角柱・角錐の辺・面・頂点の数の解き方と公式｜n角柱は3n本・n角すいは2n本の理由・角を切り落とす問題【中学受験】

まなぶくん

角柱の辺の数、いつも少なく数えちゃうんだ。

合格先生

上の辺・下の辺・横の辺の3つに分けて数えよう。どれも $n$ 本ずつだから、$n$ 角柱の辺は $3n$ 本だ。

角柱・角すいの辺・面・頂点の数

なぜそうなるのか

n 角柱

• 頂点：上の面（$n$ 角形）に $n$ 個、下の面に $n$ 個。合わせて $2n$ 個。
• 辺：上の面のまわりに $n$ 本、下の面のまわりに $n$ 本、上と下をつなぐ横の辺が $n$ 本。合わせて $3n$ 本。
• 面：横の面（側面）は、底面の辺1本につき1つの長方形で $n$ 個。それに上と下の2つを足して $n+2$ 個。

n 角すい

• 頂点：底面に $n$ 個、とがった上の頂点が1個。合わせて $n+1$ 個。
• 辺：底面のまわりに $n$ 本、上の頂点から底面の頂点へ $n$ 本。合わせて $2n$ 本。
• 面：側面は底面の辺1本につき1つの三角形で $n$ 個、それに底面1つで $n+1$ 個。

角すいは、頂点の数と面の数がいつも同じ（$n+1$）なのが特ちょうです。

角すい台は角柱と同じ数

角すいを底面に平行な平面で切って、上の小さな角すいを取りのぞいた立体（$n$ 角すい台）は、上と下に $n$ 角形があり、横の面が $n$ 個の台形です。数え方は角柱とまったく同じで、頂点 $2n$、辺 $3n$、面 $n+2$ になります。

角を切り落とすと、どう変わるか

立方体のように、1つの頂点に3本の辺が集まっている立体の角を、小さく1つ切り落とすと、

• 頂点は、もとの1個がなくなり、切り口の三角形の3個がふえる（$-1+3=+2$）
• 辺は、切り口の三角形の3本がふえる（$+3$）
• 面は、切り口が1つふえる（$+1$）

中学受験（算数）での使い方

高校受験（中学数学）での使い方

よくある間違い

合格先生

角を切り落としたとき、頂点を3つふやすだけにするな。もとの頂点が1つなくなるから、ふえるのは2つだ。

• 角柱の辺を $2n$ とする：上と下の辺だけでなく、横の辺 $n$ 本を忘れずに。角柱の辺は $3n$。
• 角すいの面を $n$ とする：側面 $n$ 個のほかに底面1つがある。面は $n+1$。
• 角を切り落としたとき、頂点を「+3」だけにする：もとの角の頂点が1個なくなるので、$-1+3=+2$。

練習問題

ハルちゃん

グループに分けて数えれば、もう数えまちがえないね！

1. 中学受験 六角すいの頂点、辺、面の数は？
   答えと解説を見る

   頂点 $6+1=7$、辺 $6\times2=12$、面 $6+1=7$。答え 頂点7個、辺12本、面7個
2. 中学受験 頂点の数が 20 の角柱の、辺の数と面の数は？
   答えと解説を見る

   頂点 $2n=20$ より十角柱。辺 $3\times10=30$、面 $10+2=12$。答え 辺30本、面12個
3. 高校受験 三角柱の頂点を1つだけ小さく切り落とした立体の、頂点・辺・面の数は？
   答えと解説を見る

   三角柱は頂点6、辺9、面5。三角柱の1つの頂点にも3本の辺が集まるので、頂点 $6-1+3=8$、辺 $9+3=12$、面 $5+1=6$。確かめ $8-12+6=2$。答え 頂点8個、辺12本、面6個

関連する公式

• オイラーの多面体定理
• 正多面体（5種類だけある理由）
• 多角形の対角線の本数
• 立体の切断
• 錐体（円錐・角錐）の体積
• 立体の表面積

よくある質問

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