フェルマーの最終定理とは？わかりやすく｜n＝2と3以上の違い、ワイルズの証明、入試で部分点を取る方法
この記事の結論
- フェルマーの最終定理：3以上の自然数 n について、xⁿ＋yⁿ＝zⁿ を満たす自然数 x, y, z の組は存在しない
- n＝2 なら 3²＋4²＝5² のように解がある（三平方の定理）。それが n≧3 になると1つもない
- 17世紀にフェルマーが「驚くべき証明を見つけた」と書き残し、約360年後にアンドリュー・ワイルズが証明した
フェルマーの最終定理とは（図解）
n＝2 の xⁿ＋yⁿ＝zⁿ は、三平方の定理 x²＋y²＝z² です。3²＋4²＝5² や 5²＋12²＝13² のように、自然数の解（ピタゴラス数）が無数にあります。ところが n を3以上にすると、たとえば x³＋y³＝z³ を満たす自然数の組は1つもありません。
証明までの歴史
| 時代 | できごと |
|---|---|
| 17世紀 | フランスの数学者フェルマーが、本の余白に「驚くべき証明を見つけたが、余白が狭すぎて書けない」と書き残したと伝えられる |
| 〜18世紀 | n＝4 はフェルマー自身、n＝3 はオイラーが証明。その後も個別の n で証明が進む |
| 長いあいだ | 一般の n では証明も反例も見つからず、「フェルマー予想」とも呼ばれた |
| 1990年代 | イギリスの数学者アンドリュー・ワイルズが証明。1995年に論文が発表され、約360年ぶりに解決 |
この定理は「フェルマーの大定理」、証明後は「ワイルズの定理」「フェルマー・ワイルズの定理」とも呼ばれます。
もし入試に出たら？ 部分点の取り方
こんな問題が入試に出ることはまずありませんが、仮に出たとしても、その場であきらめてはいけません。全員が白紙なら差はつきませんが、方針を書けば部分点がもらえる可能性があります。
n＝4 のときと、n が奇数の素数のときに成り立つことを示せば、すべての n≧3 について成り立つ。
このような方針を書くだけでも、白紙とは評価がちがいます。実際の入試でも、自分にとってはフェルマーの最終定理と同じくらい難しく感じる問題が出ることがあります。そんなときは、
- 「こういう方針で解きたい」という道筋を書く。
- 小さい場合（n＝1、2、3 など）を調べて書く。
- 途中までの計算や、使えそうな定理を書く。
大学によって採点基準はちがいますが、白紙の答案には部分点をあげようがありません。みんなが解けない難問ほど、部分点の有無が合否を分けます。
よくある質問
フェルマーの最終定理とは？
3以上の自然数nについて、xⁿ＋yⁿ＝zⁿを満たす自然数x, y, zの組は存在しない、という定理です。
n＝2のときはどうなりますか？
三平方の定理になり、3²＋4²＝5²のように自然数の解が無数にあります。
誰が証明しましたか？
イギリスの数学者アンドリュー・ワイルズです。1995年に証明の論文が発表されました。
なぜ「最終定理」と呼ばれるのですか？
フェルマーが書き残した主張のうち、最後まで証明されずに残ったものだからです。
難しい問題で部分点を取るには？
解く方針、小さい場合を調べた結果、途中までの計算など、考えた道筋を答案に書くことです。
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出典・参考
- フェルマーの最終定理の内容と歴史は、数学史の一般的な記述によります
- 計算例は検算済みです
最終更新：2026年10月8日／作成：大学受験合格大作戦
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