2027の数字と入試問題｜2027は素数・45²＋2・双子素数｜中学・高校・大学受験の西暦の予想問題

2027はどんな数？｜2027は素数・双子素数・45²＋2

2027年の入試では、問題文の中に「2027」が出てくることがよくあります。そこで、まず2027という数がどんな性質を持っているのかを一覧にしました。2027は、ここ数年の西暦の中ではめずらしく素数です。2021＝43×47、2025＝45² のように「きれいに分けられる年」が続いたあとなので、答えの出し方が大きく変わります。

2027のプロフィール（早見表）

このあと、表の1行ずつを「なぜそうなるのか」から説明します。素数そのものの意味は用語辞典「素数」にまとめています。

2027が素数だと確かめる方法｜√2027≒45までの素数で割る

ある数が素数かどうかを調べるとき、2から順に全部の数で割る必要はありません。その数の平方根（ルート）以下の素数で割れなければ、素数です。2027 が A×B（A≦B）と2つの数のかけ算で書けたとすると、小さいほうの A は A×A≦2027 を満たすはずです。45×45＝2025、46×46＝2116 なので、A は45以下。しかも、A が合成数ならそれより小さい素数でも割り切れるので、45以下の素数、つまり 2・3・5・7・11・13・17・19・23・29・31・37・41・43 の14個だけ調べれば十分です。

2・3・5 は見ただけで分かります。2027 は奇数なので2で割れず、各けたの和が11なので3で割れず、一の位が7なので5でも割れません。残りは筆算です。7で割ると余り4、11で割ると余り3、13で割ると余り12……と続き、43で割った余りは6です。平方根の考え方は用語辞典「平方根」、素因数分解の手順は素因数分解の公式で確かめてください。

2027と2029は双子素数（ツインプライム）｜安全素数でもある

差が2の素数の組を双子素数（ツインプライム）といいます。3と5、11と13、41と43 などがその例です。2027 の2つ後の 2029 も素数なので、2027と2029は双子素数です。2016〜2030年で素数の年は 2017・2027・2029 の3つだけです。双子素数が無限にあるかどうかは、まだ証明されていない有名な未解決問題です（「双子素数の予想」）。

もう1つの顔が安全素数です。2027 から1を引いて2で割ると 1013 で、これも素数です。「p と 2p＋1 がどちらも素数」のとき、p をソフィー・ジェルマン素数、2p＋1 を安全素数と呼びます。1013 がソフィー・ジェルマン素数、2027 が安全素数です。ちなみに 2026＝2×1013 なので、2026年の素因数分解にも 1013 が出てきます。次の 2×2027＋1＝4055 は5で割り切れるので、素数の列はここで止まります。

2027 が素数なので、フェルマーの小定理から 2²⁰²⁶ を2027で割った余りは1になります（大学受験の予想問題で扱います）。

2020〜2030年の素因数分解と約数の個数

2027 を前後の年とくらべると、性質の差がよく分かります。下の表は、2020年から2030年までの素因数分解と、約数の個数・約数の和です。約数の個数は「素因数分解の指数に1を足してかける」と出せます。たとえば 2028＝2²×3×13² なら (2＋1)×(1＋1)×(2＋1)＝18個です。計算のしかたは約数の個数と約数の和の公式にまとめています。

2027 と 2029 は約数が2個だけです。素数の約数の和は「その数＋1」なので、2027 の約数の和は 2028 になります。いっぽう、2025＝3⁴×5² は平方数（2乗の数）なので約数の個数が奇数（15個）です。45×45 のように同じ数のペアができるからです。2028年は約数が18個と多く、約数を使う問題が作りやすい年です。

過去の年の性質は、2021年の予想問題・2025年に出題されそうな問題・2025年の整数問題でもくわしく扱いました。

2025＝45² から 2027＝45²＋2 へ

2025年は 2025＝45² という「平方数の年」でした。しかも 45＝1＋2＋…＋9 なので、2025＝(1＋2＋…＋9)²＝1³＋2³＋…＋9³ という、とてもきれいな式が成り立ちます。2027 はその2年後なので、2027＝45²＋2＝1³＋2³＋…＋9³＋2 と書けます。次の平方数は 46²＝2116 なので、2027 は2つの平方数の間で、45² のすぐ近くにいる数です。西暦と平方数の関係は累乗のおもしろい数字一覧「2025は45の2乗」にもまとめています。

2027 を「2つの平方数の差」で書くと、2027＝1014²−1013² の1通りだけです。a²−b²＝(a＋b)(a−b) で、素数の 2027 は「1×2027」としか分けられないからです。a＋b＝2027、a−b＝1 を解くと a＝1014、b＝1013 です。同じ理由で、2027 を連続する2つ以上の正の整数の和で書く方法も、1013＋1014 の1通りだけです（1から順に調べたプログラムで、ほかに無いことを確かめました）。

2027は2つの平方数の和にならない｜3つなら6通り

2027 は2つの平方数の和で表せません。理由は「4で割った余り」です。偶数を2乗すると4の倍数（余り0）、奇数を2乗すると4で割って余り1になります。だから2つの平方数の和を4で割った余りは 0・1・2 のどれかで、余り3にはなりません。2027 を4で割ると余り3なので、2つの平方数の和にはならないのです。余りで分類するこの考え方は、高校数学の合同式（mod）そのものです。

3つの平方数の和なら表せます。0を使わない組み合わせは、次の6通りです（プログラムで全部調べました）。

• 1²＋1²＋45²＝1＋1＋2025＝2027
• 3²＋13²＋43²＝9＋169＋1849＝2027
• 11²＋15²＋41²＝121＋225＋1681＝2027
• 15²＋29²＋31²＝225＋841＋961＝2027
• 19²＋21²＋35²＝361＋441＋1225＝2027
• 21²＋25²＋31²＝441＋625＋961＝2027

よく見ると、使っている数はすべて奇数です。奇数の2乗は8で割ると余り1になる（奇数を 2m＋1 とすると (2m＋1)²＝4m(m＋1)＋1 で、m(m＋1) は偶数）ので、奇数3つなら余り3。2027 は8で割ると余り3なので、ぴったり合います。

2027は連続する素数の和で2通りに表せる

連続する素数をたして 2027 になる列は2つあります（プログラムで全部調べました）。

• 29＋31＋37＋…＋139（25個の素数）＝2027
• 101＋103＋107＋…＋173（15個の素数）＝2027

どちらの列も、たす素数の個数が奇数（25個・15個）です。2を含まない列では、たす素数がすべて奇数なので、偶数個たすと答えは偶数になり、奇数の 2027 にはなりません。2から始まる列で 2027 になるものは無いことも、プログラムで確かめました。いっぽう、「2つの素数の和」で 2027 を作ることはできません。偶数の素数は2だけで、2027−2＝2025 は素数ではないからです。偶数と奇数の性質は用語辞典「偶数・奇数」で確かめられます。3つの素数の和なら、3＋7＋2017 などたくさんあり、組み合わせは全部で3,389通りでした。

2027を2進数・8進数・16進数で書くと

コンピューターの中で使われる2進数では、2027 は 11111101011（11けた）になります。各けたは右から 1・2・4・8・…の位を表します。2027 は 2¹¹＝2048 より21だけ小さいので、11けたのうち1が9個、0が2個と、ほとんど1で埋まった形です。2の累乗の数は2の累乗の一覧（2の24乗＝16777216 まで）で確かめられます。

8進数では 3753、16進数では 7EB です。16進数の B は11、E は14を表します。2進数の 11111101011 を右から3けたずつ区切ると 11｜111｜101｜011 → 3・7・5・3 で8進数の3753、4けたずつ区切ると 111｜1110｜1011 → 7・E・B で16進数の7EBになります。進数の変換は、高校の「情報Ⅰ」でも学ぶ基本です。

2027をローマ数字で書くとMMXXVII｜逆から読むと7202

ローマ数字では、M＝1000、X＝10、V＝5、I＝1 を使って、2027 は MMXXVII と書きます。大きい位から順に並べてたすだけです。4 や 9 の IV・IX のような「引く」書き方は、2027 には出てきません。ローマ数字の一覧は数学記号の一覧にも載っています。

