累乗のおもしろい数字一覧｜プラトン数60⁴・2025＝45²・666など2乗・3乗の不思議な数421選

累乗のおもしろい数字 代表10選｜プラトン数12960000・216・2025・153・1729

まずはこのページが選んだ代表10選です。どれも累乗（2乗・3乗…）で書ける数で、プログラムで計算し直して確かめています。右の列から、合格大作戦の関連する記事やこのページの節へ進めます。

12960000・216・108・666 のように、昔から特別な意味をもつとされてきた数（聖数）にも、累乗のきれいな形がかくれています。どんな言い伝えがあるかは、ページ後半の「プラトン数と聖数」の節でくわしく紹介します。2025＝45² は西暦の節、153 と 3435 はナルシシスト数の節、1729 はタクシー数の節で、仲間の数といっしょに改めて取り上げます。

上の地図の1〜4（回文・2種類の数字・1の並び）をこの先で、5〜9（数が順に並ぶ累乗・自己同形数・ナルシシスト数・0〜9を1回ずつ・カプレカ数）をその次で、10〜14（西暦・末尾の444・2の累乗・一の位と11の累乗・美しい等式）、15（プラトン数と聖数）・16（タクシー数 1729）を後半でまとめています。²や³の記号をスマホやパソコンで打ちたいときは数学記号・特殊文字のコピペ一覧が便利です。

回文数 2乗｜2乗すると回文になる数（26²＝676・264²＝69696）

回文数（パリンドローム数）とは、121 や 69696 のように、左から読んでも右から読んでも同じになる数です。「たけやぶやけた」の数字版だと思ってください。

11²＝121 のように、回文の数を2乗して回文になる例はたくさんあります。ところが 264 のように、数そのものは回文ではないのに、2乗すると回文になる数はとても少ないのです。1000万未満の数を全部調べると、そのような数は次の16個だけでした。

（調べた範囲：n < 10,000,000、つまり1000万未満のすべての数。その外にもあるかどうかは、このページでは調べていません。）

表を見ると、26²＝676 と 264²＝69696 は「26」と「264」で始まる数どうしです。また 307²＝94249 と 30693²＝942060249、3069307²＝9420645460249 は答えが「942…249」で始まり終わる仲間です。偶然のようでいて、似た形がくり返し出てくるのが不思議なところです。

回文の数を2乗・3乗しても回文になる例

こちらは数そのものも回文で、2乗・3乗しても回文のままの例です。0・1・2 のような小さな数字だけでできた回文が多いのがポイントです。

なぜ回文のままなのでしょう。たとえば 212² は、筆算で書くと各けたのかけ算の答えがどれも9以下で、くり上がりが一度も起きません。くり上がりが無いと、筆算の形そのものが左右対称になるので、答えも左右対称（回文）になります。逆に 26² のように回文でない数が回文になるのは、くり上がりがうまく打ち消し合う「偶然」で、だから珍しいのです。

11³＝1331、101³＝1030301、1001³＝1003003001 には、二項定理で出てくる係数「1・3・3・1」がそのまま並んでいます。たとえば 11＝10＋1 なので (10＋1)³ を展開すると 1000＋300＋30＋1＝1331 になります。101＝100＋1、1001＝1000＋1 でも同じ形で、係数のあいだに0が入ります。2乗の展開は乗法公式の (a＋b)²＝a²＋2ab＋b² で確かめられます。

クイズ1：□²＝69696 の□に入る数は？　また、□³＝1331 の□は？

答えを見る

□²＝69696 の□は 264、□³＝1331 の□は 11 です。69696 は 260²＝67600 と 270²＝72900 のあいだなので、□は260台。一の位が6になる2乗は一の位が4か6の数なので、264 か 266 を試せば見つかります。

回文 3乗 2201｜3乗すると回文になる数は2201だけ？

2乗で回文になる数は16個見つかりましたが、3乗になると一気に少なくなります。数そのものが回文ではないのに3乗が回文になる数を、1000万未満（n < 10,000,000）で全部探すと、見つかったのは 2201 のただ1つでした。

