正多面体が5種類しかない理由｜頂点の角の和360°未満の証明・辺と頂点の数え方・双対・オイラーの定理で示す例題【中学受験〜大学受験】

Q: 正多面体は何種類ありますか？

正四面体・正六面体（立方体）・正八面体・正十二面体・正二十面体の5種類です。

Q: なぜ正多面体は5種類しかないのですか？

1つの頂点には3枚以上の面が集まり、その角の和が360°より小さくなければなりません。正多角形でこれをみたす組み合わせは5通りしかないからです。

Q: 正多面体の辺の数の求め方は？

面の数×1つの面の辺の数÷2 で求めます。1本の辺を2つの面が共有しているので2でわります。

Q: 正多面体の双対とは？

各面の中心を結んでできる正多面体のことで、面の数と頂点の数が入れかわります。立方体と正八面体、正十二面体と正二十面体が双対で、正四面体の双対は正四面体です。

合格大作戦算数・数学公式辞典 › 図形

中学受験高校受験大学受験

\text{1つの頂点の角の和}<360^\circ

正三角形3・4・5枚、正方形3枚、正五角形3枚の5通り

この公式のポイント

正多面体は5種類だけ
1つの頂点に3枚以上、角の和は360°未満
辺＝面の数×面の辺の数÷2
面の中心を結ぶと双対の正多面体

ハルちゃん

正多面体って、どうして5種類しかないの？

合格先生

1つの頂点には3枚以上の面が集まり、角の和は360°未満でないと立体にならない。その組み合わせが5通りしかないんだ。

正多面体は5種類だけ

正多面体とは、へこみのない立体で、①すべての面が合同な正多角形、②どの頂点にも同じ数の面が集まっている、という2つの条件をみたすものです。正多面体は次の5種類しかありません。

5種類の正多面体

正四面体・正六面体（立方体）・正八面体・正十二面体・正二十面体

理由：1つの頂点に集まる角の和が 360° より小さくなければならず、それをみたす面の組み合わせが5通りしかないから。

正多面体	面の形	面の数	辺の数	頂点の数	1つの頂点に集まる面
正四面体	正三角形	4	6	4	3
正六面体	正方形	6	12	8	3
正八面体	正三角形	8	12	6	4
正十二面体	正五角形	12	30	20	3
正二十面体	正三角形	20	30	12	5

5種類の正多面体（点線は向こう側の辺）

5種類しかない理由

立体の1つの頂点を考えます。

頂点を作るには、面が3枚以上集まる必要があります（2枚では、ぺらぺらの板が重なるだけで立体の角になりません）。
集まった面の角の和は 360° より小さくなければいけません。ちょうど 360° だと平らにしきつめられてしまい、360° をこえると重なってしまって、折り曲げてとがった頂点を作れません。

正多角形の1つの角は、正三角形 60°、正方形 90°、正五角形 108°、正六角形 120° です（多角形の内角の和から）。これを3枚以上集めて 360° 未満になるものをさがします。

面の形	3枚	4枚	5枚	6枚
正三角形（60°）	180° ○ 正四面体	240° ○ 正八面体	300° ○ 正二十面体	360° ×
正方形（90°）	270° ○ 立方体	360° ×	—	—
正五角形（108°）	324° ○ 正十二面体	432° ×	—	—
正六角形（120°）	360° ×	—	—	—

正六角形より角の多い正多角形は、1つの角が 120° より大きいので、3枚でも 360° をこえてしまいます。だから候補は5通りだけ。そして、その5通りはどれも実際に立体を作ることができます。これで正多面体がちょうど5種類であることが分かります。

1つの頂点のまわりに面を並べる。角の和が 360° 未満の5通りだけが立体の頂点になる

辺と頂点の数え方

面の数から、辺と頂点の数を計算で出せます。

辺の数＝面の数×（1つの面の辺の数）÷2　（1本の辺は2つの面で共有）
頂点の数＝面の数×（1つの面の頂点の数）÷（1つの頂点に集まる面の数）

たとえば正十二面体は、辺 $12\times5\div2=30$ 、頂点 $12\times5\div3=20$ 。どれもオイラーの多面体定理頂点−辺＋面＝2 をみたします（ $20-30+12=2$ ）。

双対（そうつい）：面と頂点を入れかえる

正多面体の各面の中心を結ぶと、また正多面体ができます。立方体からは正八面体、正八面体からは立方体、正十二面体からは正二十面体、正二十面体からは正十二面体、正四面体からは正四面体ができます。このとき面の数と頂点の数が入れかわり、辺の数は同じです。表で、立方体と正八面体、正十二面体と正二十面体の数が入れかわっているのはこのためです。

