立方体の切断面の形と解き方｜切り口のかき方3つのきまり・正三角形・ひし形・五角形・正六角形【中学受験】

立方体の切断面の形と解き方｜切り口のかき方3つのきまり・正三角形・ひし形・五角形・正六角形【中学受験】

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中学受験高校受験

切り口の辺の数=切った面の数 (3∼6)\text{切り口の辺の数}=\text{切った面の数}\ (3\sim6)

同じ面の2点は結ぶ・向かい合う面の切り口は平行

この公式のポイント

  • 同じ面の2点だけを結ぶ
  • 向かい合う面の切り口は平行
  • 辺の数＝通った面の数（三角形〜六角形）
  • 6本の辺の真ん中を通ると正六角形
うかるくん

うかるくん

切り口をかくとき、点と点をどう結べばいいの？

合格先生

合格先生

結んでよいのは同じ面の上の2点だけだ。向かい合う面の切り口は平行にかくんだぞ。

立方体の切断面（切り口）の形

立方体を1つの平らな面で切ったときの切り口は、三角形・四角形・五角形・六角形のどれかになります。切り口をかくときは、次の3つのきまりを使います。

切り口をかく3つのきまり

  1. 同じ面の上にある2点は、まっすぐ結ぶ（ちがう面の点どうしは、直接結ばない）。
  2. 向かい合う面の切り口は平行になる。
  3. 切り口の辺の数＝切った面の数。3〜6つの面を通るので、三角形〜六角形。
正三角形長方形ひし形台形（等脚台形）
三角形と四角形の切り口の例（赤い点を通る平面で切る）

よく出る切り口の形をまとめると、次のようになります。

切り口の形できるかどこを通るか（例）
正三角形できる1つの頂点のまわりの3つの頂点
二等辺三角形できる1つの頂点から同じ長さの2点と、もう1点
直角三角形できない頂点のまわりを切る三角形は、どの角も 90° より小さい
正方形できる1つの面に平行に切る
長方形できる向かい合う（平行な）2本の辺
ひし形できる向かい合う2つの頂点と、2本の辺の真ん中
台形できる上の面の2本の辺の真ん中と、下の面の対角線
五角形できる5つの面を通るとき（正五角形はできない）
正六角形できる6本の辺の真ん中
七角形以上できない立方体の面は6つしかない

なぜそうなるのか

なぜ六角形までなのか

切り口の辺は、立方体の1つの面の上に1本ずつできます。1つの面を2回通ることはないので、切り口の辺の数は、通った面の数と同じです。立方体の面は6つなので、切り口は多くても六角形です。七角形以上にはなりません。

なぜ向かい合う面の切り口は平行なのか

向かい合う2つの面（たとえば上の面と下の面）は、平行な2まいの板のようなものです。そこを1まいの平らな面で切ると、2つの切り口は同じ向きの線になり、平行になります。厚い食パンをななめに切ると、上の面と下の面の切り口が平行になるのと同じです。

下の五角形の切り口では、青どうし（上の面と下の面）、緑どうし（左の面と右の面）が平行です。前の面には切り口（赤）がありますが、後ろの面は頂点1つだけを通るので、そこには辺ができません。だから通る面は5つで、五角形になります。

真ん中真ん中5つの面を通る→ 五角形平行な組青：上と下緑：左と右向かい合う面の切り口は平行
五角形の切り口。同じ色の辺は、向かい合う面の切り口なので平行

平行な辺が2組あるので、切り口が正五角形になることはありません（正五角形には平行な辺がないからです）。

正六角形になるとき

6本の辺の真ん中を通るように切ると、6つの面すべてを通り、切り口は正六角形になります。どの辺も「正方形の面の、となりあう2辺の真ん中を結ぶ線」なので、6本とも同じ長さで、角も同じ大きさです。

6本の辺の真ん中を通る6つの面を通る→ 正六角形立体は同じ形の2つに分かれる
6本の辺の真ん中を通ると、切り口は正六角形

中学受験（算数）での使い方

中学受験

例題1（頂点を切り落とす）

1辺 6cm の立方体を、1つの頂点に集まる3本の辺のもう一方のはし（3つの頂点）を通る平面で切りました。切り口の形を答えなさい。また、切り取られた小さいほうの立体の体積を求めなさい。