注意したいのは「1000万未満では2201だけ」という言い方です。もっと大きな数まで調べれば別の例があるかもしれず、「ほかに絶対ない」とはこのページでは言えません。数学では、調べた範囲と証明されたことを分けて考えるのが大切です。

ちなみに 2201 を素因数分解すると 2201＝31×71 です。31 も 71 も素数で、特別な形には見えません。それでも3乗すると 10662526601 という11けたの回文になる。理由がはっきりしない「偶然のきれいさ」だからこそ、数のファンに人気がある例です。

81619の2乗 6661661161｜2種類の数字だけでできる2乗

次は、2乗の答えがたった2種類の数字だけでできている数です。答えが短いと（例：12²＝144 の1と4）たくさん見つかってしまうので、答えが7けた以上の場合にしぼって、100万未満の数を全部調べました（1000²＝1000000 のような10の倍数は、0がつくだけなので除きます）（範囲：n < 1,000,000、2乗が7けた以上）。見つかったのは次の2つです。

81619² は 10けたもあるのに、6と1しか出てきません。しかも「666 166 1161」と、6と1が交互にかたまって並んでいます。3114² の 9696996 も、9と6が入れかわりながら並ぶ形です。回文の節で見た 264²＝69696 も 6と9の2種類だけでできているので、2種類の数字の2乗の仲間でもあります（答えが5けたなので、上の表の「7けた以上」の条件からは外れます）。

大きな数の2乗を手で計算するのは大変ですが、2けたならくれない算やインド式かけ算のような暗算の工夫で速く計算できます。答えの見当をつけるには、平方根の考え方（81619 はおよそ 8万、2乗は 64億くらい）も役立ちます。

111111111の2乗 12345678987654321｜1を並べた数の2乗のピラミッド

1だけを並べた数（11、111、1111…。英語ではレピュニットと呼ばれます）を2乗すると、答えが 1・2・3…と数え上げてから、また…3・2・1と数え下がる「山の形」になります。1を9個並べた 111111111 まで、きれいにこの形が続きます。

なぜ山の形になるのでしょう。1111² を筆算で書くと、1111 を1けたずつずらして4段重ね、たてに足すことになります。重なる1の数は、右はしから 1個、2個、3個、4個、3個、2個、1個。だから答えは 1234321 です。足し算の答えがどのけたも9以下なのでくり上がりが起きず、重なりの数がそのまま答えの数字になります。

では、1を10個並べるとどうなるでしょう。真ん中のけたで重なる1が10個になり、ついに「10」になってくり上がりが起きます。実際に計算すると次のようになります。

答えは「1234567900987654321」で、真ん中に来るはずの「10」が0になってとなりへくり上がり、その左右が 8→9、10→0 と書きかわって、山の形が崩れます。きれいな形は9個までなのです。これは10進法（10でくり上がる数え方）だからこそ起きることです。11の2乗・3乗・4乗の形（121、1331、14641）も同じしくみで、くわしくはページ後半の「11の累乗」で扱います。2けた×11の暗算のコツは2桁×11のかけ算にあります。

3を並べた数・6を並べた数の2乗（333²＝110889・666²＝443556）

3や6を並べた数の2乗にも、決まったリズムがあります。3が増えるたびに「1」と「8」が1つずつ増え、6が増えるたびに「4」と「5」が1つずつ増えていきます。

理由は、333…3 が 999…9 の3分の1だからです。999…9 は「10のn乗−1」なので、(10ⁿ−1)²÷9 を計算すると、この規則正しい並びが出てきます。666…6 は 333…3 の2倍なので、2乗はその4倍になります（333²×4＝110889×4＝443556）。指数の書き方（10ⁿ など）は指数、計算のきまりは指数法則で確かめられます。

9を並べた数の2乗（99²＝9801・999²＝998001）

9を並べた数の2乗は、「9がいくつか・8・0がいくつか・1」というとてもわかりやすい形になります。

99…9 は「10ⁿ−1」なので、乗法公式 (a−b)²＝a²−2ab＋b² を使うと (10ⁿ−1)²＝10²ⁿ−2×10ⁿ＋1。たとえば 999²＝1000000−2000＋1＝998001 です。100に近い数の2乗をすばやく出すコツは100に近い数のかけ算、2乗どうしの引き算は和と差の積の暗算でも紹介しています。

