正四面体の体積・高さの公式｜√2/12a³・√6/3a の証明（立方体の⅓・三平方）・外接球と内接球の半径 R:r＝3:1 と例題【中学受験〜大学受験】

中学受験高校受験大学受験

V=\frac{\sqrt2}{12}a^3,\quad h=\frac{\sqrt6}{3}a

外接球 $R=\dfrac{\sqrt6}{4}a$ 、内接球 $r=\dfrac{\sqrt6}{12}a$ （ $R:r=3:1$ ）

この公式のポイント

体積 $\dfrac{\sqrt2}{12}a^3$ 、高さ $\dfrac{\sqrt6}{3}a$
立方体の頂点を1つおきに結ぶと体積は立方体の ⅓
頂点の真下は底面の重心
球の中心は高さを 3：1 に分ける

まなぶくん

正四面体の頂点の真下って、底面のどこにあるの？

合格先生

底面の正三角形の重心だ。重心は中線を $2:1$ に分けるから、三平方の定理で高さ $\dfrac{\sqrt6}{3}a$ が出るぞ。

正四面体の公式

正四面体は、4つの面がすべて合同な正三角形の三角すいです。1辺の長さを $a$ とすると、次のようになります。

1辺 a の正四面体

\text{高さ}\ h=\frac{\sqrt6}{3}a\qquad\text{体積}\ V=\frac{\sqrt2}{12}a^3\qquad\text{表面積}\ S=\sqrt3\,a^2

\text{外接球の半径}\ R=\frac{\sqrt6}{4}a\qquad\text{内接球の半径}\ r=\frac{\sqrt6}{12}a\qquad R:r=3:1

中学受験では「立方体の頂点を1つおきに結ぶと正四面体、体積は立方体の $\dfrac13$ 」をよく使います。

立方体の頂点を1つおきに4つ選んで結ぶと正四面体。立方体から三角すい4つを切り取った形

証明

① 立方体から切り取って体積を出す（中学受験の方法）

1辺 $b$ の立方体の頂点を1つおきに結ぶと、6本の辺はどれも立方体の面の対角線なので長さが等しく、正四面体になります。

残りの部分は、角にある三角すい4つです。1つの三角すいは、底面が直角二等辺三角形（面積 $b\times b\div2$ ）、高さ $b$ なので、体積は $b\times b\div2\times b\div3=\dfrac16b^3$ 。

V=b^3-4\times\frac16b^3=\frac13b^3

正四面体の1辺は立方体の面の対角線で $a=\sqrt2\,b$ なので、 $b=\dfrac{a}{\sqrt2}$ を入れると $V=\dfrac13\cdot\dfrac{a^3}{2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{12}a^3$ です。

② 高さを出す（三平方の定理）

頂点 A から底面 BCD に垂線 AH をおろすと、H は底面の正三角形の重心（外心と同じ点）になります。AB＝AC＝AD なので、HB＝HC＝HD となるからです。

底面の中線 DM の長さは $\dfrac{\sqrt3}{2}a$ 、重心は中線を $2:1$ に分けるので $DH=\dfrac23\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}a=\dfrac{a}{\sqrt3}$ 。直角三角形 AHD で三平方の定理より

h^2=a^2-\frac{a^2}{3}=\frac{2}{3}a^2\quad\Longrightarrow\quad h=\frac{\sqrt6}{3}a

体積は $V=\dfrac13\times\dfrac{\sqrt3}{4}a^2\times\dfrac{\sqrt6}{3}a=\dfrac{\sqrt{18}}{36}a^3=\dfrac{\sqrt2}{12}a^3$ で、①と一致します。

底面の正三角形。頂点 A は重心 H の真上にあり、DH は中線の ⅔

③ 外接球と内接球の半径

正四面体はどの頂点から見ても同じ形なので、外接球と内接球の中心は同じ点 O で、高さ AH の上にあります。

外接球：OA＝OD＝ $R$ 。直角三角形 OHD で $OH=h-R$ なので、 $(h-R)^2+\dfrac{a^2}{3}=R^2$ 。展開すると $h^2-2hR+\dfrac{a^2}{3}=0$ 、 $h^2=\dfrac23a^2$ を入れて

R=\frac{a^2}{2h}=\frac{a^2}{2}\cdot\frac{3}{\sqrt6\,a}=\frac{\sqrt6}{4}a

（立方体を使うと、正四面体の外接球は立方体の外接球と同じなので、 $R=\dfrac{\sqrt3}{2}b=\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot\dfrac{a}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt6}{4}a$ とも出せます。）

内接球： $r=OH=h-R=\dfrac{\sqrt6}{3}a-\dfrac{\sqrt6}{4}a=\dfrac{\sqrt6}{12}a$ 。

体積からも出せます。O と4つの面で、高さ $r$ の三角すい4つに分けると $V=\dfrac13\times S\times r$ （ $S$ は表面積）。よって $r=\dfrac{3V}{S}=\dfrac{3}{\sqrt3\,a^2}\cdot\dfrac{\sqrt2}{12}a^3=\dfrac{\sqrt6}{12}a$ 。