2027 を逆から読むと 7202 です。こちらは偶数なので素数ではなく、7202＝2×3601、3601＝13×277 で、7202＝2×13×277 と素因数分解できます。3601 のように大きめの数は、小さい素数から順に割っていくのが基本です（√3601≒60 なので、59以下の素数を調べれば足ります）。2027 と 7202 の差 5175＝3²×5²×23 は9の倍数です（各けたの和が同じ数どうしの差だから）。

2027の性質は入試でどう使われる？

ここまで見てきた性質は、入試ではたとえば次のような形で使われやすいと考えられます（これは予想です）。

• 素因数分解・約数の問題：「2027 の約数の個数」は2個。素数の年なので、代わりに 2028＝2²×3×13² や 2026＝2×1013 が使われることもありそうです。
• 素数の判定：√2027≒45 を使って「2027 は素数か」を確かめる問題。
• 余りの問題：4で割った余り3から「2つの平方数の和にならない」ことを示す整数問題。
• 数を数える問題：1〜2027 の中の3の倍数は675個、平方数は45個（45²＝2025 まで）、立方数は12個（12³＝1728 まで）。

公式や用語をまとめて見たいときは数学まとめから探してください。

2027を使う計算の工夫

中学受験や高校受験の計算問題では、その年の西暦が「工夫して計算しなさい」という形でよく顔を出します。まともに筆算すると時間がかかる式も、数の分け方やかけ算のきまりに気づけば、暗算で一瞬です。ここでは 2027 で使えそうな計算の型を、図といっしょに9つ紹介し、最後に練習問題を16問用意しました。2027 そのものの性質（素数・双子素数など）は上の「2027はどんな数？」を見てください。

2027×37＝74999｜27×37＝999 を使うかけ算の工夫

2027 は 2000 と 27 に分けられます。そして 27×37＝999 という、覚えておくと得をする式があります（999＝27×37 は 素因数分解 すると 3³×37）。だから

2027×37＝2000×37＋27×37＝74000＋999＝74999

のように、ほとんど筆算なしで答えが出ます。このように「かけ算を、たし算に分けてから計算する」のが分配法則の使い方です。同じように 27×11＝297 を使えば 2027×11＝22000＋297＝22297。2けた×11 の暗算は 2桁×11のかけ算 でくわしく説明しています。

2027×2027−2026×2028＝1｜和と差の積（平方の差）

中学3年で習う (a＋b)(a−b)＝a²−b²（和と差の積）を使う型です。2026＝2027−1、2028＝2027＋1 なので

2026×2028＝(2027−1)(2027＋1)＝2027²−1

です。よって 2027×2027−2026×2028＝1。同じ考えで、2027²−2025²＝(2027＋2025)×(2027−2025)＝4052×2＝8,104 もすぐ計算できます。小学生なら、下の図のように「正方形の1列を動かして長方形にする」と考えれば、文字の式を使わなくても納得できます。2つの数のまん中を見つけてかけ算する暗算は 和と差の積を使ったかけ算 の記事が参考になります。

2027×99＝200673｜100倍して1倍を引く（分配法則）

99＝100−1 と見れば、2027×99＝2027×100−2027＝202700−2027＝200,673。かける数が 98・101・999 などでも同じ形です。また、2027×125×8 のように 125×8＝1000 となる組があれば、先にそこをかけて 2027×1000＝2,027,000。かけ算は順番を入れかえてもよい（交換法則・結合法則）ので、「キリのよい組」を先に見つけるのがコツです。こうした暗算のくふうは インド式かけ算 や、12×16 などを一瞬で出す くれない算 にもつながります。

2027×10001＝20272027｜同じ数字が2回ならぶ数

4けたの数に 10001 をかけると、その4けたが2回ならびます。2027×10001＝20272027。逆に、20272027 は 2027 で割り切れることがすぐわかります。さらに 10001＝73×137 なので、20272027＝73×137×2027 と素因数分解できます。3回ならべた 202720272027 は 2027×100010001 で、100010001＝3×7×13×37×9901 です。入試では「20272027 を 2027 で割った商は？」「20272027 は 73 で割り切れるか」のような形で出せます。

1/2026−1/2027 と部分分数｜となりどうしが消える分数の和

分子が1の分数（単位分数）の引き算は、1/2026−1/2027＝1/(2026×2027) のように、分母どうしのかけ算になります。これを逆に使うのが部分分数分解です。

1/(1×2)＋1/(2×3)＋…＋1/(2026×2027)＝1−1/2027＝2026/2027

1つ1つを「1/k−1/(k＋1)」に分けると、まん中が次々に消しあって、最初と最後だけが残ります。中学受験の計算問題の定番で、大学受験の数列（Σ の計算）でも同じ考えを使います。分母が 1×3、3×5、…のように2ずつ離れているときは、分けたあとで ÷2 をするのを忘れないようにしましょう。

小町算で2027を作る｜1〜9を順にならべる

1〜9 の数字を順に1回ずつ使い、間に ＋−×÷ を入れたり、数字をつなげたりして目標の数を作る遊びを小町算（こまちざん）といいます。2027 を作る式は、コンピューターで全部の組み合わせを調べると、かっこを使わない形では

• 1×2345×6÷7＋8＋9＝2027
• 1×2÷3×45×67＋8＋9＝2027
• 1÷2×3×4×5×67＋8＋9＝2027

の3つが見つかりました。9 から 0 へ逆にならべると、9＋8×7＋654×3＋21×0＝2027 や 9−8＋7÷6×54×32＋10＝2027 なども作れます。かけ算・割り算を先に計算するルール（計算の順序）の練習にもなります。

2・0・2・7 で数を作る｜西暦の数字パズル

西暦の4つの数字を1回ずつ使い、＋−×÷とかっこで数を作るパズルも人気です（数字をつなげて 20 や 27 にするのはなしのルール）。まずはこの順のままで作ってみましょう。

• 2×0×2×7＝0
• 2×0−2＋7＝5
• 2×0＋2＋7＝9
• 2×(0−2＋7)＝10
• 2×0＋2×7＝14
• 2＋0＋2×7＝16
• (2＋0)×(2＋7)＝18
• (2＋0＋2)×7＝28

0 をかけると 0 になる、0 をたしても変わらない、という 0 の性質をうまく使うのがコツです。この順のままでは 1・4・12 が作れませんが、数字を並べかえてよいことにすると、(2＋0×7)÷2＝1、2＋0×7＋2＝4、(2＋0)×7−2＝12 のように作れます。それでも 0〜20 のうち 13・15・17・19・20 は、どんなにかっこを工夫しても作れません（とちゅうで分数になる式も含めて、全部の式をプログラムで調べました）。

1＋3＋5＋…＋2027＝1014²｜奇数の和は平方数

1 から順に奇数をたすと、1、1＋3＝4、1＋3＋5＝9、…と平方数（2乗の数）になります。下の図のように、L字の形を1つずつかぶせていくと正方形が大きくなるからです。2027 は (2027＋1)÷2＝1014 番目の奇数なので、

1＋3＋5＋…＋2027＝1014×1014＝1,028,196

です。2027＝1014²−1013² と書けるのも、この図で「1014×1014 の正方形から 1013×1013 の正方形を取ると、最後の L字（2027個）が残る」と考えると納得できます。西暦と平方数の関係は 累乗のおもしろい数字の「西暦」の節 にもまとめています。

1＋2＋3＋…＋2027＝2055378｜階段の図で和を出す

1 から 2027 までの整数の和は、同じ階段を逆さにして合わせ、長方形の半分と考えます。たて 2027、よこ 2028 の長方形の半分なので、2027×2028÷2＝2,055,378。2028÷2＝1014 を先に計算して 2027×1014 とすると楽です。さらに 2027×1014＝2027×1000＋2027×14＝2027000＋28378 のように分ければ、暗算でも届きます。似た問題を数多く練習したい人は 算数ドリル も使ってください。

2027の計算問題｜練習問題（全16問）

ここまでの型を使う練習問題です。まず自分で解いてから「答えと解き方」を開いてください。答えはすべてプログラムで計算し直して確かめています。昨年の西暦の問題は 2025年の整数問題 や 2025年に出題されそうな問題 にもあります。