9801 は 98＋01＝99 となる「カプレカ数」の性質ももっています。カプレカ数はページ後半で、45²＝2025 などといっしょに紹介します。

クイズ2：(1) 11111²＝？　(2) 9999²＝？　(3) 3333²＝？　（表を見ずに、規則から考えてみましょう）

答えを見る

(1) 123454321（1が5個なので5を頂上にした山）　(2) 99980001（9が3個・8・0が3個・1）　(3) 11108889（1が3個・0・8が3個・9）

ここまでが「答えの数字の形」の分野です。素因数分解や平方数の見分け方をもっと知りたい人は素因数分解と平方数の公式、あまりの規則（mod）を使った考え方は合同式、ほかの公式は算数・数学公式辞典と数学まとめから探せます。

数が順に並ぶ累乗｜11142²＝124144164 のように等間隔に区切れる数

冒頭の 71³＝357911 は、3・5・7・9・11 と奇数が順に並ぶ数でした。じつは2乗の答えをいくつかに区切ると、同じ差で増える（または減る）数の列になる例は、ほかにもたくさんあります。同じ差で並ぶ数の列を「等差数列」と呼びます。

中でもきれいなのが 11142²＝124144164 です。3けたずつ区切ると 124・144・164 となり、20ずつ増えています。さらに、その2倍の 22284 を2乗すると 496576656。こちらも 496・576・656 と、80ずつ増えます。

なぜ差が4倍になるのでしょう。22284 は 11142 の2倍なので、2乗すると (2×11142)²＝4×11142² で、答えはちょうど4倍になります。124・144・164 をそれぞれ4倍すると 496・576・656。くり上がりがどこにも起きないので、区切りの形がそのまま残るのです。かけ算をまとめて考える指数法則を使うと、こうした「倍にしたら何倍か」がすぐわかります。

下の表は、10万未満の数の2〜5乗を調べて見つけた「区切ると等差数列になる」例のうち、区切り方が自然なものを選んだ一覧です（n < 100,000、k=2〜5で調べた中から選択）。36²＝1296 と 6⁴＝1296 は同じ数で、12・9・6 と3ずつ減ります。123²＝15129 は、もとの 123 も 1・2・3 と並び、答えも 15・12・9 と並ぶ二重の順番です。

9けたの答えを3けたずつに区切る例が多いのは、区切りの長さがそろっていて「こじつけ」に見えにくいからです。たとえば 16713²＝279324369 は 279・324・369 と45ずつ、23718²＝562543524 は 562・543・524 と19ずつ減ります。どれも乗法公式で手計算しても確かめられます。

自己同形数 一覧｜25²＝625・76²＝5776 のように2乗しても末尾が変わらない数

自己同形数（オートモルフィック数）とは、2乗しても答えの末尾に元の数がそのまま残る数のことです。5²＝25、6²＝36、25²＝625、76²＝5776、376²＝141376、9376²＝87909376。どれも答えのおしりに、もとの数がくっついています。

自己同形数は、末尾が5の系列と6の系列の2本だけが、けたを1つずつ増やしながらどこまでも続きます。5 → 25 → 625 → 90625 → 890625 …… と、6 → 76 → 376 → 9376 → 109376 …… です。前の数の左に1けた足すと次の数になる、という育ち方をします（4けたの 0625 や5けたの 09376 のように頭が0になる回は、表には出てきません）。

なぜ末尾が残るのか｜x²≡x（mod 10ⁿ）

「x² の末尾 n けたが x と同じ」は、「x² − x が 10ⁿ で割り切れる」と同じ意味です。これを合同式で書くと x²≡x（mod 10ⁿ）。左辺を変形すると x(x−1)≡0 となり、x と x−1 のかけ算が 10ⁿ＝2ⁿ×5ⁿ で割り切れることが条件になります。

ここで、x と x−1 はとなり合う整数なので、共通の約数は1しかありません。すると 2ⁿ と 5ⁿ は、どちらか一方にまとめて入るしかありません。「x が 5ⁿ の倍数で x−1 が 2ⁿ の倍数」か、その逆か。この2通りが、5の系列と6の系列にあたります（x＝0、1 は当たり前なので除きます）。素因数分解で 10ⁿ を2と5に分けて考えるのがコツです。