$R:r=\dfrac{\sqrt6}{4}:\dfrac{\sqrt6}{12}=3:1$ なので、中心 O は高さ AH を $3:1$ に分けます。

A・D と辺 BC の中点 M を通る断面。球の中心 O は高さ AH を 3：1 に分ける

中学受験（算数）での使い方

中学受験

例題1（立方体から切り取る）

1辺 6 cm の立方体の頂点を1つおきに4つ結んで、正四面体を作りました。この正四面体の体積を求めなさい。

解き方

立方体の体積は $6\times6\times6=216$ （cm³）。

切り取る三角すい1つは $6\times6\div2\times6\div3=36$ （cm³）。4つで $144$ （cm³）。

$216-144=72$ （cm³）。立方体の $\dfrac13$ になっています。

答え　 $72$ cm³

高校受験（中学数学）での使い方

高校受験

例題2（高さと体積）

1辺 6 cm の正四面体の高さと体積を求めなさい。

解き方

底面の中線は $3\sqrt3$ 、重心までは $3\sqrt3\times\dfrac23=2\sqrt3$ 。高さ $h=\sqrt{6^2-(2\sqrt3)^2}=\sqrt{24}=2\sqrt6$ （cm）。

底面積は $\dfrac{\sqrt3}{4}\times36=9\sqrt3$ 。体積は $\dfrac13\times9\sqrt3\times2\sqrt6=6\sqrt{18}=18\sqrt2$ （cm³）。

公式 $\dfrac{\sqrt2}{12}\times216=18\sqrt2$ とも一致します。

答え　高さ $2\sqrt6$ cm、体積 $18\sqrt2$ cm³

大学受験（数学Ⅰ・数学C）での使い方

大学受験

例題3（外接球・内接球）

1辺 6 の正四面体の外接球の半径

R

と内接球の半径

r

を求めよ。

解き方

高さ $h=2\sqrt6$ 。 $R=\dfrac{\sqrt6}{4}\times6=\dfrac{3\sqrt6}{2}$ 、 $r=\dfrac{\sqrt6}{12}\times6=\dfrac{\sqrt6}{2}$ 。

検算： $R+r=2\sqrt6=h$ 。体積から $r=\dfrac{3V}{S}=\dfrac{3\cdot18\sqrt2}{4\cdot9\sqrt3}=\dfrac{3\sqrt2}{2\sqrt3}=\dfrac{\sqrt6}{2}$ とも一致。

答え　 $R=\dfrac{3\sqrt6}{2}$ 、 $r=\dfrac{\sqrt6}{2}$

大学受験

例題4（座標で考える）

4点

(1,1,1)

、

(1,-1,-1)

、

(-1,1,-1)

、

(-1,-1,1)

を頂点とする四面体が正四面体であることを示し、外接球の半径を求めよ。

解き方

どの2点の距離も、座標の差が2か所で $\pm2$ 、1か所で $0$ なので $\sqrt{4+4}=2\sqrt2$ 。6本の辺が等しいので正四面体。

原点からの距離はどれも $\sqrt3$ なので、外接球は原点中心・半径 $\sqrt3$ 。公式 $\dfrac{\sqrt6}{4}\times2\sqrt2=\dfrac{\sqrt{12}}{2}=\sqrt3$ とも一致する（この4点は1辺2の立方体の頂点を1つおきに選んだもの）。

答え　外接球の半径 $\sqrt3$

よくある間違い

合格先生

球の中心を高さの真ん中にしてはいけない。中心は高さを $3:1$ に分ける点だ。

頂点の真下を底面の辺の中点にする：頂点 A の真下は底面の重心。重心は中線を $2:1$ に分ける。
体積の $\dfrac13$ を忘れる：正四面体は三角すい。 $V=\dfrac13\times$ 底面積 $\times$ 高さ。
外接球と内接球の中心を高さの真ん中にする：中心は高さを $3:1$ に分ける点。 $R$ は高さの $\dfrac34$ 、 $r$ は $\dfrac14$ 。

練習問題

ハルちゃん

立方体の頂点を1つおきに結べば、体積は立方体の⅓だね！

中学受験 1辺 10 cm の立方体の頂点を1つおきに結んでできる正四面体の体積は？
答えと解説を見る
立方体 $1000$ cm³ の $\dfrac13$ 。 $1000-4\times(10\times10\div2\times10\div3)=1000-\dfrac{2000}{3}=\dfrac{1000}{3}$ 。答え $333\dfrac13$ cm³
高校受験 1辺 3 cm の正四面体の高さと体積は？
答えと解説を見る
重心まで $\dfrac{3\sqrt3}{2}\times\dfrac23=\sqrt3$ 。高さ $\sqrt{9-3}=\sqrt6$ 。体積 $\dfrac13\times\dfrac{9\sqrt3}{4}\times\sqrt6=\dfrac{9\sqrt2}{4}$ 。答え高さ $\sqrt6$ cm、体積 $\dfrac{9\sqrt2}{4}$ cm³
大学受験内接球の半径が 1 の正四面体の1辺の長さと体積を求めよ。
答えと解説を見る
$\dfrac{\sqrt6}{12}a=1$ より $a=\dfrac{12}{\sqrt6}=2\sqrt6$ 。 $V=\dfrac{\sqrt2}{12}(2\sqrt6)^3=\dfrac{\sqrt2}{12}\cdot48\sqrt6=8\sqrt3$ 。答え 1辺 $2\sqrt6$ 、体積 $8\sqrt3$

よくある質問

正四面体の体積の公式は？

1辺 a の正四面体の体積は √2/12 a³ です。立方体の頂点を1つおきに結んだ正四面体なら、立方体の体積の1/3になります。

正四面体の高さの求め方は？

頂点の真下は底面の正三角形の重心です。重心から頂点までの長さ a/√3 を使い、三平方の定理で h=√(a²−a²/3)=√6/3 a となります。

正四面体の外接球と内接球の半径は？

外接球は √6/4 a、内接球は √6/12 a で、比は 3:1 です。中心は高さを 3:1 に分ける点にあります。