西暦を使った入試問題の出題分析

「入試ではその年の西暦を使った問題がよく出る」とよく言われます。本当にそうなのか、どんな形で使われているのかを、2024〜2026年度の入試問題で調べました。問題文はのせず、西暦をどう使ったか（使い方の型）だけをまとめています。2027年の入試に向けて、どの型を練習しておけばよいかの参考にしてください。

調べ方と、このページで分かること・分からないこと

各校・各大学が公表している入試問題と、入試問題の解説（問題を一題ずつ説明しているもの）を読み、西暦が問題の中に出てくることを確かめられた例だけを数えました。うわさや予想記事に出てくるだけの例は入れていません。

• 対象：2024〜2026年度の入試（中心は2025・2026年度）。算数・数学のみ。
• 数え方：1つの学校・1回の試験を1件とします。1件の中で西暦を2か所に使っていれば、型は両方に数えます。
• 限界：全国のすべての学校を調べたわけではありません。件数は「このページで確かめた件数」で、日本全体の出題数ではありません。学校・大学の原本（問題冊子）とまで照らし合わせたのは一部だけです。

なお、2026年度の女子学院中学校・本郷中学校（3回）のように、2026ではなく 20.26・202.6 のような小数にして入れる例もありました。（件数には入れていません）。

西暦の入試問題は何件あった？｜中学受験・高校受験・大学受験の件数

確かめた32件を、校種と年度で分けたのが下の図です。中学受験の算数が25件と大半をしめ、高校受験（公立高校）は2件、大学受験は5件でした。

目立つのは2025年度の多さです。中学受験だけで18件あり、2026年度の6件の3倍でした（同じ調べ方でくらべた件数）。2025年は 2025＝45×45 という、とても使いやすい性質を持った年だったからだと考えられます。この「年の数の性質で件数が変わる」ことは、あとで2027年の予想にも使います。

中学受験（算数）で西暦が出た学校｜2025年度・2026年度

中学受験の算数では、首都圏・関西のいろいろな学校で西暦が使われていました。2025年度は次の18件です。

2024年度と2026年度は次のとおりです。2024年度は今回あまり調べていないので、件数が少ないのはそのためでもあります。

京都女子中学校は、その年の西暦を使う学校として名前が挙がることがありますが、このページでは過去問の原本で年度・大問までは確かめられていません。関西の学校では、表のとおり洛星・灘・甲陽学院・西大和学園の2025年度で確かめられました。

西暦の使い方の6つの型｜素因数分解・計算・規則性・余り

確かめた32件を「西暦をどう使ったか」で6つの型に分けました。1件で2つの型を使うものは両方に数えています。

1. 素因数分解・約数（10件）：いちばん多い型です。2025＝3⁴×5² のように素因数分解して、約数の個数や約数の和、公約数を考えます。中学受験から大学受験まで、3つの校種すべてに出た唯一の型でした（このページの例の中で）。やり方は素因数分解と約数の個数、約数の和は約数の和の公式で確認できます。
2. 計算・逆算の答え（7件）：計算問題の大問1で、答えや途中の数を西暦にする型です。□を求める逆算の答えが西暦になっていることが多く、答えの確かめにも使えます。
3. 規則性・数表の何番目（6件）：「2026番目の数」「2025は何行何列目」のように、番号に西暦を入れる型です。どんな年でも使えるのが強みです。
4. 倍数の個数・余り（5件）：「1〜2025の中の◯の倍数の個数」や「◯で割った余り」。余りの考え方は余りの問題の解き方にまとめています。
5. 西暦を式・和で表す（6件）：「数字と四則で2024を作る」「九九の表の和が2025」「連続する整数の和で表す」など。2025年に集中していました。
6. 金額・日付・指数など（7件）：2026円、日付を8けたの数にする、10の2026乗、8進数など。数の性質にたよらない使い方です。

高校受験（数学）で西暦が出た例｜公立高校の素因数分解

高校入試では、2025年度の公立高校で次の2件を確かめました。どちらも大問1の小問で、素因数分解や約数という教科書の基本に西暦を当てはめた形です。2026年度は、調べた範囲（栃木県・京都府など）では2026を使う設問は見つかりませんでした。私立高校の例は今回見つけられていません。

大学入試（数学）で西暦が出た例｜京大・一橋大など

大学入試では次の5件です。中学・高校より件数は少ないものの、京都大学・一橋大学のような難関大学で出ています。

大学入試の特徴は、西暦を素因数分解して、指数・対数や約数の個数の問題につなげることです。2025年度の京都大学（文系）は 2025＝3⁴×5² の形が鍵で、文系の数学でも整数の性質がよく問われることが分かります。京大数学の出題の傾向は京大数学（文系）の出題分析・京大数学（理系）の出題分析も見てください。

2025年に西暦の問題が多かったのはなぜ？

2025年度の入試で西暦の問題が目立って多かったのは、2025 が入試で使いやすい性質をいくつも持つ数だったからです。

• 平方数（2乗の数）：2025＝45²。45×45 の数表や、正方形に並べる問題がすぐ作れます。
• 九九の表の和：九九の表の81個の数をすべてたすと、(1＋2＋…＋9)×(1＋2＋…＋9)＝45×45＝2025 になります。
• 立方数の和：1³＋2³＋…＋9³＝2025 でもあります。
• 約数が多い：2025＝3⁴×5² の約数は15個。9でも25でも割り切れるので、倍数・公倍数の問題にも使えます。

性質が多い年ほど、問題を作りやすく出題が増えます。2025年の性質のくわしい話は2025年に出題されそうな問題と2025年の整数問題、平方数になる西暦は累乗のおもしろい数字一覧の西暦の節にまとめています。

2026年度の西暦の問題｜番号・金額・日付が中心

2026年度の8件をくらべると、2025年度に5件あった「西暦を式・和で表す」型と、9件あった「素因数分解・約数」型が、どちらも0件でした。かわりに、規則性（3件）、計算（3件）、金額・日付・指数など（4件）が中心です。

2026 は 2×1013 と素因数分解できますが、1013 という大きな素数をふくむため、約数を使った問題には向きません。そのため「何番目」「何円」「日付」のように、どんな数でも使える形が選ばれたと考えられます。日付を数として扱う問題は、曜日を求める日暦算（にちれきざん）とも相性がよく、日暦算の解き方を知っていると強い型です。

2024・2025・2026・2027の素因数分解をくらべる

ここまでの結果を、年の数の性質と並べてみます。玉の数は約数の個数です。

• 2024＝2³×11×23（約数16個）：約数が多く、「数字と四則で2024を作る」問題の手がかりになりました。大学入試でも約数を大きい順に並べる問題がありました。
• 2025＝3⁴×5²＝45²（約数15個）：平方数・九九の表の和・立方数の和と性質が多く、件数がいちばん多い年でした。
• 2026＝2×1013（約数4個）：性質が少なく、番号・金額・日付が中心でした。
• 2027＝素数（約数2個）：約数の問題には使えません。そのかわり「素数かどうかを確かめる」問題にぴったりです。2027 の性質は、このページの上の「2027はどんな数？」にまとめています。

素数そのものについては素数（用語辞典）も見てください。

2027年の入試に出そうな西暦の問題（予想）

ここからは予想です。これまでの出題の型と、2027 の数の性質を組み合わせて、学年ごとに「出そうな型」をまとめました。実際の入試に出ることを約束するものではありません。

中学受験（小5・小6）：いちばん出やすいのは、2026年と同じ「2027番目の数」「答えが2027の逆算」です。さらに 2027 が素数なので、「2027 は 1 と 2027 でしか割り切れない」ことを使う問題や、2027＝45×45＋2 を使って 2025 の問題を発展させた形も考えられます。2027年1月1日は金曜日なので、「2027年2月1日は何曜日？」（答え：月曜日。1月は31日＝4週と3日）のような日暦算も入試の時期とからめて出しやすい型です。

高校受験（中3）：公立高校の大問1では、素因数分解・平方根の基本問題が出やすいと考えます。√2027 の整数部分は 45（45²＝2025＜2027＜46²＝2116）、2027²−2026² は和と差の積で (2027＋2026)(2027−2026)＝4053 と工夫して計算できます。2027 は素因数分解できないので、2028＝2²×3×13² が代わりに使われるかもしれません。