たとえば 3けたなら、x が 125 の倍数で x−1 が 8 の倍数になるのは 625（624＝8×78）。x が 8 の倍数で x−1 が 125 の倍数になるのは 376（375＝125×3）。こうして各けた数で相手がひとつずつ決まります。おもしろいことに、同じけた数の2つを足すと 625＋376＝1001、9376＋0625＝10001 と、いつも「10ⁿ＋1」になります（12けたまで確かめました）。

下の表は、n < 10^12（5と6で終わる系列を作って確認）の自己同形数です。赤い字が、2乗しても残る末尾の部分です。けたが増えるほど答えは長くなりますが、おしりはずっと元の数のままです。

ナルシシスト数 153｜各けたの累乗の和が元の数になる数

153 の各けたを3乗して足すと、1³＋5³＋3³＝1＋125＋27＝153。元の数にもどります。このように各けたの数字を「けた数」乗して足すと元の数になる数を、ナルシシスト数（アームストロング数）と呼びます。水面にうつった自分に見とれたギリシャ神話のナルキッソスのように、「自分自身にもどってくる」ところから名づけられた、といわれます。

3けたのナルシシスト数は 153・370・371・407 の4つだけで、4けたは 1634・8208・9474 の3つです。2けたのものは1つもありません。

ナルシシスト数がかぎりなく大きくはならない理由

けた数を k とすると、各けたの k 乗の和は、いちばん大きくても 9ᵏ×k（全部9のとき）です。ところが k けたの数は 10ᵏ⁻¹ 以上あります。9 より 10 の方が速く大きくなるので、k が増えるとやがて「和の最大」が「その数の最小」に追いつけなくなります。計算すると、k＝61 で 61×9⁶¹ が 10⁶⁰ より小さくなり、ここから先はナルシシスト数がありえません。だからナルシシスト数は有限個で、全部で88個、いちばん大きいものは39けたであることが知られています。指数の増え方のちがいがわかる良い例です。

下の表は、10〜9,999,999を全部調べて見つかったナルシシスト数です。

ミュンヒハウゼン数 3435｜各けたを「その数字」乗する

けた数乗ではなく、各けたの数字をその数字自身で累乗して足すと元にもどる数もあります。3435 は 3³＋4⁴＋3³＋5⁵＝27＋256＋27＋3125＝3435 です。こうした数は、ほら話で有名なミュンヒハウゼン男爵（自分の髪を引っぱって沼からぬけ出したという話）にちなんで、ミュンヒハウゼン数と呼ばれます。自分で自分を持ち上げる、というイメージです。

1〜9,999,999を調べると、見つかったのは 1（1¹＝1）と 3435 の2つだけでした。

ダドニー数 512｜3乗の各けたを足すと元の数

8³＝512 の各けたを足すと 5＋1＋2＝8。もとの 8 にもどります。このように3乗した答えの各けたの和が元の数になる数をダドニー数と呼びます。英国のパズル作家ヘンリー・E・デュードニー（ダドニー）にちなむ名前です。

3乗のダドニー数は 1・8・17・18・26・27 の6つしかありません。これは調べた範囲の話ではなく、次のように理由まで言えます。n が2けたなら n³ は6けた以下なので、各けたの和は最大でも 9×6＝54。だから n は 54 以下でなければなりません。n が3けた以上（100以上）なら、n³ のけた数は n のけた数の3倍以下です。3けたなら n³ は9けた以下で、各けたの和は最大 9×9＝81。100 に届きません（けたが増えても同じです）。つまり 54 以下を全部調べれば十分で、実際に調べると上の6つだけでした。

ちなみに、各けたの和は「9で割った余り」と同じ性質を持ちます。n³ と n を9で割った余りが等しくなければダドニー数になれないので、9で割った余りが 0・1・8 の数しか候補に残りません（1・8・17・18・26・27 も全部そうです）。余りの問題の考え方で候補をしぼれる例です。