立方体の6つの面の中心を結ぶと正八面体（赤）になる

中学受験（算数）での使い方

中学受験

例題1（辺と頂点の数）

正二十面体は、20枚の正三角形でできていて、1つの頂点に5枚の面が集まっています。辺の数と頂点の数を求めなさい。

解き方

正三角形20枚の辺は全部で $3\times20=60$ 本。1本の辺は2枚の面で共有するので、辺は $60\div2=30$ （本）。

頂点は全部で $3\times20=60$ こ分。1つの頂点に5枚集まるので、 $60\div5=12$ （こ）。

答え　辺 30本、頂点 12こ

中学受験

例題2（正八面体）

正八面体の頂点の数と辺の数を求めなさい。

解き方

正三角形8枚。辺は $3\times8\div2=12$ （本）。1つの頂点に4枚集まるので、頂点は $3\times8\div4=6$ （こ）。

答え　頂点 6こ、辺 12本

高校受験（中学数学）での使い方

高校受験

例題3（正六角形の面がない理由）

正六角形を面とする正多面体がない理由を説明しなさい。

解き方

正六角形の1つの内角は $180^\circ\times(6-2)\div6=120^\circ$ 。立体の頂点には3枚以上の面が集まるが、3枚でも $120^\circ\times3=360^\circ$ となり平らになってしまう。だから立体の頂点が作れない。

答え　1つの頂点の角の和が 360° 以上になり、頂点が作れないから

大学受験（数学A）での使い方

オイラーの多面体定理を使うと、「5種類しかない」を式で示せます。

大学受験

例題4（式で証明する）

各面が正

p

角形で、各頂点に

q

枚の面が集まる正多面体について、頂点・辺・面の数を

V,\ E,\ F

とする（

p\geqq3

、

q\geqq3

）。オイラーの多面体定理

V-E+F=2

を用いて、

(p-2)(q-2)<4

を示し、

(p,\ q)

の組をすべて求めよ。

解き方

辺を面から数えると $pF=2E$ 、頂点から数えると $qV=2E$ 。よって $F=\dfrac{2E}{p}$ 、 $V=\dfrac{2E}{q}$ 。

オイラーの定理に入れて $\dfrac{2E}{q}-E+\dfrac{2E}{p}=2$ 。両辺を $2E$ でわると $\dfrac1p+\dfrac1q=\dfrac12+\dfrac1E>\dfrac12$ 。

$2pq$ をかけて $2q+2p>pq$ 、つまり $pq-2p-2q+4<4$ で $(p-2)(q-2)<4$ 。

$p-2\geqq1$ 、 $q-2\geqq1$ の整数なので $(p-2,\ q-2)=(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)$ 。

答え　 $(p,q)=(3,3),(3,4),(4,3),(3,5),(5,3)$ （正四面体・正八面体・立方体・正二十面体・正十二面体）

$\dfrac1p+\dfrac1q=\dfrac12+\dfrac1E$ から辺の数も出ます。たとえば $(3,5)$ なら $\dfrac13+\dfrac15-\dfrac12=\dfrac1{30}$ で $E=30$ です。

よくある間違い

合格先生

辺の数を「面の数×面の辺の数」で終えるな。1本の辺を2回数えているから2でわるんだ。

サッカーボールの形を正多面体と思う：正五角形と正六角形の2種類の面でできているので、正多面体ではありません（オイラーの多面体定理のページ参照）。
辺の数を「面の数×1つの面の辺の数」で終える：1本の辺を2回数えているので、2でわる。頂点も「集まる面の数」でわる。
面が正三角形なら、どれも正多面体と思う：正三角形の面でも、頂点ごとに集まる面の数がちがうもの（三角すいを2つはり合わせた形など）は正多面体ではありません。

練習問題

まなぶくん

正六角形3枚だと360°で、ぺたんと平らになっちゃうんだね。

中学受験正十二面体（正五角形12枚、1つの頂点に3枚）の辺の数と頂点の数は？
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辺 $5\times12\div2=30$ （本）、頂点 $5\times12\div3=20$ （こ）。答え辺30本、頂点20こ
高校受験正八面体の8つの面の中心を結んでできる立体は何か。
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面の数と頂点の数が入れかわる（双対）。正八面体は面8・頂点6なので、面6・頂点8の立方体（正六面体）。
大学受験正二十面体について、 $V-E+F$ を計算し、オイラーの多面体定理が成り立つことを確かめよ。
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$V=12$ 、 $E=30$ 、 $F=20$ なので $12-30+20=2$ 。成り立つ。

よくある質問

正多面体は何種類ありますか？