大学受験（高2・高3）：2027 が素数であることから、フェルマーの小定理（2²⁰²⁶ を 2027 で割った余りは 1）、二項係数（₂₀₂₇Cₖ は 1≦k≦2026 で2027の倍数）、合同式（mod）を使う整数問題が考えられます。2027＝1014²−1013² のように平方数の差で表す問題、2027! の末尾に並ぶ0の個数（505個）も定番の型です。合同式は合同式（mod）の公式、けた数の問題は常用対数とけた数で復習できます。

日暦算の型：2027年1月1日は金曜日

確かめた例では、日付そのものを使う問題（日付を8けたの整数にする型）がありました。2027年度の入試は2027年の1〜2月に行われるので、2027年のカレンダーを使う問題も考えられます（予想）。

2027年の1月1日と12月31日はどちらも金曜日で、2027年はうるう年ではない平年（365日＝52週と1日）です。「365を7で割った余りが1なので、次の年の1月1日は曜日が1つずれる」という考え方は、中学受験の日暦算の基本です。共通テスト（1月16日・17日）など入試の日程は2027年の共通テストの時間割にまとめています。

西暦の問題の対策｜受験生がやっておくこと

1. 2027 の基本の性質を覚える：素数、2027＝45²＋2、2027を9で割った余りは2（各けたの和11）、4で割った余りは3。
2. 計算の答えが2027になったら、ほぼ正解のサインと考えて先に進む。
3. 前後の年も確認：2026＝2×1013、2028＝2²×3×13²。とくに2028は約数が多く、使われやすい数です。
4. 型ごとに予想問題を解く：このページの下の「中学受験の予想問題」「高校受験の予想問題」「大学受験の予想問題」で、型ごとの練習ができます。

公式の復習は数学まとめから、古い年の予想問題は2021年の予想問題もどうぞ。

中学受験の予想問題（2027）｜西暦「2027」を使った算数

中学入試の算数では、その年の西暦を問題に入れる学校が少なくありません。2027年の入試に向けて、「2027」を使った自作の予想問題を15問用意しました。計算・規則性・日暦算・約数と倍数・場合の数・数の性質と、よく出る分野を入れました。

問題はすべてオリジナルで、実際の入試問題ではありません。答えは「答えと解き方」を押すと開きます。

中学受験 問題1｜小数の計算の工夫（分配法則）

難しさ ★☆☆　対象：小5・小6　分野：計算

次の計算をしなさい。

20.27×36＋202.7×6.4

答えと解き方

答え：2027

202.7×6.4 は、かける数とかけられる数の小数点を1けたずつ反対に動かすと 20.27×64 と同じです（202.7 を 1/10 に、6.4 を 10 倍にしても積は変わりません）。

20.27×36＋20.27×64＝20.27×(36＋64)＝20.27×100＝2027

ほかの工夫は、この記事の「2027を使う計算の工夫」にまとめています。

中学受験 問題2｜□にあてはまる数（逆算）

難しさ ★☆☆　対象：小4・小5　分野：計算

□にあてはまる数を答えなさい。

（□－27）×5÷4＝2500

答えと解き方

答え：2027

うしろから順にもどします。÷4 の前は 2500×4＝10000、×5 の前は 10000÷5＝2000、－27 の前は 2000＋27＝2027 です。

中学受験 問題3｜2,0,2,7 のくり返し（数列の規則性）

難しさ ★☆☆　対象：小4・小5　分野：規則性

次のように、2, 0, 2, 7 の4つの数がこの順にくり返し並んでいます。

2, 0, 2, 7, 2, 0, 2, 7, 2, 0, …

（1）はじめから数えて2027番目の数は何ですか。
（2）はじめから2027番目までの数をすべてたすと、いくつになりますか。
（3）2027番目までに 7 は何回出てきますか。

答えと解き方

答え：（1）2　（2）5570　（3）506回

（1）2, 0, 2, 7 の4個を1組と考えます。2027÷4＝506 あまり 3 なので、2027番目は507組目の3番目で 2 です。

（2）1組の和は 11。506組で 11×506＝5566、のこり3個は 2＋0＋2＝4 なので、5566＋4＝5570。

（3）7 は1組に1回ずつ出ます。507組目は3番目で終わるので7は出ません。よって 506回。

中学受験 問題4｜2027年3月3日は何曜日？（日暦算）

難しさ ★★☆　対象：小5・小6　分野：日暦算（カレンダー）

2027年1月1日は金曜日です。2027年はうるう年ではありません。

（1）2027年3月3日（ひなまつり）は何曜日ですか。
（2）2027年5月5日（こどもの日）は何曜日ですか。

答えと解き方

答え：（1）水曜日　（2）水曜日

（1）1月1日から3月3日までに進む日数は、31（1月）＋28（2月）＋2＝61日。61÷7＝8 あまり 5 なので、金曜日から5つ進めて 水曜日です。2027年は平年なので2月は28日までです。

（2）5月5日までに進む日数は 31＋28＋31＋30＋4＝124日。124÷7＝17 あまり 5 で、これも金曜日から5つ進んで 水曜日。3月3日と5月5日は 63日（ちょうど9週間）はなれているので、同じ曜日になるのです。

日暦算の考え方は 日暦算（にちれきざん）の公式 でくわしく説明しています。

中学受験 問題5｜1年に53回ある曜日（日暦算）

難しさ ★★☆　対象：小5・小6　分野：日暦算（カレンダー）

2027年1月1日は金曜日で、2027年は365日あります。

（1）2027年の1年間で、53回ある曜日は何曜日ですか。
（2）2028年1月1日は何曜日ですか。

答えと解き方

答え：（1）金曜日　（2）土曜日

（1）365÷7＝52 あまり 1。1年は52週間と1日です。あまりの1日は12月31日で、1月1日と同じ金曜日です。だから53回あるのは 金曜日だけです。

（2）2028年1月1日は、2027年1月1日の365日後です。365日後は曜日が1つ進むので 土曜日。

中学受験 問題6｜ご石を正方形に並べる（平方数）

難しさ ★☆☆　対象：小5・小6　分野：規則性（ご石の並び）

ご石が2027個あります。このご石を、たて・横に同じ数ずつ、すきまなく並べて、できるだけ大きな正方形の形を作ります。

（1）正方形の1辺には何個のご石が並びますか。また、ご石は何個あまりますか。
（2）1辺の数を1個ふやした正方形を作るには、ご石はあと何個必要ですか。

答えと解き方

答え：（1）1辺45個、2個あまる　（2）89個

（1）45×45＝2025、46×46＝2116 なので、2027個で作れるいちばん大きい正方形は1辺45個です。2027－2025＝2個あまります。

（2）1辺46個にするには、右の列45個・下の行45個・角の1個の L字形の 91個をたします（46×46－45×45＝91）。手もとに2個あるので、91－2＝89個必要です。

2025＝45² は「西暦が平方数（2乗の数）になる年」でした。ほかの年の平方数は 累乗のおもしろい数字一覧の「西暦」の節 にのっています。

中学受験 問題7｜マッチ棒で作る2027番目の図形（図形の個数）

難しさ ★★☆　対象：小5・小6　分野：規則性（図形の個数）

下の図のように、マッチ棒で正方形を横1列につなげていきます。1番目は正方形1個、2番目は正方形2個、3番目は正方形3個です。

（1）2027番目の図形を作るのに、マッチ棒は何本いりますか。
（2）マッチ棒が2027本あります。正方形をできるだけ多く作ると、正方形は何個できて、マッチ棒は何本あまりますか。

答えと解き方

答え：（1）6082本　（2）675個できて1本あまる

（1）左はしの縦の1本のあとに、正方形1個ごとに「コの字」の3本をつなげると考えます。n番目は 1＋3×n 本なので、2027番目は 1＋3×2027＝6082本。

（2）最初の1本をのぞいた 2026本を3本ずつ使います。2026÷3＝675 あまり 1 なので、正方形は 675個、マッチ棒は 1本あまります。

中学受験 問題8｜1から2027までの倍数の個数（ベン図）

難しさ ★★☆　対象：小5・小6　分野：約数・倍数

1から2027までの整数について、次の問いに答えなさい。

（1）3の倍数は何個ありますか。
（2）3の倍数でも5の倍数でもない数は何個ありますか。

答えと解き方

答え：（1）675個　（2）1082個

（1）2027÷3＝675 あまり 2 なので、3の倍数は 675個。

（2）5の倍数は 2027÷5＝405 あまり 2 で 405個。15の倍数は 2027÷15＝135 あまり 2 で 135個。3か5の倍数は 675＋405－135＝945個なので、どちらでもない数は 2027－945＝1082個です。