0〜9を1回ずつ使う2乗｜32043²＝1026753849 など全87個

32043²＝1026753849。答えの10けたを見ると、0・1・2・3・4・5・6・7・8・9 がちょうど1回ずつ使われています。このように全部の数字を1回ずつ使う数を「パンデジタル数」と呼ぶことがあります。10けたの平方数（31623²〜99999²）を全部調べると、0〜9を1回ずつ使うものは87個ありました。0を使わず1〜9を1回ずつ使う9けたの平方数（10000²〜31622²）は30個です。

表には、いちばん小さいもの・いちばん大きいもの・形がおもしろいものを選びました。全部の一覧は表の下の「全部を見る」を押すと開きます。

0〜9を1回ずつ使う2乗 全87個を見る

32043²＝1026753849、32286²＝1042385796、33144²＝1098524736、35172²＝1237069584、35337²＝1248703569、35757²＝1278563049、35853²＝1285437609、37176²＝1382054976、37905²＝1436789025、38772²＝1503267984、39147²＝1532487609、39336²＝1547320896、40545²＝1643897025、42744²＝1827049536、43902²＝1927385604、44016²＝1937408256、45567²＝2076351489、45624²＝2081549376、46587²＝2170348569、48852²＝2386517904、49314²＝2431870596、49353²＝2435718609、50706²＝2571098436、53976²＝2913408576、54918²＝3015986724、55446²＝3074258916、55524²＝3082914576、55581²＝3089247561、55626²＝3094251876、56532²＝3195867024、57321²＝3285697041、58413²＝3412078569、58455²＝3416987025、58554²＝3428570916、59403²＝3528716409、60984²＝3719048256、61575²＝3791480625、61866²＝3827401956、62679²＝3928657041、62961²＝3964087521、63051²＝3975428601、63129²＝3985270641、65634²＝4307821956、65637²＝4308215769、66105²＝4369871025、66276²＝4392508176、67677²＝4580176329、68763²＝4728350169、68781²＝4730825961、69513²＝4832057169、71433²＝5102673489、72621²＝5273809641、75759²＝5739426081、76047²＝5783146209、76182²＝5803697124、77346²＝5982403716、78072²＝6095237184、78453²＝6154873209、80361²＝6457890321、80445²＝6471398025、81222²＝6597013284、81945²＝6714983025、83919²＝7042398561、84648²＝7165283904、85353²＝7285134609、85743²＝7351862049、85803²＝7362154809、86073²＝7408561329、87639²＝7680594321、88623²＝7854036129、89079²＝7935068241、89145²＝7946831025、89355²＝7984316025、89523²＝8014367529、90144²＝8125940736、90153²＝8127563409、90198²＝8135679204、91248²＝8326197504、91605²＝8391476025、92214²＝8503421796、94695²＝8967143025、95154²＝9054283716、96702²＝9351276804、97779²＝9560732841、98055²＝9614783025、98802²＝9761835204、99066²＝9814072356

1〜9を1回ずつ使う2乗 全30個を見る

11826²＝139854276、12363²＝152843769、12543²＝157326849、14676²＝215384976、15681²＝245893761、15963²＝254817369、18072²＝326597184、19023²＝361874529、19377²＝375468129、19569²＝382945761、19629²＝385297641、20316²＝412739856、22887²＝523814769、23019²＝529874361、23178²＝537219684、23439²＝549386721、24237²＝587432169、24276²＝589324176、24441²＝597362481、24807²＝615387249、25059²＝627953481、25572²＝653927184、25941²＝672935481、26409²＝697435281、26733²＝714653289、27129²＝735982641、27273²＝743816529、29034²＝842973156、29106²＝847159236、30384²＝923187456

なぜもとの数は全部3の倍数なのか

一覧を見ると、もとの数（32043、99066、11826 …）がどれも3の倍数になっています。理由はかんたんです。0〜9を全部足すと 0＋1＋…＋9＝45、1〜9なら 1＋2＋…＋9＝45。各けたの和が45の数は9の倍数です（各けたの和が9の倍数なら、その数も9の倍数という判定法）。

2乗が9の倍数になるには、もとの数が3の倍数でなければなりません。素因数分解で考えると、n² の中の3の個数は n の中の3の個数の2倍なので、n に3が1個でもあれば n² には3が2個（＝9の倍数）。n に3が無ければ n² にも3は無い、というわけです。0〜9版の87個のうち、もとの数が9の倍数でもあるものは33個でした。