解き方

3つの頂点を結ぶ3本の線は、どれも正方形の面の対角線なので同じ長さ。切り口は正三角形です。

切り取られた立体は三角すいで、底面は直角二等辺三角形 6×6÷2＝18、高さ 6。体積は 18×6÷3＝36（cm³）。

答え　正三角形、36cm³

中学受験

例題2（正六角形）

1辺 6cm の立方体を、6本の辺の真ん中を通る平面で切りました。切り口の形と、分かれた2つの立体のうち片方の体積を答えなさい。

解き方

切り口は正六角形。2つの立体は、立方体の中心について点対称で同じ形・同じ大きさです。

6×6×6÷2＝108（cm³）。

答え　正六角形、108cm³

中学受験

例題3（ひし形と正方形）

立方体を、向かい合う2つの頂点（いちばん遠い2つの頂点）と、2本の辺の真ん中を通る平面で切りました（上の図1の左下）。切り口は正方形ですか、ひし形ですか。

解き方

切り口の4本の辺は、どれも「1辺と、1辺の半分」を2辺とする直角三角形のななめの辺なので、同じ長さです。

しかし対角線は、1本が立方体の向かい合う頂点を結ぶ線、もう1本が面の対角線と同じ長さで、長さがちがいます。対角線の長さがちがうので、正方形ではなくひし形です。

答え　ひし形

高校受験（中学数学）での使い方

ABCDEFGHPQPQ∥EG（上と下の面）PE＝QG→ 等脚台形1辺 4cm
例題4の切り口 PQGE は等脚台形
高校受験

例題4（切り口の面積）

1辺 4cm の立方体 ABCD-EFGH で、辺 AB の中点を P、辺 BC の中点を Q とします。P、Q、E、G を通る平面で切ったときの切り口の面積を求めなさい。

解き方

上の面と下の面の切り口なので PQ∥EG。PQ＝222\sqrt{2}、EG＝424\sqrt{2}。PE＝QG＝22+42=25\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5} なので等脚台形。

高さは (25)2−(2)2=18=32\sqrt{(2\sqrt{5})^2-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}（2\sqrt{2} は (EG−PQ)÷2）。

面積＝(22+42)×32÷2=18(2\sqrt{2}+4\sqrt{2})\times3\sqrt{2}\div2=18。

答え　18cm²

よくある間違い

腕でバツを作る合格先生

合格先生

4つの辺が同じでも正方形とはかぎらない。対角線の長さがちがえばひし形だぞ。

  • ちがう面の点どうしを直接結ぶ：その線は立方体の中を通ってしまう。結んでよいのは同じ面の上の2点だけ。
  • 向かい合う面の切り口を平行にしない：前と後ろ、左と右、上と下の切り口は平行にかく。
  • ひし形を正方形と思う：4辺が同じでも、対角線の長さがちがえばひし形。

練習問題

○の札を持つうかるくん

うかるくん

切り口の辺の数は、切った面の数だね！

  1. 中学受験 立方体を1つの平面で切ったとき、切り口が七角形になることはありますか。
    答えと解説を見る切り口の辺の数は通った面の数。立方体の面は6つなので、多くても六角形。答え ない
  2. 中学受験 1辺 10cm の立方体を、1つの頂点に集まる3本の辺のもう一方のはしを通る平面で切りました。切り取られた小さいほうの立体の体積は？
    答えと解説を見る10×10÷2×10÷3＝500/3。答え 16623166\dfrac{2}{3}cm³
  3. 中学受験 立方体の切り口が正五角形になることはありますか。
    答えと解説を見る五角形の切り口には、向かい合う面の切り口どうしの平行な辺が2組ある。正五角形には平行な辺がない。答え ない

関連する公式

よくある質問

立方体の切り口はどんな形になりますか？

三角形・四角形・五角形・六角形のどれかです。正三角形、長方形、ひし形、台形、正六角形などができます。

切り口のかき方は？

同じ面の上の2点をまっすぐ結び、向かい合う面には平行な線を引いていきます。

切り口が正五角形にならないのはなぜですか？

五角形の切り口には向かい合う面どうしの平行な辺が2組ありますが、正五角形には平行な辺がないからです。

切り口が正六角形になるのはどんなときですか？

立方体の6本の辺の真ん中を通るように切ったときです。

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出典・参考

  • 文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）」数学 第1学年（空間図形）・第3学年（三平方の定理）

最終更新：2026年10月11日／作成：大学受験合格大作戦