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正多面体とは
どの面も合同な正多角形で、どの頂点にも同じ数の面が集まる、へこみのない立体です。正四面体・正六面体・正八面体・正十二面体・正二十面体の5種類だけがあります。
ハルちゃん
正多面体って、何種類くらいあるの？ 正百面体とかもある？
合格先生
じつは5種類しかないんだ。1つの頂点に集まる角の和が360°より小さくないと立体にならないからだよ。だから正百面体はないんだ。
この用語のポイント
- 正多面体 ＝ 合同な正多角形の面＋どの頂点も同じ数の面
- 5種類だけ（正四・正六・正八・正十二・正二十面体）
- 頂点 − 辺 ＋ 面 ＝ 2（オイラーの多面体定理）
やさしく言うと
正多面体は、同じ大きさの正多角形だけでできていて、どの頂点も同じ形をした、へこみのない立体です。身近なものにたとえてみましょう。
- サイコロ：ふつうのサイコロは、同じ大きさの正方形 6 枚でできた立方体です。これは正六面体という正多面体です。どの面が出るのも同じくらいなのは、どの面も同じ形・同じ大きさだからです。
- ボードゲームのサイコロ：4 面・8 面・12 面・20 面のサイコロがあります。これらも正多面体の形です。面の形がそろっているので、どの目も同じように出ます。
- 三角の紙パック：昔の牛乳やジュースには、三角すいの形をした紙パックがありました。4 つの面がすべて正三角形なら、正四面体です。
そして正多面体は、全部で5種類しかありません。
まとめると、正多面体は「面も頂点も、どこを見ても同じ」立体です。
正多面体の条件
- どの面も合同な正多角形。
- どの頂点にも、同じ数の面が集まっている。
- へこみのない立体である。
| 名前 | 面の形 | 面の数 | 頂点の数 | 辺の数 | 1つの頂点に集まる面 |
|---|---|---|---|---|---|
| 正四面体 | 正三角形 | 4 | 4 | 6 | 3 |
| 正六面体 | 正方形 | 6 | 8 | 12 | 3 |
| 正八面体 | 正三角形 | 8 | 6 | 12 | 4 |
| 正十二面体 | 正五角形 | 12 | 20 | 30 | 3 |
| 正二十面体 | 正三角形 | 20 | 12 | 30 | 5 |
どれも 頂点の数 − 辺の数 ＋ 面の数 ＝ 2 になっています（オイラーの多面体定理）。たとえば正六面体なら 、正二十面体なら です。
名前の「〇面体」は面の数を表しています。正八面体は面が 8 枚、正二十面体は面が 20 枚です。頂点の数や辺の数ではないので注意しましょう。
正多面体・正多面体ではない立体
○ 正多面体
- サイコロ（正六面体＝立方体。正方形 6 枚）
- 4 つの面がすべて正三角形の三角すい（正四面体）
- 正八面体（正四角すいを 2 つ、底面で合わせた形）
- 12 面のサイコロ（正十二面体。正五角形 12 枚）
- 20 面のサイコロ（正二十面体。正三角形 20 枚）
× 正多面体ではない
- 直方体（長方形の面がある）
- 正三角形 6 枚で、三角すいを 2 つ合わせた形（頂点に集まる面が 3 つの所と 4 つの所がある）
- サッカーボールの形（正五角形と正六角形がまざる）
- 底面が正方形で、側面が二等辺三角形の四角すい（面の形がそろわない）
- 円柱・円すい・球（曲がった面がある）
×の立体は、「面がそろっていない」か「頂点の形がそろっていない」かのどちらかです。とくに 2 つ目の立体は、面は全部同じ正三角形なのに正多面体ではありません。頂点の条件まで確かめることが大切です。
5種類しかない理由
立体の1つの頂点には、3つ以上の面が集まります。そして、集まった角の和が より小さくないと、とがった頂点になりません（ ちょうどだと平らになってしまいます）。
正三角形（1つの角 ）は3・4・5個、正方形（）は3個、正五角形（）は3個まで。正六角形（）は3個で になってしまうので使えません。正七角形より角の多い正多角形は、1 つの角がもっと大きいので、3 個でも をこえます。だから、正多面体は5種類だけです。
まなぶくん
角の和が360°になると、平らになって立体にならないんだ。だから正多面体は5種類しかないんだね！
展開図と、面の中心を結んだ形
正多面体を紙で作るときは、展開図をかきます。正四面体は、大きい正三角形を 4 つに分けた形がいちばん簡単です。正八面体は、正三角形を交互にならべた帯に、上と下の 1 枚ずつをつけると作れます。
展開図は 1 通りではありません。たとえば立方体の展開図は 11 種類あります。どの面とどの面が向かい合うかは、組み立てたときの形を頭の中で動かして考えます。
もう 1 つ、おもしろい性質があります。立方体の 6 つの面の中心を、となりあう面どうしで結ぶと、正八面体ができます。
まなぶくん
どうして立方体の中に、正八面体ができるの？
合格先生
立方体の面は 6 つだから、中心の点も 6 個。それが正八面体の 6 個の頂点になるんだ。立方体の頂点は 8 個で、そのまわりの 3 つの面の中心を結んだ三角形が 8 枚できる。だから面と頂点の数が入れかわるんだよ。
正十二面体と正二十面体も、同じように面と頂点が入れかわる組です。正四面体の面の中心を結ぶと、小さな正四面体ができます。高校以上ではこの組を「双対（そうつい）」とよびますが、中学までの用語ではありません。
テスト・入試ではこう出る
正多面体は中学1年の空間図形で習います。中学受験の算数でもよく出ます。よく問われるのは、次のような問題です。