カプレカ数 2025｜45²＝2025 を2つに分けて足すと45

45²＝2025 を前と後ろに分けると 20 と 25。足すと 20＋25＝45 で、もとの数にもどります。このように2乗を前半と後半に切り分けて足すと元の数になる数をカプレカ数と呼びます。インドの数学者 D. R. カプレカにちなむ名前で、カプレカは4けたの数の並べかえをくり返すと 6174 にたどりつく「カプレカ定数」でも知られています。

2025年の「2025」が 45² であることは話題になりましたが、その 45 がカプレカ数でもあるのはおもしろい偶然です。297²＝88209 も 88＋209＝297、703²＝494209 も 494＋209＝703 となります（後半は、もとの数と同じけた数で切ります）。

カプレカ数のしくみ｜n(n−1) が 99…9 で割り切れる

n が d けたで、n² を「前半 a」と「後半 b（d けた）」に分けると n²＝a×10ᵈ＋b です。a＋b＝n なら、n²−n＝a×10ᵈ＋b−a−b＝a×(10ᵈ−1)。つまりn(n−1) が 99…9（9が d 個）で割り切れることが条件です。45 なら 45×44＝1980＝99×20 で、前半の 20 がそのまま出てきます。

自己同形数の条件は「n(n−1) が 10ⁿ で割り切れる」でした。カプレカ数は「n(n−1) が 10ᵈ−1 で割り切れる」。1だけちがう数で割るだけで、まったく別の仲間が見つかります。合同式で書けば n²≡n（mod 99…9）です。

9を並べた数は必ずカプレカ数です。99²＝9801（98＋01＝99）、999²＝998001（998＋001＝999）。(10ᵈ−1)²＝(10ᵈ−2)×10ᵈ＋1 と展開できるからで、100に近い数のかけ算と同じ考え方です。また、1 と 9、45 と 55、297 と 703、2223 と 7777、2728 と 7272、4950 と 5050、17344 と 82656、22222 と 77778 のように、足すと 10ᵈ になる2つが組でカプレカ数になっている例が多く見られます（n がカプレカ数なら 10ᵈ−n も n(n−1) の条件を満たすため）。

下の表は、n < 100,000のカプレカ数です（後半はもとの数と同じけた数で切る決まりで調べました）。2223²＝4941729 と 7777²＝60481729 の後半に、ハーディ・ラマヌジャン数として有名な 1729 が出てくるのも見どころです。

カプレカ数・自己同形数・ナルシシスト数は、どれも「数が自分自身にもどってくる」不思議な数です。数学の言葉の意味は数学用語辞典、2乗やルートの基本は平方根のページ、ほかの公式は数学まとめから探せます。2乗の暗算を速くしたい人は和と差の積を使ったかけ算もどうぞ。

プラトン数 12960000｜聖数とされる累乗の数（216・153・666・108）

ここまでは「計算してみたら、ふしぎな形になった数」を集めてきました。最後に、昔の人が特別な意味を持たせた数を、累乗の目で見てみましょう。古代ギリシャの哲学者プラトンの名前がついた「プラトン数」12960000 や、宗教の書物や行事に出てくることで知られる 153・666・108 などです。こうした数は「聖数（せいすう）」と呼ばれることがあります。意味づけは言い伝えや解釈によるもので、諸説ありますが、数そのものを素因数分解したり累乗で表したりすると、たしかに整った形をしています。

プラトン数 12960000＝60⁴＝3600²

プラトン数（12960000）は、プラトンの著書『国家』第8巻にある、意味がとりにくい「数」についての一節を、12960000 のことだと読む説から来た呼び名です。どの数を指すのかは昔から議論があり、別の数とする説もあります。それでも 12960000 という数は、累乗で見るととても整っています。

• 12960000＝60⁴（60×60×60×60）
• 12960000＝3600²（3600×3600）
• 12960000＝216×60000
• 12960000＝2⁸×3⁴×5⁴＝(2²×3×5)⁴（素因数分解）