中学受験 問題9｜2027は素数？（素数の見分け方）

難しさ ★★☆　対象：小6　分野：数の性質（素数）

1とその数自身のほかに約数をもたない、1より大きい整数を素数といいます。

（1）45×45 と 46×46 を計算しなさい。
（2）2027 が素数かどうかを調べるには、2027 を「いくつ以下の素数」で割ってみれば十分ですか。理由も答えなさい。
（3）2027 は素数ですか。

答えと解き方

答え：（1）45×45＝2025、46×46＝2116　（2）43 以下の素数（45以下の素数）　（3）素数

（2）2027 が「□×○」と2つの数の積に分けられるとすると、小さいほうの□は 46 より小さくなります（□も○も46以上なら、積は 46×46＝2116 以上になってしまうからです）。だから、45 以下の数で割り切れるかを調べれば十分で、さらに素数だけ調べればよいので、2, 3, 5, …, 43 の 14個の素数で割ってみます。

（3）14個のどれで割っても割り切れないので、2027 は 素数です。素数の意味は 用語辞典「素数」、素数でない数の分け方は 素因数分解の公式 を見てください。

中学受験 問題10｜2・0・2・7 のカードの並べかえ（場合の数）

難しさ ★★☆　対象：小5・小6　分野：場合の数

2, 0, 2, 7 と書かれた4枚のカードがあります（2のカードは2枚あります）。

（1）4枚すべてを並べてできる4けたの整数は何個ありますか。
（2）（1）のうち、偶数は何個ありますか。
（3）（1）の整数を小さい順に並べると、5番目の数は何ですか。

答えと解き方

答え：（1）9個　（2）7個　（3）2702

（1）千の位に 0 は置けないので、千の位は 2 か 7。千の位が 2 のとき、のこりの 0, 2, 7 の3枚を並べて 3×2×1＝6個。千の位が 7 のとき、のこりは 2, 0, 2 で、2が2枚あるので並べ方は 3個（022・202・220）。合わせて 9個です。

（2）一の位が 7 になるのは 2027 と 2207 の2個だけなので、偶数は 9－2＝7個。

（3）小さい順に 2027, 2072, 2207, 2270, 2702, … なので5番目は 2702。

中学受験 問題11｜7をふくむ数はいくつ？（場合の数）

難しさ ★★★　対象：小6　分野：場合の数・数の性質

1から2027までの整数のうち、数字の「7」を少なくとも1つふくむ数（7, 17, 70, 777 など）は何個ありますか。

答えと解き方

答え：545個

7をふくまない数を数えて引きます。

• 1〜999：000〜999 の1000通りを3けたで考えると、7を使わない数字は 0〜9 のうち9種類なので 9×9×9＝729通り。7をふくむのは 1000－729＝271個。
• 1000〜1999：千の位は1なので、下3けたが同じように 271個。
• 2000〜2027：2007, 2017, 2027 の3個。

271＋271＋3＝545個。

中学受験 問題12｜1から2027まで書くと数字は何個？

難しさ ★★☆　対象：小5・小6　分野：規則性・場合の数

1, 2, 3, …, 2027 と、1から2027までの整数をすべて書きます。

（1）書いた数字は全部で何個ですか。
（2）12345678910111213… のように、すき間なく1列に書いたとき、左から2027番目の数字は何ですか。

答えと解き方

答え：（1）7001個　（2）1

（1）けた数ごとに数えます。1けた（1〜9）9個×1＝9、2けた（10〜99）90個×2＝180、3けた（100〜999）900個×3＝2700、4けた（1000〜2027）1028個×4＝4112。合わせて 9＋180＋2700＋4112＝7001個。

（2）99 までで 9＋180＝189個の数字を書きます。2027－189＝1838、1838÷3＝612 あまり 2 なので、3けたの数を612個書いたあと、613個目の数の2番目の数字です。613個目の3けたの数は 100＋612＝712 で、その2番目の数字は 1 です。

中学受験 問題13｜分数の列の2027番目（群数列）

難しさ ★★★　対象：小6　分野：規則性（数列）

分数が次のように並んでいます。

1/1, 1/2, 2/2, 1/3, 2/3, 3/3, 1/4, 2/4, 3/4, 4/4, 1/5, …

はじめから数えて2027番目の分数を答えなさい（約分はしないで答えます）。

答えと解き方

答え：11/64

分母が1の組に1個、分母が2の組に2個、…と、第n組には n 個の分数があります。1＋2＋…＋63＝63×64÷2＝2016、1＋2＋…＋64＝2080 なので、2027番目は第64組（分母64）に入ります。2027－2016＝11 なので、第64組の11番目で 11/64 です。

中学受験 問題14｜20時27分の長針と短針の角度（時計算）

難しさ ★★☆　対象：小6　分野：速さ（時計算）

時計の針が20時27分（午後8時27分）を指しています。長針と短針がつくる角のうち、小さいほうの角度は何度ですか。

答えと解き方

答え：91.5度

12時の位置から右回りに角度を測ります。長針は1分で 360÷60＝6度進むので、27分では 6×27＝162度。短針は1時間で30度、1分で0.5度進むので、8時27分では 30×8＋0.5×27＝253.5度。差は 253.5－162＝91.5度です。

中学受験 問題15｜2027を割ると余りが27になる数（余りの問題）

難しさ ★★★　対象：小6　分野：約数・倍数（余り）

2027 をある整数で割ると、余りが27になりました。このような整数は全部で何個ありますか。また、そのうちいちばん小さい数は何ですか。

答えと解き方

答え：11個、いちばん小さい数は40

2027 をある数で割って27あまるなら、2027－27＝2000 はその数で割り切れます。また、あまりは割る数より小さいので、割る数は 27 より大きい数です。

2000＝2⁴×5³ の約数は (4＋1)×(3＋1)＝20個。そのうち27より大きいのは 40、50、80、100、125、200、250、400、500、1000、2000 の 11個で、いちばん小さいのは 40 です。約数の個数の求め方は 約数の個数と総和の公式、余りの考え方は 余りの問題の公式 にまとめています。

計算練習は 算数ドリル、パズルは 虫食い算 もどうぞ。

高校受験の予想問題（2027）｜素因数分解・平方根・確率

高校入試の数学でも、西暦は「素因数分解」「平方根」「乗法公式を使った計算の工夫」などでよく使われます。ここでは「2027」と、その前後の 2025・2028・2029 を使った自作の予想問題を10問のせます。

高校受験 問題1｜2028の素因数分解と平方数

難しさ ★☆☆　対象：中3　分野：素因数分解

（1）2028 を素因数分解しなさい。
（2）2028×n がある自然数の2乗になるような、もっとも小さい自然数 n を求めなさい。

答えと解き方

答え：（1）2028＝2²×3×13²　（2）n＝3

（1）2028÷2＝1014、1014÷2＝507、507÷3＝169、169＝13² なので、2028＝2²×3×13²。

（2）ある数の2乗になるには、素因数分解したときの指数がすべて偶数であればよいです。2² と 13² はすでに偶数で、3 だけが1乗なので、3 をかけて n＝3。2028×3＝6084＝78² になります。

高校受験 問題2｜√2027 の整数部分と小数部分（平方根）

難しさ ★★☆　対象：中3　分野：平方根

√2027 の整数部分を a、小数部分を b とします。

（1）a の値を求めなさい。
（2）b(b＋90) の値を求めなさい。

答えと解き方

答え：（1）a＝45　（2）2

（1）45²＝2025、46²＝2116 で、2025＜2027＜2116 なので 45＜√2027＜46。整数部分は a＝45。

（2）b＝√2027－45 です。b＋90＝√2027＋45 なので、b(b＋90)＝(√2027－45)(√2027＋45)＝2027－45²＝2027－2025＝2。√ の意味は 用語辞典「平方根」 を見てください。

