多角形の対角線の本数の公式 n(n−3)/2｜なぜ÷2かの理由・何角形かを求める問題・対角線の交点の数 nC4 と例題【中学受験〜大学受験】

Q: 対角線の本数から何角形かを求めるには？

n(n−3)÷2＝本数 として、n×(n−3) が本数の2倍になる n をさがします。差が3の2つの数の積と考えると見つけやすいです。

中学受験高校受験大学受験

\frac{n(n-3)}{2}

1つの頂点から $n-3$ 本、2回数えるので $\div2$

この公式のポイント

1つの頂点から $n-3$ 本（自分と両どなりをのぞく）
同じ対角線を2回数えるので ÷2
別の見方： ${}_n\mathrm{C}_2-n$ （全部の線−辺）
交点の数は ${}_n\mathrm{C}_4$ （3本が1点で交わらないとき）

ハルちゃん

対角線の本数の式で、どうして最後に2でわるの？

合格先生

対角線ACは、Aから引いた線としても、Cから引いた線としても数えている。どれも2回数えているから÷2だ。

多角形の対角線の本数の公式

対角線とは、多角形のとなり合わない2つの頂点を結ぶ線分です。

n 角形の対角線の本数

\frac{n(n-3)}{2}\ \text{本}

覚え方：1つの頂点から $(n-3)$ 本、それが $n$ 頂点分、同じ線を2回数えるので ÷2。

あわせて：1つの頂点から対角線を引くと、多角形は $(n-2)$ 個の三角形に分かれる。

多角形	1つの頂点から	対角線の本数
四角形	1本	2本
五角形	2本	5本
六角形	3本	9本
七角形	4本	14本
八角形	5本	20本
十角形	7本	35本
十二角形	9本	54本
二十角形	17本	170本

六角形の頂点 A からは、A 自身と両どなりをのぞいた 3本の対角線が引ける

なぜその式になるのか

考え方①：1つの頂点から数えて、2でわる

$n$ 角形の1つの頂点から、ほかの頂点に線を引くことを考えます。ほかの頂点は $(n-1)$ 個ありますが、となりの2つと結ぶ線は辺なので、対角線ではありません。だから1つの頂点から引ける対角線は

(n-1)-2=n-3\ \text{本}

頂点は $n$ 個あるので $n\times(n-3)$ 本…としたいところですが、対角線 AC は「A から引いた線」としても「C から引いた線」としても数えています。どの対角線も2回ずつ数えているので、2でわって $\dfrac{n(n-3)}{2}$ 本です。

六角形は 9本、八角形は 20本。1本を両はしから2回数えるので÷2

考え方②：全部の線から辺を引く

$n$ 個の頂点から2つを選んで結ぶ線は、全部で ${}_n\mathrm{C}_2=\dfrac{n(n-1)}{2}$ 本（組合せ）。そのうち $n$ 本は辺なので、

\frac{n(n-1)}{2}-n=\frac{n(n-1)-2n}{2}=\frac{n(n-3)}{2}

2つの考え方で、同じ式になります。

おまけ：対角線どうしの交点の数

へこみのない $n$ 角形で、3本以上の対角線が1点で交わらないとき、内部の交点の数は ${}_n\mathrm{C}_4$ 個です。4つの頂点を選ぶと四角形ができ、その2本の対角線の交点がちょうど1つ決まるからです。（正六角形や正八角形などでは、中心で3本以上が交わるので、この数より少なくなります。）