60 は 2²×3×5 で、1・2・3・4・5・6 のどれでも割り切れる便利な数です。時計の「60分」「60秒」に残っているように、古代バビロニアでは60を1まとまりにして数える六十進法が使われていました。12960000 はその60を4回かけた数なので、約数がとても多く、全部で 225個あります。約数の個数は素因数分解の指数に1を足してかけた (8＋1)×(4＋1)×(4＋1)＝225 で出せます。この求め方は素因数分解の公式と約数の個数と約数の和の公式にくわしく書いています。時計の文字盤を数式で表した理系時計も、60や12という数の楽しさがわかる記事です。

この数が「12960000＝216×60000」と書けること、プラトン数が西洋で聖数のように扱われてきたことなど、プラトン数の話は合格大作戦の記事「プラトン数（12960000）と216」でくわしく紹介しています。ここでは、そのうち累乗にかかわるところを見ていきます。

216＝6³＝3³＋4³＋5³

プラトン数とセットで語られるのが 216 です。216＝6³（6×6×6）で、2³×3³ とも書けます。そして、何よりおもしろいのが次の式です。

3³＋4³＋5³＝27＋64＋125＝216＝6³

3・4・5 といえば、直角三角形の3辺の長さとして有名な組です。三平方の定理の 3²＋4²＝5² は「2乗で2つたすと次の数の2乗」、それを3乗にした 3³＋4³＋5³＝6³ は「3乗で3つたすと次の数の3乗」。並べてみると、偶然とは思えないほどきれいです。ただし、この続きの 4⁴＋5⁴＋6⁴＋7⁴ は 4,578 で、8⁴＝4,096 にはなりません。きれいな形がいつまでも続くわけではないのも、数のおもしろいところです。

216 と直角三角形 3・4・5 の関係や、プラトン数にまつわる「結婚数」「調和数」などの言い伝えについては、216の記事で紹介しています。図と式をもっと見たい人は、ぜひそちらも読んでみてください。

プラトンの『法律』の 5040＝7!

プラトンは晩年の著書『法律』で、理想の国の家（土地の区画）の数を 5040 とする話を書いたことで知られています。5040 は累乗の数ではありませんが、5040＝1×2×3×4×5×6×7＝7!（7の階乗）で、素因数分解すると 2⁴×3²×5×7 になります。

約数は (4＋1)×(2＋1)×(1＋1)×(1＋1)＝60個もあり、1から10まで（1・2・3・4・5・6・7・8・9・10）のどの数でも割り切れます（11では割り切れず、12では割り切れます）。人や土地を「2つに分ける」「3つに分ける」…「10に分ける」のどれをしても、きれいに分けられる数というわけです。12960000 と同じく、2や3や5がたくさん入った数は割り切りやすい、というのがよくわかります。

プラトンの名前がついた数を、累乗と素因数分解の形でまとめると次のようになります（数はすべて計算し直して確かめています）。

聖数とされる数を累乗で見る｜153・666・108

世界には、宗教の書物や行事、言い伝えに出てきて「特別な数」とされる数がたくさんあります。その意味づけは信じる人にとって大切なもので、数学で正しいかどうかを決めるものではありません。ここでは意味には立ち入らず、数としての形だけを見てみます。すると、累乗を使ったきれいな式がいくつも見つかります。

153は、新約聖書の「ヨハネによる福音書」21章で、弟子たちが網で引き上げた魚が153匹だったという話に出てくる数として知られています。なぜ153なのかには、古くからさまざまな解釈があり、諸説あります。数として見ると、153＝1³＋5³＋3³（1＋125＋27）で、各けたの3乗の和がもとの数にもどる「ナルシシスト数（アームストロング数）」の1つです。さらに 153＝1＋2＋3＋…＋17 で、1から17までの和（17番目の三角数）でもあります。三角数は三角数・四角数の公式で、n(n＋1)÷2 で求められます。17×18÷2＝153 です。

666は、新約聖書の「ヨハネの黙示録」に出てくる数として知られています。この数にもいろいろな解釈があります。数として見ると、666 は驚くほど式の多い数です。

• 666＝2²＋3²＋5²＋7²＋11²＋13²＋17²（小さいほうから7つの素数の2乗の和）
• 666＝1³＋2³＋3³＋4³＋5³＋6³＋5³＋4³＋3³＋2³＋1³（1から6まで上って、また1まで下りる3乗の和）
• 666＝1＋2＋3＋…＋36（36番目の三角数。36×37÷2＝666）。しかも 36＝6² です。