高校受験 問題3｜式を展開してから代入する（展開）

難しさ ★☆☆　対象：中3　分野：展開

x＝2027 のとき、次の式の値を求めなさい。

(x＋3)(x－5)－(x－1)²

答えと解き方

答え：－16

先に展開して整理します。

(x＋3)(x－5)＝x²－2x－15、(x－1)²＝x²－2x＋1 なので、差は (x²－2x－15)－(x²－2x＋1)＝－16。x が消えるので答えは －16 です。

高校受験 問題4｜x²－y²＝2027 をみたす自然数（因数分解と連立方程式）

難しさ ★★★　対象：中3　分野：因数分解・連立方程式

2027 は素数です。x²－y²＝2027 をみたす自然数 x, y の組をすべて求めなさい。

答えと解き方

答え：x＝1014、y＝1013

x²－y²＝(x＋y)(x－y)＝2027。x, y は自然数なので x＋y は正で、x－y も正、しかも x＋y＞x－y です。2027 は素数なので積は 1×2027 だけです。よって x＋y＝2027、x－y＝1。この連立方程式を解いて x＝1014、y＝1013（1014²－1013²＝2027）。組はこの1つだけです。

高校受験 問題5｜奇数を三角形に並べた表（規則性）

難しさ ★★☆　対象：中2・中3　分野：規則性

下の図のように、奇数を1段目に1個、2段目に2個、3段目に3個、…と順に並べていきます。

（1）2027 は何番目の奇数ですか。
（2）2027 は何段目の左から何番目にありますか。
（3）（2）の段に並ぶ奇数の和を求めなさい。

答えと解き方

答え：（1）1014番目　（2）45段目の左から24番目　（3）91125

（1）n番目の奇数は 2n－1 なので、2n－1＝2027 より n＝1014。

（2）k段目までに並ぶ奇数の個数は 1＋2＋…＋k＝k(k＋1)/2。44段目まで 990個、45段目まで 1035個なので、1014番目は45段目にあり、1014－990＝24番目です。

（3）45段目の最初は 991番目の奇数 1981、最後は 1035番目の奇数 2069 で、45個並んでいます。等差数列の和は（はじめ＋おわり）×個数÷2 なので、(1981＋2069)×45÷2＝45×2025＝91125。補足：各段の和は 1、3＋5＝8、7＋9＋11＝27 と 1³, 2³, 3³ になっていて、91125＝45³ とも一致します。この規則は 1³＋2³＋…＋9³＝45²＝2025 にもつながります（累乗のおもしろい数字一覧）。

高校受験 問題6｜2・0・2・7 のカードを並べる確率

難しさ ★★☆　対象：中2・中3　分野：確率

2, 0, 2, 7 と書かれた4枚のカードをよく混ぜて、1枚ずつ取り出し、取り出した順に左から並べて数を作ります（2のカードは2枚あります）。

（1）並べた数が 2027 になる確率を求めなさい。
（2）左はしが 0 でない（4けたの整数になる）確率を求めなさい。

答えと解き方

答え：（1）1/12　（2）3/4

2枚の2を「2ア」「2イ」と区別すると、4枚の並べ方は 4×3×2×1＝24通りで、どれも同じ確からしさです。

（1）2027 になるのは「2ア 0 2イ 7」と「2イ 0 2ア 7」の2通り。確率は 2/24＝1/12。

（2）左はしが 0 になるのは、のこり3枚の並べ方で 3×2×1＝6通り。よって 4けたになるのは 24－6＝18通りで、18/24＝3/4。

高校受験 問題7｜さいころで作る4けたの数が素数になる確率

難しさ ★★★　対象：中2・中3　分野：確率・素数

大小2つのさいころを投げ、大きいさいころの目を a、小さいさいころの目を b とします。千の位が2、百の位が0、十の位が a、一の位が b の4けたの数「20ab」を作ります（たとえば a＝2, b＝7 なら 2027）。

この4けたの数が素数になる確率を求めなさい。ただし、2011・2053・2063 は素数であることを使ってかまいません。

答えと解き方

答え：1/12

目の出方は36通り。b が 2, 4, 6 なら2の倍数、5 なら5の倍数なので素数ではありません。のこりの b＝1, 3 の12通りのうち、問題文で素数と与えた3つ以外は次のように割り切れます。

2011（素数）、2013＝3×11×61、2021＝43×47、2023＝7×17²、2031＝3×677、2033＝19×107、2041＝13×157、2043＝3²×227、2051＝7×293、2053（素数）、2061＝3²×229、2063（素数）

素数になるのは 2011, 2053, 2063 の3通りなので、確率は 3/36＝1/12。2021〜2026 はすべて素数でないことも覚えておきましょう。

高校受験 問題8｜反比例のグラフ上の格子点（関数）

難しさ ★★☆　対象：中1〜中3　分野：関数（反比例）

関数 y＝2028/x のグラフ上の点のうち、x 座標と y 座標がどちらも自然数である点は何個ありますか。また、y＝2027/x のグラフではどうなりますか。

答えと解き方

答え：18個（y＝2027/x では2個）

x, y が自然数で xy＝2028 なので、x は 2028 の約数です。x を決めると y も1つに決まるので、点の数は 2028の約数の個数と同じです。2028＝2²×3×13² なので、約数は (2＋1)×(1＋1)×(2＋1)＝18個。

一方、2027 は素数なので約数は 1 と 2027 の2個だけ。点は (1, 2027) と (2027, 1) の 2個です。

高校受験 問題9｜2025×2029 を工夫して計算（乗法公式と説明）

難しさ ★★☆　対象：中3　分野：展開・式による説明

（1）n を整数とするとき、(n－2)(n＋2)＋4＝n² となることを説明しなさい。
（2）2027²＝4108729 です。これを使って、2025×2029 を計算しなさい。

答えと解き方

答え：（1）下の説明　（2）4108725

（1）(n－2)(n＋2)＝n²－4 なので、(n－2)(n＋2)＋4＝n²－4＋4＝n²。図では、緑の帯の1本を動かすと (n－2)×(n＋2) の長方形になります。

（2）n＝2027 とすると 2025×2029＋4＝2027²。よって 2025×2029＝4108729－4＝4108725。「和と差の積」の暗算は 和と差の積のかけ算 で練習できます。

高校受験 問題10｜√(2027－n) が整数になる n（平方根）

難しさ ★★☆　対象：中3　分野：平方根

n を自然数とします。√(2027－n) が整数となる n は何個ありますか。また、そのうちもっとも小さい n を求めなさい。

答えと解き方

答え：46個、もっとも小さい n は 2

√(2027－n) が整数になるのは、2027－n が 0, 1, 4, 9, …, 2025 のように「整数の2乗」になるときです。n は自然数なので 2027－n は 2026 以下で、45²＝2025、46²＝2116 だから、2027－n＝k²（k＝0, 1, 2, …, 45）の 46個です。

n がいちばん小さいのは 2027－n がいちばん大きいとき、つまり 2027－n＝2025 のときで、n＝2。k＝0 のとき（n＝2027、√0＝0）を数え忘れて「45個」としないように注意しましょう。

大学受験の予想問題（2027）｜共通テスト・2次試験の西暦の整数問題

大学入試では、西暦の数は「整数の性質」の問題によく使われます。数学Aのユークリッドの互除法・不定方程式、数学Ⅱの二項定理・常用対数、数学Bの数列などです。2027 は素数なので、「素数だから成り立つ」性質を問う問題が作りやすい年です。たとえば フェルマーの小定理 や、2027Cₖ がすべて 2027 の倍数になる性質です。

ここでは、共通テストレベル（基本の確認）を6問、2次試験レベル（京大・東大型の証明や論述）を6問、すべて自作しました。答えは「答えと解き方」を押すと開きます。記号の読み方（≡・mod・[x] など）は 数学記号の一覧 で確かめられます。

共通テストレベルの予想問題（問題1〜6）

計算の手順を正しく追えるかを見る問題です。1問10〜15分を目安にしましょう。

問題1　ユークリッドの互除法と不定方程式（2027x−2025y＝1）

難しさ ★★☆　対象 高1・高2（数学A）

答えと解き方

(1) 2027＝2025×1＋2、2025＝2×1012＋1、2＝1×2＋0。最後に割った数が 1 なので、最大公約数は1（互いに素）です。

(2) (1) の式を下から逆にたどります。1＝2025−2×1012。ここに 2＝2027−2025 を入れると、1＝2025−(2027−2025)×1012＝2025×1013−2027×1012。
よって 2027×(−1012)−2025×(−1013)＝1 で、x＝−1012, y＝−1013 が1つの解です。もとの式から引くと 2027(x＋1012)＝2025(y＋1013)。2027 と 2025 は互いに素なので、x＋1012＝2025t、y＋1013＝2027t（t は整数）。
x＝2025t−1012＞0 となる最小の t は t＝1 なので、x＝1013, y＝1014。確かめ：2027×1013＝2,053,351、2025×1014＝2,053,350 で、差はちょうど1です。