五角形の対角線の交点は5個。4頂点を選ぶごとに交点が1つ決まる

中学受験（算数）での使い方

中学受験

例題1（本数を求める）

十二角形の対角線は全部で何本ありますか。

解き方

1つの頂点から $12-3=9$ （本）。頂点は12個なので $9\times12=108$ 。同じ線を2回数えているので $108\div2=54$ （本）。

答え　54本

中学受験

例題2（何角形かを求める）

対角線が全部で 35本ある多角形は何角形ですか。

解き方

（頂点の数）×（頂点の数−3）÷2＝35 なので、（頂点の数）×（頂点の数−3）＝70。

差が3の2つの数をかけて70になるのは $10\times7$ 。だから頂点は10個。

答え　十角形

高校受験（中学数学）での使い方

高校受験

例題3（文字式と方程式）

対角線の本数が辺の数と等しくなる多角形は何角形ですか。

解き方

$n$ 角形とすると $\dfrac{n(n-3)}{2}=n$ 。 $n>0$ なので両辺を $n$ でわって $\dfrac{n-3}{2}=1$ 、 $n=5$ 。

確かめ：五角形の対角線は $5\times2\div2=5$ 本で、辺も5本。

答え　五角形

大学受験（数学A）での使い方

大学受験

例題4（辺を共有しない三角形）

正十角形の10個の頂点から3個を選んで三角形を作る。正十角形と辺を1つも共有しない三角形は何個あるか。

解き方

全部で ${}_{10}\mathrm{C}_3=120$ 個。

辺を2つ共有するのは、となり合う3頂点を選ぶときで10個。

辺をちょうど1つ共有するのは、辺を1本選び（10通り）、残り1頂点をその辺の両はしにもその両どなりにもならないように選ぶ（ $10-4=6$ 通り）ときで $10\times6=60$ 個。

$120-10-60=50$ （個）。

答え　50個

大学受験

例題5（対角線の交点）

へこみのない八角形で、どの3本の対角線も1点で交わらないとき、対角線の本数と、内部の交点の数を求めよ。

解き方

対角線は $\dfrac{8\cdot5}{2}=20$ 本。

交点は4頂点の選び方と1対1に対応するので ${}_8\mathrm{C}_4=70$ 個。

答え　対角線 20本、交点 70個

よくある間違い

合格先生

1つの頂点から引ける本数を $n-2$ にするな。自分と両どなりをのぞくので $n-3$ 本だ。

2でわり忘れる： $n(n-3)$ は同じ対角線を2回数えた数。必ず ÷2。
1つの頂点からの本数を $n-1$ や $n-2$ にする：自分自身と両どなりの3つをのぞくので $n-3$ 本。 $n-2$ は「1つの頂点から引いた対角線で分けた三角形の数」。
交点の数を正多角形にそのまま使う： ${}_n\mathrm{C}_4$ は3本以上が1点で交わらないときだけ。正六角形は中心で3本が交わる。

練習問題

まなぶくん

1つの頂点から何本か、まず数えてみるよ。

中学受験二十角形の対角線は何本？
答えと解説を見る
1つの頂点から $20-3=17$ 本。 $17\times20\div2=170$ 。答え 170本
高校受験対角線の本数が辺の数の3倍になる多角形は何角形？
答えと解説を見る
$\dfrac{n(n-3)}{2}=3n$ より $n-3=6$ 、 $n=9$ 。確かめ $9\times6\div2=27=3\times9$ 。答え九角形
大学受験へこみのない七角形で、どの3本の対角線も1点で交わらないとき、内部の交点の数は？
答えと解説を見る
4頂点を選ぶごとに交点が1つ。 ${}_7\mathrm{C}_4=35$ 。答え 35個

よくある質問

多角形の対角線の本数の公式は？

n角形の対角線の本数は n(n−3)/2 本です。

なぜ2でわるのですか？

1つの対角線を、両はしの2つの頂点からそれぞれ1回ずつ、合わせて2回数えているからです。

1つの頂点から引ける対角線は何本ですか？

n−3 本です。自分自身と、となりの2つの頂点には対角線が引けないからです。

対角線の本数から何角形かを求めるには？

n(n−3)÷2＝本数として、n×(n−3) が本数の2倍になる n をさがします。差が3の2つの数の積と考えると見つけやすいです。