この公式のポイント
- 立面図＝正面、平面図＝真上
- 左右の位置をそろえてかく
- 2つ以上の図を合わせて立体を決める
- 積み木は上から見た図に個数を書く
うかるくん
上から見たら円なのに、円柱か円すいかわからないの？
合格先生
1つの図では奥行きが消えるんだ。正面から見た立面図と合わせて決めるんだぞ。
投影図（とうえいず）とは
立体を真正面から見た図と真上から見た図をならべてかいたものを投影図といいます。正面から見た図を立面図（りつめんず）、真上から見た図を平面図（へいめんず）といいます。中学受験の積み木の問題では、これに真横から見た図（側面図）を加えた3つの図がよく使われます。
投影図のきまり
- 立面図＝正面から見た形、平面図＝真上から見た形。
- 立面図を上、平面図を下にかき、左右の位置（はば）をそろえる。
- 見えない線は点線でかく。
- 1つの図だけでは立体は決まらない。2つ（または3つ）の図を合わせて考える。
よく出る立体の投影図は、次のとおりです。
| 立体 | 立面図（正面） | 平面図（真上） |
|---|---|---|
| 円柱 | 長方形 | 円 |
| 円すい | 三角形 | 円（中心に頂点） |
| 角柱 | 長方形 | 底面の多角形 |
| 角すい | 三角形 | 底面の多角形（頂点から線） |
| 球 | 円 | 円 |
なぜ2つ以上の図が必要なのか
見る向きを1つに決めると、その向きの奥行きが消えてしまいます。たとえば平面図が円でも、それが円柱なのか、円すいなのか、球なのかはわかりません。どれも真上から見ると円だからです。
そこで立面図も見ます。立面図が長方形なら円柱、三角形なら円すい、円なら球です。反対に、立面図が三角形でも、平面図が円なら円すい、正方形なら四角すいです。このように、1つの図で消えた奥行きを、もう1つの図がおぎなうので、2つを合わせると立体がわかります。
立面図と平面図の左右の位置をそろえてかくのは、同じ点が2つの図のどこにあるかを、たての線でたどれるようにするためです。
積み木の個数はなぜ1つに決まらないのか
積み木を正面と横から見た図だけでは、うしろにかくれた積み木が何段あるかわかりません。そこで上から見た図のますに、積んだ個数を書いて考えます。
- いちばん多いとき：どのますにも、そのますの「正面から見た段数」と「横から見た段数」の小さいほうまで積める。
- いちばん少ないとき：どのますにも1個は置き、正面・横から見た高さが出るように、同じますで両方の高さを兼ねるように置く。
中学受験（算数）での使い方
例題1（円すいの投影図）
解き方
立面図が三角形、平面図が円なので円すいです。底面の半径は 3cm、高さは 4cm。
3×3×3.14×4÷3＝37.68（cm³）。
答え 37.68cm³
例題2（円柱の投影図）
解き方
立面図が長方形、平面図が円なので円柱です。半径 3cm、高さ 10cm。
3×3×3.14×10＝282.6（cm³）。
答え 282.6cm³
例題3（積み木の個数）
解き方
上から見た図に個数を書きます。
いちばん多いとき：それぞれのますに「正面の段数」と「右からの段数」の小さいほうを書くと、手前の列は 2・1・2、まん中の列は 3・1・2、奥の列は 1・1・1。合計 14 個。
いちばん少ないとき：9つのますに1個ずつ（9個）。3段は「正面の左」と「右からのまん中」が重なるますに置く（＋2個）。2段は「正面の右」と「右からの手前」が重なるますに置く（＋1個）。合計 12 個。
答え いちばん多くて 14 個、いちばん少なくて 12 個
高校受験（中学数学）での使い方
例題4（四角すいの投影図）
解き方
立面図が三角形、平面図が正方形で、対角線の交点が頂点なので正四角すいです。
体積＝。
答え 48cm³
よくある間違い
合格先生
立面図は正面、平面図は真上から見た図だ。逆にしないように気をつけるんだぞ。
- 立面図と平面図を逆にする：立面図は正面、平面図は真上から見た図。
- 1つの図だけで立体を決める：平面図が円だけでは、円柱・円すい・球のどれかわからない。
- 積み木で、上から見た図に置かないますを作る：上から見て見えているますには、どれも1個以上ある。
練習問題
サクラちゃん
2つの図を、たての線でたどってみよう！
- 中学受験 立面図も平面図も円である立体は何ですか。
答えと解説を見る
どの向きから見ても円なので球。答え 球 - 中学受験 立面図がたて 5cm、横 4cm の長方形、平面図が直径 4cm の円である立体の体積は？（円周率 3.14）
答えと解説を見る
円柱。2×2×3.14×5＝62.8。答え 62.8cm³ - 中学受験 3×3のますすべてに立方体を置きました。正面から見ると左から 2段・2段・1段、右から見ると手前から 2段・1段・2段です。立方体はいちばん多くて何個、いちばん少なくて何個？
答えと解説を見る
多いとき：各ますに小さいほうを書くと 2・2・1／1・1・1／2・2・1 で 13 個。少ないとき：9個に、2段が必要な「正面の左・右からの手前」と「正面のまん中・右からの奥」の2つのますに1個ずつ足して 11 個。答え 13 個と 11 個
関連する公式
よくある質問
投影図とは？
立体を真正面から見た立面図と、真上から見た平面図をならべてかいた図です。
立面図と平面図のちがいは？
立面図は正面から見た図、平面図は真上から見た図です。立面図を上、平面図を下にかきます。
平面図が円の立体は何ですか？
円柱・円すい・球などがあります。立面図が長方形なら円柱、三角形なら円すい、円なら球です。
積み木の個数の最多と最少の求め方は？
上から見た図のますに個数を書きます。最多は各ますに正面と横の段数の小さいほう、最少は1個ずつ置いてから高さを兼ねるように足します。
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出典・参考
- 文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）」数学 第1学年（空間図形・投影図）
最終更新：2026年10月11日／作成：大学受験合格大作戦
