空間図形と三平方の定理｜直方体の対角線 √(a²＋b²＋c²) の証明・正四角すいの高さ・切り口の面積の例題【高校受験】

うかるくん

直方体の対角線って、立体の中をななめに通るから、どう計算するのかわからない。

合格先生

三平方の定理を2回使うんだ。底面の対角線を出してから、高さと組んだ直角三角形でもう1回。$\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ になるぞ。

空間図形で使う三平方の定理

立体の長さは、立体の中に直角三角形を見つけて、三平方の定理（$a^2+b^2=c^2$）を使って求めます。よく使う結果は次のとおりです。

証明（三平方の定理を2回使う）

たて $a$、横 $b$、高さ $c$ の直方体 ABCD-EFGH（上の面 ABCD、下の面 EFGH、E は A の真下）で、対角線 AG の長さを求めます。

1. 底面 EFGH の上の直角三角形 EFG（$\angle F=90^\circ$）で、$EG^2=a^2+b^2$。
2. 辺 AE は底面に垂直なので、底面の上のどの直線とも垂直です。だから $\triangle AEG$ は $\angle E=90^\circ$ の直角三角形。
3. $\triangle AEG$ で三平方の定理を使うと、$AG^2=EG^2+c^2=a^2+b^2+c^2$。

よって $AG=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ です。立方体なら $a=b=c$ なので $\sqrt{3a^2}=\sqrt3\,a$。

正四角すいの高さも同じ考え方です。頂点 O から底面に下ろした垂線の足 H は、底面の正方形の対角線の交点です。$\triangle OAH$ は $\angle H=90^\circ$ の直角三角形で、AH は対角線の半分（$\dfrac{\sqrt2}{2}a$）なので、$OH^2=OA^2-AH^2$ で高さが出ます。

切り口の面積は、切り口の各辺がどの面の上にあるかを見て、その面の中の直角三角形で長さを求めます。下の図の切り口 BDE は、3辺とも立方体の面の対角線なので、すべて $4\sqrt2$ の正三角形です。

高校受験（中学3年）での使い方

三平方の定理は中学3年で学び、空間図形への利用は高校入試の大問でよく出ます。「どの直角三角形を使うか」を見取図の中に書きこむのがコツです。

よくある間違い

合格先生

正四角すいで、AH を底面の1辺の半分にしてはだめだ。H は対角線の交点だから、AH は対角線の半分だぞ。

• 見取図の見た目の角で直角を判断する：見取図では直角が直角に見えない。「底面に垂直な辺は底面のどの直線とも垂直」などの理由で直角を確かめる。
• 正四角すいで AH を底面の1辺の半分にする：H は対角線の交点なので、AH は対角線の半分（$\dfrac{\sqrt2}{2}a$）。1辺の半分は側面の高さを求めるとき。
• 切り口の辺の長さを見た目で決める：どの面の上の線かを見て、その面の中で三平方の定理を使う。

練習問題

合格先生

直角三角形を見取図にかきこんでから計算しよう。

1. 高校受験 1辺 5 cm の立方体の対角線の長さは？
   答えと解説を見る

   $\sqrt{5^2+5^2+5^2}=\sqrt{75}=5\sqrt3$。答え $5\sqrt3$ cm
2. 高校受験 たて 2 cm、横 3 cm、高さ 6 cm の直方体の対角線の長さは？
   答えと解説を見る

   $\sqrt{4+9+36}=\sqrt{49}=7$。答え $7$ cm
3. 高校受験 1辺 6 cm の立方体 ABCD-EFGH（E は A の真下、G は C の真下）を、4点 A、E、G、C を通る平面で切ります。切り口の面積は？
   答えと解説を見る

   切り口は長方形 AEGC。AE＝6、EG は面の対角線で $6\sqrt2$。面積は $6\times6\sqrt2=36\sqrt2$。答え $36\sqrt2$ cm²

関連する公式

• 三平方の定理
• 立方体の切断面の形（三角形〜六角形）
• 立体の表面を通るひもの最短
• すい体の体積
• 立体の切断
• 空間ベクトルと座標（高校で2点間の距離へ）

よくある質問

あわせて読みたい

• 合格大作戦 算数・数学公式辞典（公式一覧）