1013 は 2027 の「半分」(2027−1)÷2 で、これも素数（2027 は安全素数）。答えに 1013 と 1014 が出てくるのは、2027＝1013＋1014 と同じしくみです。

問題2　合同式で一の位（7²⁰²⁷ と 3²⁰²⁷）

難しさ ★☆☆　対象 高1・高2（数学A）

答えと解き方

一の位は「10で割った余り」なので、合同式（mod）で考えます。7¹＝7、7²＝49、7³＝343、7⁴＝2401 で、7⁴≡1 (mod 10)。
2027＝4×506＋3 なので、7²⁰²⁷＝(7⁴)⁵⁰⁶×7³≡1×343≡3 (mod 10)。(1) の答えは 3。

(2) 3 も 3⁴＝81≡1 (mod 10) なので、3²⁰²⁷≡3³＝27≡7。よって 7²⁰²⁷＋3²⁰²⁷≡3＋7＝10≡0。一の位は 0 です。7≡−3 (mod 10) を使うと、7²⁰²⁷＋3²⁰²⁷≡(−3)²⁰²⁷＋3²⁰²⁷＝0 と一瞬で出ます（2027 が奇数だから）。

問題3　等差数列の和の最大（初項2027・公差−7）

難しさ ★★☆　対象 高2（数学B）

答えと解き方

(1) aₙ＝2027−7(n−1)。2027＝7×289＋4 なので、a₂₉₀＝2027−7×289＝4、a₂₉₁＝4−7＝−3。初めて負になるのは n＝291。

(2) 正の項（第1項〜第290項）を全部たしたところで和が最大になります。負の項をたすと和は減るからです。n＝290 のとき S₂₉₀＝290×(2027＋4)/2＝145×2031＝294495。

(3) Sₙ＝n{2×2027−7(n−1)}/2＝n(4061−7n)/2。これが負になるのは 7n＞4061、n＞580.1… のとき。よって n＝581。確かめ：S₅₈₀＝290（まだ正）、S₅₈₁＝−1743。

2027 は素数なので 7 で割り切れず、ちょうど 0 になる項がありません。そのため「最大になる n」がただ1つに決まります。公差を 2027 の約数にすると 0 の項ができて、最大が2か所になるので注意しましょう。

問題4　2027枚のカードから2枚取り出す確率

難しさ ★★☆　対象 高1（数学A）

答えと解き方

取り出し方は全部で ₂₀₂₇C₂＝2027×2026/2＝2027×1013（＝2,053,351）通り。

(1) 2枚の和は 3 以上 4053 以下なので、2027 の倍数になるのは和がちょうど 2027 のときだけ（4054 にはならない）。(1, 2026), (2, 2025), …, (1013, 1014) の 1013通り。確率は 1013/(2027×1013)＝1/2027。

(2) 2027 は素数なので、積が 2027 の倍数になるのは、どちらかが 2027 の倍数のとき。1〜2027 の中で 2027 の倍数は 2027 だけです。2027 のカードと、残り 2026 枚のどれか1枚の組で 2026通り。確率は 2026/(2027×1013)＝2/2027。

(3) 和が偶数になるのは、2枚とも奇数か、2枚とも偶数のとき。奇数は 1014 枚、偶数は 1013 枚なので、₁₀₁₄C₂＋₁₀₁₃C₂＝1014×1013/2＋1013×1012/2＝1013×1013 通り。確率は 1013²/(2027×1013)＝1013/2027。

(2) で「2027 が素数」を使っています。素数でない年、たとえば 2025＝45² なら、45 と 90 の積のように 2025 を使わなくても倍数になる組があり、数え方がずっと大変になります。

問題5　2027! の末尾の0（ガウス記号）

難しさ ★★☆　対象 高1・高2（数学A）

答えと解き方

(1) 末尾の0の数は、素因数 2 と 5 の組の数です。5 の方が少ないので、5 の個数を数えます。[2027/5]＋[2027/25]＋[2027/125]＋[2027/625]＝405＋81＋16＋3＝505個。25 の倍数は 5 を2個ふくむので、2段目でもう1回数える、というしくみです。

(2) 同じように [2027/2]＋[2027/4]＋…＋[2027/1024]＝1013＋506＋253＋126＋63＋31＋15＋7＋3＋1＝2018回。
じつは「2027 − (2027を2進数で書いたときの1の個数)」でも出せます。2027＝11111101011₍₂₎ は1が9個なので、2027−9＝2018。答えが合うことを確かめると、計算ミスが防げます。

問題6　常用対数（2²⁰²⁷ のけた数と最高位）

難しさ ★★☆　対象 高2（数学Ⅱ）

答えと解き方

(1) log₁₀2²⁰²⁷＝2027×0.3010＝610.127。よって 10⁶¹⁰＜2²⁰²⁷＜10⁶¹¹ で、611けたです（常用対数とけた数の公式）。

(2) 2²⁰²⁷＝10⁶¹⁰×10⁰·¹²⁷。0＜0.127＜0.3010＝log₁₀2 なので、1＜10⁰·¹²⁷＜2。最高位の数字は 1 です。

BigInt で 2²⁰²⁷ を正確に計算しても、611けたで先頭は 1 でした。log₁₀2 の本当の値は 0.30103… なので 2027 倍すると 610.19 ほどになりますが、どちらでも 0 と 0.3010 の間なので答えは変わりません。常用対数の整数部分を問う問題は 2024年の常用対数の問題 も参考になります。

2次試験レベルの予想問題（問題7〜12）｜京大・東大型の証明

2次試験では「なぜそうなるか」を答案に書く力が問われます。答えだけでなく、答案の書き方の手本として読んでください。京大の数学の出題の傾向は 京大数学（理系）の出題分析・京大数学（文系）の出題分析 にまとめています。

問題7　双子素数のあいだの数（証明）

難しさ ★★☆　対象 高1〜高3（数学A）

答えと解き方

答案
p≧5 で p, p＋2 はともに素数だから、どちらも 2 でも 3 でも割り切れない（2 や 3 そのものではないので）。
【2について】p は奇数なので、p＋1 は偶数。よって p＋1 は 2 の倍数。
【3について】連続する3つの整数 p, p＋1, p＋2 のうち、ちょうど1つは 3 の倍数である。p と p＋2 は 3 の倍数ではないので、p＋1 が 3 の倍数。
2 と 3 は互いに素なので、p＋1 は 6 の倍数である。（証明おわり）

2027 の場合は 2028＝6×338 です。答案では「連続する3つの整数のうち1つは3の倍数」のような理由を必ず書きましょう。コンピューターで 10万までの双子素数を全部調べても、例外はありませんでした（もちろん、証明があるので例外はありません）。素数の基本は 素数（用語辞典） へ。

問題8　二項係数 ₂₀₂₇Cₖ とフェルマーの小定理（証明）

難しさ ★★★　対象 高2・高3（数学Ⅱ・A）

答えと解き方

答案
(1) k×₂₀₂₇Cₖ＝2027×₂₀₂₆Cₖ₋₁ が成り立つ（両辺とも 2027!/((k−1)!(2027−k)!) に等しい）。右辺は 2027 の倍数なので、k×₂₀₂₇Cₖ は 2027 の倍数。2027 は素数で、1≦k≦2026 より k は 2027 の倍数ではないから、k と 2027 は互いに素。よって ₂₀₂₇Cₖ は 2027 の倍数である。（証明おわり）

(2) 二項定理より 2²⁰²⁷＝(1＋1)²⁰²⁷＝₂₀₂₇C₀＋₂₀₂₇C₁＋…＋₂₀₂₇C₂₀₂₇。(1) より、まん中の 2026 個はすべて 2027 の倍数。両端は 1 と 1 なので、2²⁰²⁷≡1＋1＝2 (mod 2027)。余りは 2。