- 面・頂点・辺の数を、表を覚えずに計算で求める。
- 展開図を組み立てたとき、向かい合う面や重なる頂点を答える。
- 立方体の頂点を切り落としたり、面の中心を結んだりしてできる立体を答える。
- 高校では、正四面体の体積・高さや、外接球・内接球の半径を求める問題。
例題1（頂点と辺の数）
正二十面体の頂点の数と辺の数を求めなさい。正二十面体の面は正三角形で、1 つの頂点には 5 つの面が集まります。
- 面は正三角形 20 枚。角をばらばらに数えると 個。
- 1 つの頂点には 5 つの面が集まるので、頂点の数は 個。
- 辺をばらばらに数えると 本。1 本の辺は 2 つの面が使うので、 本。
- たしかめ：。
答え 頂点 12 個、辺 30 本
例題2（切り口の形）
立方体の 1 つの頂点に集まる 3 つの辺の、もう一方のはしの点を 3 つ結んで三角形を作ります。この三角形はどんな三角形ですか。
- 立方体の 1 つの頂点に集まる 3 つの面は、どれも正方形で、たがいにとなりあっています。
- 正方形の対角線は、どれも同じ長さです。
- 3 つの点を結ぶ線は、3 本とも正方形の対角線なので、長さが等しくなります。
答え 正三角形（3 辺がすべて等しいから）。このように頂点を切り落とす問題では、切り口が正三角形になることがよく使われます。
合格先生
頂点の数は「面の数 × 角の数 ÷ 1 つの頂点に集まる面の数」。重なりの分でわるのがコツだ！
まちがえやすい点
合格先生
正十二面体の面は正五角形、正二十面体の面は正三角形。正六角形の正多面体はないよ！
- 面の形と数を取りちがえる：正十二面体の面は正五角形、正二十面体の面は正三角形です。「十二」だから正十二角形、ではありません。正六角形の面をもつ正多面体もありません。
- 面が全部合同な正多角形なら正多面体だと思う：正三角形6枚で三角すいを2つ合わせた立体は、頂点に集まる面の数が3つの所と4つの所があるので、正多面体ではありません。
- 辺の数をそのままたしてしまう：正六面体の辺を「 本」とするのは×。1 本の辺は 2 つの面が使っているので、 本です。正二十面体なら 本です。
- 頂点の数をわる数をまちがえる：頂点の数は、角の数の合計を「1 つの頂点に集まる面の数」でわります。正八面体なら 個です。いつも 3 でわるわけではありません。
- 「〇面体」の数を頂点の数とかんちがいする：正八面体の頂点は 6 個、正十二面体の頂点は 20 個です。名前の数字は面の数です。
ことばの由来・歴史
「正多面体」は、「正しい（すべてそろった）多くの面の立体」という意味です。英語では regular polyhedron（レギュラー・ポリヘドロン）といいます。poly は「多い」、hedron は「面」を表すギリシャ語がもとになっています。
古代ギリシャの哲学者プラトンが、5 つの正多面体を世界をつくる元素と結びつけて語ったことから、プラトンの立体ともよばれます。また、ユークリッドの『原論』の最後の巻では、正多面体が 5 種類しかないことが示されています。
ミニ問題
問題1 正八面体の辺の数を、「面の数」と「1つの面の辺の数」から計算で求めましょう。
答えと解き方を見る
12 本です。面は正三角形 8 枚なので、辺をばらばらに数えると 本。1 本の辺は 2 つの面が使っているので、 本です。
問題2 正十二面体の頂点の数を求めましょう。1 つの頂点には 3 つの面が集まります。
答えと解き方を見る
20 個です。面は正五角形 12 枚なので、角をばらばらに数えると 個。1 つの頂点には 3 つの面の角が集まるので、 個です。たしかめ： でオイラーの多面体定理も成り立ちます。
問題3 立方体の 6 つの面の中心（対角線の交点）を、となりあう面どうしで線で結びます。できる立体の名前と、その辺の数を答えましょう。
答えと解き方を見る
正八面体で、辺は 12 本です。立方体の面は 6 つなので、できる立体の頂点は 6 個。となりあう面の組は、立方体の辺の数と同じ 12 組あるので、辺も 12 本です。面は立方体の頂点の数と同じ 8 枚になります。
関連する公式・用語
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あわせて覚えたい用語
よくある質問
正多面体は何種類ありますか？
正四面体・正六面体（立方体）・正八面体・正十二面体・正二十面体の5種類だけです。
正多面体が5種類しかないのはなぜですか？
1つの頂点には3つ以上の面が集まり、その角の和が360°より小さくないと立体にならないからです。この条件を満たす組み合わせが5通りしかありません。
正多面体の頂点・辺・面の数は？
正四面体は頂点4・辺6・面4、正六面体は8・12・6、正八面体は6・12・8、正十二面体は20・30・12、正二十面体は12・30・20です。
正多面体の辺の数はどうやって求めますか？
面の数に1つの面の辺の数をかけ、2でわります。1本の辺を2つの面が使っているからです。正二十面体なら20×3÷2＝30本です。
立方体と正六面体は同じものですか？
同じものです。正方形6枚でできた正多面体を、正六面体とも立方体ともいいます。
正多面体は何年生で習いますか？
中学1年の空間図形で習います。中学受験の算数でも、頂点・辺・面の数を求める問題がよく出ます。
出典・参考
- 文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）解説 数学編」第1学年 B 図形（空間図形）
最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦
