられています。ここでは、これが公に報じられていることのみを書き、理由や生活については推測しません。

受験・勉強とペレルマンのつながり

中学受験・高校受験：立体と展開図、多面体

中学受験では、立方体や角柱、円柱などの立体の展開図や、切断の問題が出ます。立体を「ひらく」「切る」「つなぐ」という操作は、トポロジーの発想の入口です。ペレルマンの手術も、形を切ってふたをする操作でした。中学数学では、オイラーの多面体定理を使って、辺の数を求める問題が出ることもあります。

大学受験：空間図形と微分

大学受験では、回転体の体積や、空間図形の問題が出ます。ペレルマンの仕事に関係する本格的な数学（微分幾何学・トポロジー）は大学で学びますが、その土台になるのは、微分とはの考え方と球の性質の理解です。「曲がり具合を測る」という発想は、高校の微分で習う曲線の凹凸（2階微分）と地続きです。

数学オリンピックと勉強法

ペレルマンは数学オリンピックで満点をとったことでも知られます。数学オリンピックをめざす人は、数学オリンピックの問題（長方形に詰めた正方形）のような問題で、発想力を磨くのが近道です。ペレルマンの研究では、一つの問題に長い年月をかけて向き合うという姿勢が見られます。受験勉強でも、むずかしい問題を時間をかけて考えぬく経験は大きな力になります。勉強法は数学の勉強法（解法の暗記→演習→過去問）も参考にしてください。

ほかの大問題とくらべる：フェルマーの最終定理

ペレルマンのポアンカレ予想と並ぶ大問題が、ワイルズの業績と生涯が解いたフェルマーの最終定理です（フェルマーの最終定理とは？わかりやすく解説）。どちらも「問いは分かりやすいのに、解くのに100年以上かかった」問題でした。

ペレルマンがその後の数学にあたえた影響

• 3次元多様体の分類の完成：幾何化予想が証明されたことで、3次元の閉じた空間の形が、標準的な部品の組み合わせで理解できるようになりました。
• リッチフロー研究の発展：ペレルマンの手法は、その後の幾何解析の研究の大きな柱になり、高次元や、ほかの曲がり具合の流れ（曲率流）の研究にも広がっています。
• 宇宙の形への関心：「宇宙の形」を考えるときの数学として、3次元多様体の理論が注目されるきっかけにもなりました。
• 論文の出し方への影響：インターネットで論文を公開し、世界の研究者が検証する、という新しい研究の流れを広めたと語られます。
• ミレニアム懸賞問題：7問のうち、いまのところ解決されたのはポアンカレ予想の1問だけです。残りには、リーマン予想やPとNP問題などがあります。リーマンの業績と生涯の名前がつくリーマン予想も、その1つです。

ペレルマンの証明は、ガウスの業績と生涯に始まる曲面の幾何学（曲がり具合を数で表す）が、約200年かけて発展した先にある、大きな到達点のひとつとして位置づけられています。

ペレルマンに挑戦！練習問題

ペレルマンと関係する数学者

• ポアンカレ（ポアンカレ予想を出した人）：1904年に、ペレルマンが解くことになる問いを出しました。
• サーストン（幾何化予想）：3次元空間の分類を予想した、アメリカの数学者です。
• リーマン（多様体の考えの出発点）：多様体と曲がり具合の幾何学を始めました。
• ガウス（曲面の幾何学）：曲面の曲がり具合（ガウス曲率）を調べた人です。
• オイラー（多面体定理）：V−E＋F＝2 を見つけ、トポロジーの先がけになりました。
• ワイルズ（フェルマーの最終定理）：もう1つの大きな難問を解いた現代の数学者です。
• ミルザハニ（女性初のフィールズ賞）：曲面の幾何学で業績をあげた数学者です。

数学の公式を1つずつ学ぶなら算数・数学の公式一覧（公式辞典）、数学全体の入口は算数・数学 公式と用語の一覧（学年別・分野別）もどうぞ。

現代（1940年以降生まれ）の数学者

• サーストン（1946〜2012）
  幾何化予想（ポアンカレ予想をふくむ）
• 柏原正樹（1947〜）
  D加群・結晶基底。2025年アーベル賞
• 森重文（1951〜）
  3次元の極小モデル理論でフィールズ賞（1990年）
• ワイルズの業績と生涯
  フェルマーの最終定理を証明（1995年に論文発表）
• 張益唐（1955〜）
  差が7000万以下の素数の組が無限にあることを証明（双子素数予想への一歩）
• 望月新一（1969〜）
  IUT理論でABC予想を証明したと発表（論文は2021年に掲載、評価は分かれる）
• テレンス・タオの業績と生涯
  「等差数列をふくむ素数」のグリーン・タオの定理。フィールズ賞（2006年）
• ミルザハニの業績と生涯
  女性で初めてフィールズ賞（2014年）
• ヴィアゾフスカ（1984〜）
  8次元・24次元の球の最密充填を証明。フィールズ賞（2022年）
• ショルツェ（1987〜）
  パーフェクトイド空間。フィールズ賞（2018年）

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ペレルマンがかかわった数学の難問

• ポアンカレ予想とは（解決）
  穴のない3次元の図形は、球と同じ形と言えるか。ミレニアム懸賞問題で唯一の解決

有名な数学者一覧（年代順・国別・分野別）で、ほかの数学者も見られます。数学者たちが挑んだ問題は数学の難問・未解決問題の一覧にまとめています。

読みもの（合格大作戦の数学の記事）

• フェルマーの最終定理とは？わかりやすく解説
  n＝2と3以上の違い、ワイルズの証明
• 数学オリンピックの問題（長方形に詰めた正方形）
  中学生でも解ける本番の問題
• 算数・数学の公式一覧（公式辞典）
  公式・証明・例題を1つずつ
• 数学用語辞典（用語の意味を1語1ページ）
  素数・漸近線など200語
• 算数・数学 公式と用語の一覧（学年別・分野別）
  公式辞典と用語辞典の入口
• 数学の勉強法（解法の暗記→演習→過去問）
  青・黄・赤チャートの使い分け
• 日本人ノーベル賞受賞者一覧（出身大学・出身高校）
  受賞年・受賞年齢まとめ

よくある質問

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