正多角形とは？意味と1つの内角の求め方をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

まなぶくん

ひし形って、辺が全部同じなのに、どうして正四角形じゃないの？

合格先生

正多角形は辺も角も全部等しくないといけないんだ。ひし形は角の大きさがちがうよね。辺も角もそろった四角形は、正方形だけなんだよ。

やさしく言うと

正多角形は、辺の長さがみんな同じで、角の大きさもみんな同じ多角形です。「きちんとそろった形」と考えるとわかりやすいでしょう。

• ハチの巣：ハチの巣の部屋は、正六角形がすきまなくならんだ形をしています。
• えんぴつ：ふつうのえんぴつを切ると、切り口はだいたい正六角形です。
• サッカーボール：昔からよくあるサッカーボールは、正五角形と正六角形の革をぬい合わせてできています。

正多角形になるには、「辺がそろう」と「角がそろう」の 2 つがどちらも必要です。ひし形は辺がそろっていますが、角がそろっていません。長方形は角がそろっていますが、辺がそろっていません。だから、どちらも正多角形ではありません。

まとめると、正多角形は「辺も角も全部等しい多角形」です。三角形なら正三角形、四角形なら正方形、五角形なら正五角形…と、角の数に「正」をつけてよびます。

まなぶくん

辺だけ、角だけじゃダメ。両方そろって「正」多角形なんだね！

正多角形と、そうでないもの

三角形だけは特別で、3 辺が等しければ 3 つの角も自動的に等しくなります（どれも $60^\circ$）。四角形からは、辺と角の両方を確かめないといけません。

図で見る：円を使ってかく

正多角形は、どれも 1 つの円にぴったり入ります（すべての頂点が 1 つの円の上にある）。だから円を使うと、正確にかけます。円の中心のまわりの $360^\circ$ を $n$ 等分して、円と交わる点を順に結べば正 $n$ 角形です。

このときの中心の角（中心角）は $360^\circ\div n$ です。正六角形なら $60^\circ$、正八角形なら $45^\circ$ です。

正六角形は特に便利です。中心と頂点を結ぶと、6 つの正三角形に分かれます。

ハルちゃん

どうして 6 つとも正三角形になるの？

合格先生

中心の角が $60^\circ$ で、2 本の辺はどちらも半径だから二等辺三角形。頂角が $60^\circ$ なら底角も $(180-60)\div2=60^\circ$ で、3 つの角が全部 $60^\circ$。だから正三角形なんだ。コンパスを半径の長さに開いたまま円周を区切っていくと、ちょうど 6 回で 1 周するよ。

1 つの内角・外角の求め方

正多角形は角が全部等しいので、角の和を角の数で割ると 1 つの角が出ます。

計算は「外角から先に出す」のがおすすめです。$360\div n$ は割り算 1 回ですみます。

正七角形の 1 つの内角は $900\div7=128.57\cdots^\circ$ で、整数になりません。図にない数でも、式を使えば求められます。

正多角形の性質

• 円に入る：すべての頂点を通る円（外接円）がかけます。円の中心が正多角形の中心です。
• 線対称：正 $n$ 角形には対称の軸が $n$ 本あります。正三角形は 3 本、正方形は 4 本です。
• 点対称：$n$ が偶数（正方形・正六角形など）なら点対称です。正三角形・正五角形は点対称ではありません。
• しきつめ：同じ正多角形だけで平面をすきまなくしきつめられるのは、正三角形・正方形・正六角形の 3 つだけです（1 つの点のまわりの $360^\circ$ が、1 つの内角でちょうど割り切れる必要があるため）。

テスト・入試ではこう出る

正多角形は小学 5 年で、円を使ったかき方といっしょに習います。中学 2 年では、多角形の内角・外角の和を使って 1 つの角を求めます。よく出る形は次のとおりです。

• 正○角形の 1 つの内角・外角を求める。1 つの角から、正何角形かを答える。
• 正五角形・正六角形の中の二等辺三角形を使って、角度を求める。
• 正六角形を正三角形 6 つに分けて、面積や長さを求める。

ハルちゃん

正五角形の対角線をひくと、二等辺三角形がたくさん見つかるね！

まちがえやすい点

合格先生

ひし形も長方形も正多角形じゃない！ 辺と角の両方がそろって正多角形だよ。

• 辺が等しいだけで正多角形と思う：ひし形は 4 辺が等しくても、角が等しくないので正多角形ではありません。辺と角の両方を確かめます。
• 角が等しいだけで正多角形と思う：長方形は 4 つの角が全部 $90^\circ$ でも、辺の長さがちがうので正多角形ではありません。
• 中心角と内角をまちがえる：正六角形の中心角は $60^\circ$、内角は $120^\circ$ です。中心角は「中心のまわり」、内角は「頂点のところ」の角です。
• 1 つの内角を $180\times n\div n$ などと計算する：内角の和は $180\times(n-2)$ です。$n-2$ を忘れると、どの正多角形でも $180^\circ$ になってしまいます。

ことばの意味

「正」には「ととのっている・きちんとしている」という意味があります。正多角形は「ととのった多角形」ということです。英語では regular polygon（レギュラー・ポリゴン）といい、regular は「規則正しい」という意味です。立体で、すべての面が同じ正多角形でできているものは正多面体とよばれます。

ミニ問題

関連する公式・用語

公式辞典で、くわしい証明と例題を見る

• 角度の求め方（正多角形の1つの角）
• 多角形の内角の和・外角の和
• 正六角形の面積の分け方
• 正多面体（5種類だけある理由）

あわせて覚えたい用語

• 多角形
• 内角・外角
• 線対称・点対称

よくある質問