内角・外角とは？内角の和・外角の和をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

ハルちゃん

内角の和の式、$n-2$ だったか $n$ だったか、すぐ忘れちゃう…

合格先生

五角形を対角線で分けてごらん。三角形は 3 つ。頂点の数より 2 つ少ないから $180^\circ\times(n-2)$ なんだ。図をかけば思い出せるよ。

やさしく言うと

多角形（三角形・四角形・五角形…）の内角は、辺にはさまれた内側の角です。外角は、1 つの辺をのばしたときに外側にできる角です。

• 三角形の紙をちぎる：三角形の紙の 3 つの角をちぎって 1 か所に集めると、ぴったり一直線（$180^\circ$）になります。これが「三角形の内角の和は $180^\circ$」です。
• 公園の道を 1 周歩く：五角形の形の道を歩くと、角に来るたびに向きを変えます。この「曲がる角度」が外角です。1 周するともとの向きにもどるので、曲がった角度の合計は 1 回転ぶんの $360^\circ$ です。
• ロボットに正方形をかかせる：「まっすぐ進んで、$90^\circ$ 曲がる」を 4 回くり返すと正方形になります。$90\times4=360$ で、ここでも外角の和は $360^\circ$ です。

同じ頂点の内角と外角は、あわせると一直線になるので $180^\circ$ です。まとめると、内角は「多角形の中の角」、外角は「辺にそって進むとき曲がる角」です。

まなぶくん

内角と外角は、同じ頂点でたすと 180°。これを覚えておくと便利だよ！

正しい例と、まちがった例

図で見る

内角の和は「三角形にわける」

$n$ 角形の 1 つの頂点から対角線を引くと、三角形が $n-2$ 個できます。三角形 1 つの内角の和は $180^\circ$ なので、$n$ 角形の内角の和は次の式になります。

$n$ 角形の内角の和 ＝ $180^\circ\times(n-2)$

ハルちゃん

五角形なのに、どうして三角形は 5 つじゃなくて 3 つなの？

合格先生

対角線を引きはじめた頂点のとなりの 2 つの辺は、それだけでは三角形がつくれないんだ。だから頂点の数より 2 つ少ない。四角形なら 2 つ、六角形なら 4 つだよ。

外角の和は「1 周すると 360°」

多角形のまわりを歩くと、角ごとに外角の分だけ向きを変えます。1 周するともとの向きにもどるので、外角の和は何角形でも $360^\circ$ です。

式でも確かめられます。1 つの頂点で内角＋外角＝$180^\circ$ なので、$n$ 個の頂点で合計 $180^\circ\times n$。そこから内角の和 $180^\circ\times(n-2)$ を引くと、$180n-180n+360=360$（度）です。

内角の和・外角の和の表

内角の和は、辺が 1 本ふえるごとに $180^\circ$ ずつふえます。外角の和は、ずっと $360^\circ$ のままです。

三角形の外角の性質

三角形では、もう 1 つ大事な性質があります。三角形の 1 つの外角は、そのとなりにない 2 つの内角の和に等しいのです。

理由はかんたんです。角 C の内角を $c$ とすると、外角は $180^\circ-c$。三角形の内角の和から、$a+b=180^\circ-c$。だから外角 ＝ $a+b$ です。角度を求める問題で、内角をいちいち出さずに外角が求められるので、とても便利です。

テスト・入試ではこう出る

三角形・四角形の内角の和は小学 5 年、多角形の内角の和・外角の和は中学 2 年で習います。よく出る形は次のとおりです。

• ○角形の内角の和を求める。内角の和から何角形かを答える。
• 三角形の外角の性質を使って、角 $x$ を求める。
• 正多角形の 1 つの内角・外角を求める（$360^\circ\div n$ が外角）。

中学受験・高校入試では、平行線の角（錯角・同位角）と組み合わせて、複雑な図形の角度を求める問題がよく出ます。

ハルちゃん

外角は「となりにない 2 つの内角をたす」。計算が 1 回ですむね！

まちがえやすい点

合格先生

外角の和は角の数でふえない！ 三角形でも十角形でもいつも $360^\circ$ だよ。

• 三角形の数を $n$ 個とする：五角形の内角の和を $180\times5=900^\circ$ とするまちがいです。1 つの頂点から対角線を引くと、三角形は $n-2$ 個。正しくは $540^\circ$ です。
• 外角の和も角の数でふえると思う：外角の和は、三角形でも百角形でも $360^\circ$ です。「1 周してもとの向きにもどる」と考えれば、まちがえません。
• 同じ頂点の内角＋外角を $360^\circ$ とする：内角と外角は一直線をつくるので $180^\circ$ です。$360^\circ$ になるのは、外角を全部たしたときです。
• へこんだ多角形：へこんだところの内角は $180^\circ$ より大きくなります。それでも内角の和の式 $180^\circ\times(n-2)$ は使えます。ただし、その頂点では外角がつくれない（内側に曲がる）ので、外角の考え方は注意が必要です。

ことばの意味

「内角」は内側の角、「外角」は外側の角という、そのままの意味です。英語では内角を interior angle（インテリア＝内側）、外角を exterior angle（エクステリア＝外側）といいます。1 つの頂点では、どちらの辺をのばしても外角は 2 つできますが、その 2 つは対頂角なので大きさは同じです。

ミニ問題

関連する公式・用語

公式辞典で、くわしい証明と例題を見る

• 多角形の内角の和・外角の和
• 三角形の外角と角度の求め方
• 平行線と角・三角形の内角の和
• 角度の求め方

あわせて覚えたい用語

• 多角形
• 正多角形
• 対頂角・錯角・同位角

よくある質問