多角形とは？内角の和・外角の和をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

まなぶくん

多角形って、角がたくさんある形のことですか？

合格先生

そうだよ。正しくはまっすぐな線だけで囲まれた形のことだ。三角形も四角形も多角形の仲間。円のように曲がった線があると、多角形とはいわないんだ。

やさしく言うと

多角形は、3本以上のまっすぐな線（線分）だけで、ぐるっと囲まれた形です。三角形・四角形・五角形……がその仲間で、$n$ 本の線分で囲まれた形を $n$ 角形といいます。身のまわりにもたくさんあります。

• 道路標識：日本の「止まれ」の標識は逆さまの三角形、「この先カーブ」などの注意の標識は黄色のひし形です。遠くからでも形で見分けられるように作られています。
• サッカーボール：よく見るボールは、正五角形と正六角形の布をぬい合わせて作られています。
• ハチの巣：ハチの巣の部屋の入り口は、正六角形がすき間なく並んだ形です。

囲んでいる線分を辺、辺と辺のつなぎ目を頂点、となりあわない頂点どうしを結ぶ線分を対角線といいます。辺の長さがすべて等しく、角の大きさもすべて等しい多角形を正多角形といいます。

まとめると、多角形は「まっすぐな辺だけで、すき間なく囲まれた形」です。

多角形・多角形ではない形

へこんだ形も多角形です。ただし小学校・中学校の問題で「多角形」というときは、ほとんどがへこみのない形（凸多角形）です。

図で見る：内角の和・外角の和

• 内角の和：$n$ 角形の内角の和は $180^\circ\times(n-2)$。五角形なら $180^\circ\times3=540^\circ$（上の図1）。
• 外角の和：どんな多角形でも、外角の和はいつも $360^\circ$。多角形のまわりを歩いて1周すると、ちょうど1回転するからです。

まなぶくん

n角形は、1つの頂点から三角形が(n−2)個できる。だから内角の和は 180°×(n−2) なんだ！

ハルちゃん

どうして三角形は n 個じゃなくて (n−2) 個なんですか？

合格先生

出発する頂点 A の両どなりの辺は、もう三角形の辺になっているよね。A から対角線は (n−3) 本しか引けなくて、線が (n−3) 本なら、区切られた部屋は 1 つ多い (n−2) 個になるんだ。

多角形の中に1点をとって、各頂点と結ぶ考え方もあります。このときは三角形が $n$ 個できるので $180^\circ\times n$。ただし、まん中の点のまわりの $360^\circ$ は内角ではないので引いて、$180^\circ\times n-360^\circ=180^\circ\times(n-2)$。同じ式になります。

対角線の本数

$n$ 角形の1つの頂点からは、自分と両どなりをのぞいた $(n-3)$ 本の対角線が引けます。頂点は $n$ 個あるので $n\times(n-3)$ 本……ですが、AC と CA のように同じ線を2回数えているので2でわります。

$$\text{対角線の本数}=\frac{n(n-3)}{2}$$

正多角形

正多角形は、辺の長さと角の大きさの両方がすべて等しい多角形です。どちらか一方だけでは正多角形になりません。

正多角形の1つの外角は $360^\circ\div n$ です。ここから1つの内角は $180^\circ-360^\circ\div n$ と求められます。正六角形なら外角 $60^\circ$、内角 $120^\circ$ です。また、正多角形の頂点はすべて1つの円の上にあるので、円の中心から頂点に線を引くと、合同な二等辺三角形に分けられます（正六角形なら正三角形 6 個）。

テスト・入試ではこう出る

正多角形は小学5年、多角形の内角の和・外角の和は中学2年で習います。中学受験では、正多角形の1つの角や対角線の本数、正多角形を組み合わせた図の角度がよく出ます。高校入試では、内角・外角の和を使って角度を求める問題が定番です。

ハルちゃん

正多角形の問題は、まず外角を求める。360°でわれば、すぐに角の数が分かるね！

まちがえやすい点

合格先生

内角の和は 180°×n ではなく 180°×(n−2)！ 外角の和は何角形でも360°だよ。

• 内角の和を $180^\circ\times n$ にする：分けられる三角形は $n$ 個ではなく $(n-2)$ 個です。六角形なら $180^\circ\times4=720^\circ$。
• 辺の長さが等しいだけで正多角形とする：ひし形は辺がすべて等しくても、角が等しくないので正多角形ではありません。長方形は角が等しくても、辺が等しくないので正多角形ではありません。
• 外角の和も角の数で増えると思う：外角の和は、何角形でも $360^\circ$ です。正多角形の1つの外角は $360^\circ\div n$ で、ここから1つの内角（$180^\circ-$ 外角）を求めることもできます。
• 対角線の本数で2でわるのを忘れる：六角形で $6\times3=18$ 本としてしまうまちがいです。AC と CA は同じ線なので、$18\div2=9$ 本です。
• 対角線の式の $(n-3)$ を $(n-2)$ にする：内角の和の $(n-2)$ とまざりやすい点です。「三角形の数は $n-2$、1つの頂点からの対角線は $n-3$」と分けて覚えます。

ことばの由来

「多角形」は文字どおり「角が多い形」という意味です。英語の polygon（ポリゴン）は、ギリシャ語の「多い」と「角」を組み合わせたことばです。コンピューターグラフィックスで、立体を小さな多角形の面の組み合わせで表すことを「ポリゴン」と呼ぶのも、ここから来ています。

ミニ問題

関連する公式・用語

公式辞典で、くわしい証明と例題を見る

• 多角形の内角の和・外角の和
• 多角形の対角線の本数
• 角度の求め方（正多角形の1つの角）
• 正六角形の面積の分け方

あわせて覚えたい用語

• 線対称・点対称
• 正多面体
• 台形・ひし形

よくある質問