2 と 2027 は互いに素なので、両辺を 2 で割れて 2²⁰²⁶≡1 (mod 2027) もわかります。これがフェルマーの小定理（p が素数で a が p の倍数でないとき aᵖ⁻¹≡1 (mod p)）の 2027 版です。「k と 2027 が互いに素」のところで、2027 が素数であることを使っています。2025 のような素数でない年ではこの問題は作れません。

問題9　連続する正の整数の和で 2027 を表す（すべて求める）

難しさ ★★☆　対象 高1・高2（数学A・B）

答えと解き方

答案
a から始まる k 個（k≧2）の連続する正の整数の和が 2027 になるとすると、a＋(a＋1)＋…＋(a＋k−1)＝k(2a＋k−1)/2＝2027。よって k(2a＋k−1)＝4054＝2×2027。
a≧1 より 2a＋k−1＞k≧2。2027 は素数なので、4054 の約数は 1, 2, 2027, 4054 だけ。k＜2a＋k−1 で積が 4054、k≧2 となる組は k＝2, 2a＋k−1＝2027 だけ。このとき a＝1013。
答え：2027＝1013＋1014 の1通りだけ。

くらべると、2025＝3⁴×5² は奇数の約数が 15 個あるので、連続する正の整数の和（2個以上）で表す方法が 14 通りもあります（プログラムで全部数えて確認）。素数の年は1通り、という対比は、高校受験・中学受験でも使える見方です。

問題10　3つの平方数の和（a²＋b²＋c²＝2027）

難しさ ★★★　対象 高2・高3（数学A）

答えと解き方

答案
(1) 整数 n について、n が偶数なら n²≡0 または 4、n が奇数なら n²≡1 (mod 8)。2027＝8×253＋3 より 2027≡3 (mod 8)。0, 1, 4 から（重複を許して）3つ選んで和が 8 で割って 3 余るのは 1＋1＋1 だけ。よって a, b, c はすべて奇数。（証明おわり）

(2) c が最大になるのは a, b が小さいとき。a＝b＝1 なら c²＝2025、c＝45（2025＝45²）。c≦√2027＜46 なので、最大は 45。
3c²≧a²＋b²＋c²＝2027 より c≧26、さらに奇数なので c≧27。c＝27 のとき a²＋b²＝1298 で、b≦27 から b²≧649、b＝27 で a²＝569（平方数でない）。c＝29 のとき a²＋b²＝1186、b＝25, 27, 29 で a²＝561, 457, 345 はどれも平方数でない。c＝31 のとき 15²＋29²＋31²＝2027 が成り立つ。よって 最小は 31。

全部書き出すと、1²＋1²＋45²、3²＋13²＋43²、11²＋15²＋41²、15²＋29²＋31²、19²＋21²＋35²、21²＋25²＋31² の 6通りです（プログラムで確認）。2027 は 4 で割ると 3 余るので、2つの平方数の和にはなりません（偶数²≡0、奇数²≡1 (mod 4) で、和は 0・1・2 しかない）。2025＝45² から 2027 への流れは 累乗のおもしろい数字（西暦の節） にもあります。

問題11　2²⁰²⁷ の下2けた（mod 100）

難しさ ★★☆　対象 高2・高3（数学A）

答えと解き方

解き方1（くり返しを見つける）
2¹⁰＝1024≡24 (mod 100)、2²⁰≡24²＝576≡76。76²＝5776≡76 なので、76 は何乗しても 76。2027＝20×101＋7 より、2²⁰²⁷＝(2²⁰)¹⁰¹×2⁷≡76×128≡76×28＝2128≡28 (mod 100)。

解き方2（4 と 25 に分ける）
100＝4×25 で、4 と 25 は互いに素。2²⁰²⁷≡0 (mod 4)。また 2¹⁰＝1024≡−1 (mod 25) なので、2²⁰²⁰＝(2¹⁰)²⁰²≡1、2²⁰²⁷≡2⁷＝128≡3 (mod 25)。25 で割って 3 余る数 3, 28, 53, 78 のうち 4 の倍数は 28。答えは 28。

2 の累乗の下のけたのくり返しは 2の累乗の一覧 で目で確かめられます。

問題12　1/2027 の循環節の長さ（循環小数）

難しさ ★★★　対象 高2・高3（数学A）

答えと解き方

(1) 10 と 2027 は互いに素（gcd＝1）なので、1/2027 は小数第1位から循環する純循環小数です。1/2027 が L けたごとにくり返すとき、10ᴸ/2027−1/2027 は整数になります（小数部分が同じなので引くと消える）。つまり (10ᴸ−1)/2027 が整数、10ᴸ≡1 (mod 2027)。逆にこれが成り立てば L けたでくり返します。だから L はこの式を満たす最小の数です。

(2) L は 1013 の約数です（10ᴸ≡1 となる指数は L の倍数ばかりなので）。1013 は素数なので、L＝1 か 1013。10¹＝10≢1 (mod 2027) より L≠1。よって L＝1013。

「L は 1013 の約数」の理由：1013 を L で割って 1013＝qL＋r（0≦r＜L）とすると、10¹⁰¹³＝(10ᴸ の q 乗)×10ʳ≡1×10ʳ より 10ʳ≡1 となり、L の最小性から r＝0。ここでも「1013 が素数」が効いています。2027 は安全素数（(2027−1)/2＝1013 が素数）なので、循環節の長さは 1, 2, 1013, 2026 のどれかしかありません。BigInt で 10 を1回ずつかけて確かめると、1013 回目で初めて 1 に戻りました。

2027年の暦の数字｜令和9年・丁未・13日の金曜日・入試の曜日

2027年は令和9年です（平成が続いていれば平成39年、昭和なら昭和102年、皇紀2687年）。2027 は 4 で割り切れないので平年（365日）。365＝7×52＋1 なので、1月1日と12月31日は同じ金曜日になり、金曜日が1年に 53回 あります。干支は丁未（ひのとひつじ）。十干は10年、十二支は12年でひと回りするので、干支は 10 と 12 の最小公倍数の 60年でひと回りします（2026年は丙午（ひのえうま）です）。

13日の金曜日は 2027年は 8月13日の1回だけです。8月1日が日曜日なので、13日は金曜日になります。曜日の計算は「7で割った余り」の問題で、中学受験の日暦算と大学受験の合同式は同じ考え方です。

2027年とまったく同じカレンダー（1月1日が金曜日の平年）の年は、2000〜2060年では 2010年・2021年・2038年・2049年・2055年 です。2021年のカレンダーが使い回せる、ということです（2021年の西暦の問題は 2021年の予想問題 へ）。月×日＝27 になる日は 1月27日・3月9日・9月3日 の3日です（2027 の下2けたにちなんで）。

受験生にとって大事なのは試験の曜日です。2027年の共通テストは 1月16日（土）・17日（日）、国公立大学の2次試験は前期日程が 2月25日（木）、後期日程が 3月12日（金） からです。共通テスト1日目から前期まで 40日、前期から後期まで 15日 あります。

試験時間の流れは 2027年 共通テストの時間割・2027年 京大の時間割・2027年 東大の時間割 に、残りの日数は 共通テストまであと何日？（カウントダウン） にまとめています。季節の言葉は 二十四節気 もどうぞ。

まとめ｜2027の数字と入試問題の要点

勉強のすすめ方：西暦の問題は、ふだんの整数問題に年の数を入れただけのものがほとんどです。次の順で準備すると安心です。

1. 2027 の素因数分解（素数であること）と、前後の年 2025＝45²・2028＝2²×3×13² を言えるようにする。
2. 余り（mod）・一の位・下2けたの計算に慣れる（余りの問題・合同式）。
3. 互除法・不定方程式・二項定理・常用対数の基本の型を、この記事の問題1〜6で確かめる。
4. 2次試験を受ける人は、問題7〜12の答案を自分で書いてから答え合わせをする。

これまでの西暦の記事もあわせてどうぞ。2025年に出題されそうな問題・2025年の整数問題・2021年の予想問題。公式は 算数・数学公式辞典、言葉の意味は 数学用語辞典、全体の地図は 数学まとめ にあります。受験の疑問は受験掲示板「100点BBS」でも話し合えます。

よくある質問

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