【虫食い算】○△×△○＝○□○の○△□を求めよ｜覆面算のかけ算クイズ（ヒント・解き方・類題5問）

答えは3けたで、百の位が○です。上の面積図のいちばん大きな部分「十の位どうしの積＝100×○×△」が、すでに答えの大部分をしめます。百の位が○のままでいられるのは、△がいくつのときでしょう？

答えは「○00〜○99」の間に入ります。十の位どうしの積は 100×○×△。もし△が2以上なら、これだけで ○×200 以上になり、○00 より 100 以上大きくなってしまいます。

△が決まったら、残りは ○ だけです。○ に数を入れて、答えが「○□○」の形になるか確かめましょう。

○＝2、△＝1、□＝5

21 × 12 ＝ 252

元の記事にのせた【解答】も「21×12＝252」です。○△＝21、△○＝12、答えの 252 は百の位と一の位が 2（○）、十の位が 5（□）になっています。

方法1：答えの大きさ（百の位）から考える

ステップ1：△を決める。答えは3けたで、百の位は○。だから答えは「○00以上、○99以下」です。一方、十の位どうしの積は 100×○×△。△が2以上だと 100×○×2 ＝ ○00＋○00 となり、○は1以上なので ○99 をこえてしまいます。よって△＝1です。

ステップ2：○を決める。△＝1 なので、式は「○1 × 1○ ＝ ○□○」。○は1以外（△とちがう数）なので、2から順に試します。

○＝3 からは百の位が○とずれ、○＝7 からは4けたになります。条件に合うのは 21×12＝252 だけで、□＝5 は○（2）とも△（1）ともちがうので、条件をすべて満たします。

方法2：一の位から考える

答えの一の位は、一の位どうしの積「△×○」の一の位で決まります。これが○になる組を探すと、△＝1 のときのほかに、○が偶数で△＝6 のとき（2×6＝12、4×6＝24、8×6＝48）、○＝5 で△が奇数のとき（5×3＝15 など）があります。全部で 14組です。

この 14組のうち、答えが3けたになるのは 21×12＝252、31×13＝403、41×14＝574、51×15＝765、61×16＝976 の5組。さらに百の位が○になるのは 21×12＝252 だけです。方法1より手間はかかりますが、どの道をたどっても同じ答えにたどり着くのが、きちんと解けた証拠です。

方法3：文字式で確かめる（中学生・高校生向け）

○＝a、△＝b とおくと、○△＝10a＋b、△○＝10b＋a です。展開すると

(10a＋b)(10b＋a) ＝ 100ab ＋ 10(a²＋b²) ＋ ab

となります。百の位に ab、十の位に a²＋b²、一の位に ab が並ぶ形です（繰り上がりがないとき）。答えが「○□○」なので、百の位も一の位も ab＝a、つまり b＝1。十の位は a²＋1 が1けた（9以下）でなければならず、a は 1 か 2。a は b（＝1）とちがうので a＝2、□＝2²＋1＝5 と決まります。面積図の4つの部分が、そのまま百・十・一の位になっていることがわかります。

ただし、この方法3は「繰り上がりがない」と考えて決めています。繰り上がりがある場合まで含めて答えが1つだけだと確かめるには、方法1・2を使ってください。

サクラちゃん

文字にすると「百の位と一の位が同じ」理由まで見えるんですね！

合格先生

そのとおり。具体的な数で試す → 文字で一般化する、は入試数学の基本の流れです。整数の問題は京大などの大学入試でもよく出ますよ。

この問題の答え 252 は、左から読んでも右から読んでも同じ回文（かいぶん）の数です。方法3の式を見ると、ab×ba の答えは「ab、a²＋b²、ab」と左右対称に並ぶので、繰り上がりがなければ必ず回文になります。

13×31 は十の位が 1²＋3²＝10 で繰り上がるので、403 になって回文がくずれます。3けたの 112×211＝23632 のように、けたが増えても繰り上がりがなければ同じことが起きます。11×11＝121 は「2けた×11」の暗算（2桁×11を暗算するやり方）でも出てくる形です。

一の位は「□−7」で9になります。そのままでは引けないので、十の位から1借りてきます。

86 − 37 ＝ 49。一の位は (10＋□)−7＝9 なので□＝6。十の位は 1借りたので 8−1−□＝4 となり、□＝3 です。

まず「けた数」。2□×□ が200以上になるには、かける1けたの数は大きめでないといけません。次に一の位が8になる組を探します。

26 × 8 ＝ 208。29×6＝174 なので、かける数は7以上。7のときは 29×7＝203 だけが200台で、一の位が3なので合いません。9のときは、一の位どうしの積「□×9」の一の位が8になるのは□＝2だけです。でも 22×9＝198 で、200に届きません。8のときは 25〜29 の中で一の位が8になるのが 26 だけなので、26×8＝208 です。

○△＋△○ は (10○＋△)＋(10△＋○)＝11×(○＋△) で、必ず11の倍数です。また、2けた＋2けたは200より小さいので、□はすぐ決まります。

29 ＋ 92 ＝ 121。答えは3けたで200未満なので□＝1。1○1 が11の倍数になるのは 121（＝11×11）なので ○＝2、○＋△＝11 から △＝9 です。11をかける暗算は「2桁×11を暗算するやり方」でも練習できます。

2乗しても下2けたが変わらない2けたの数を探します。まず一の位：△×△ の一の位が△になる数字は 0・1・5・6 だけです。

25 × 25 ＝ 625。3けたになるのは31以下の数です。△が0・1・5・6の数を2乗して下2けたが元の数になるのは25だけです（25×25＝625）。ちなみに 76×76＝5776 も下2けたが76のままですが、4けたなので条件に合いません。

答えも4けたなので、ア×4 は10未満、つまりアは1か2。答えの一の位アは「4の倍数の一の位」なので偶数です。するとアが決まり、エ×4 の一の位がアになることからエも決まります。

2178 × 4 ＝ 8712。ア＝2、エ×4 の一の位が2になるのは エ＝3 か 8 で、エウイア が8000台以上なので エ＝8。あとは十の位と百の位を順に決めると 2178 になります。同じように数字を逆に並べる問題では 1089×9＝9801 も有名です。