素数の並びの最初に来る2は、ただ1つの偶数の素数です。666 の式は、その2から17までの素数を順に2乗して並べただけの、とても素直な式です。三角関数を習った人には、もう1つおまけがあります。sin 666° を計算すると、666°−720°＝−54° なので sin(−54°)＝−cos 36° となり、これは黄金比 φ＝(1＋√5)/2 を使って −φ/2（約 -0.8090）と表せます。

108は、人の心をまよわせる煩悩（ぼんのう）の数とされ、大みそかに寺でつく除夜の鐘の回数として知られています。108になる理由には、いくつもの説があります。数として見ると、108＝1¹×2²×3³。1を1回、2を2回、3を3回かけて、全部かけ合わせるとちょうど108になります。素因数分解では 2²×3³ で、2と3だけでできています。

このほか、7（1週間の日数、七福神など）や 12（1年の月の数、十二支、1ダース）も、多くの文化で特別とされてきた数です。7＝2³−1、12＝2²×3 と、どちらも2の累乗と関係した形で書けます。こうした数を、素因数分解と累乗の形で表にまとめます。

表を見ると、昔から特別とされる数には、2・3・5 のような小さな素数の累乗でできたものが多いことに気づきます。小さな素数でできた数は約数が多く、分けやすく、暦や時間の単位にも向いていた、という見方もできます。もちろん、それが理由で特別とされたのかどうかは分かりません。数の「形」と、人がその数に感じてきた「特別さ」を重ねて眺めてみると、累乗の見え方が少し変わってきます。

完全数と2の累乗｜6・28・496・8128

自分自身をのぞく約数をすべてたすと、ちょうど自分になる数を完全数といいます。いちばん小さい完全数は 6 で、約数 1・2・3 をたすと 1＋2＋3＝6。次は 28 で、1＋2＋4＋7＋14＝28 です。古代ギリシャでは、こうした数が特別な数として大切にされていたことが知られています。6 は「6日間で世界がつくられた」という話と結びつけて語られることもあります。

完全数は、2の累乗を使ってきれいに表せます。

• 6＝2¹×(2²−1)＝2×3
• 28＝2²×(2³−1)＝4×7
• 496＝2⁴×(2⁵−1)＝16×31
• 8128＝2⁶×(2⁷−1)＝64×127

どれも「2ⁿ⁻¹×(2ⁿ−1)」という形で、2ⁿ−1 が素数のとき、この数は必ず完全数になります。この形は、古代ギリシャの数学者ユークリッドの『原論』にある形として知られています。逆に、偶数の完全数はすべてこの形になることが、のちにオイラーによって示されたとされます。2ⁿ−1 の形の素数は「メルセンヌ素数」と呼ばれます。

なぜそうなるのかは、図を見るとわかります。1＋2＋4＋8＋16＝31 のように、2の累乗を1から順にたすと、和は必ず「次の2の累乗−1」（ここでは 2⁵−1＝31）になります。31 が素数なら、496＝16×31 の約数は「1・2・4・8・16」と、それぞれに31をかけた「31・62・124・248」（と496自身）だけです。前のグループの和は31、後ろのグループの和は 31×(1＋2＋4＋8)＝31×15＝465 で、合わせて 31＋465＝496。ぴったり自分自身になります。約数の和の求め方は約数の和の公式で、(1＋2＋4＋8＋16)×(1＋31)＝31×32＝992、そこから自分自身の496を引いて496、と計算することもできます。

完全数には、もう1つおもしろい顔があります。6・28・496・8128 は、どれも三角数（1から順にたした数）なのです。6＝1＋2＋3、28＝1＋2＋…＋7、496＝1＋2＋…＋31、8128＝1＋2＋…＋127。たす最後の数が 3・7・31・127 と、ちょうど 2ⁿ−1 の素数になっています。2ⁿ⁻¹×(2ⁿ−1)＝(2ⁿ−1)×2ⁿ÷2 なので、三角数の公式 n(n＋1)÷2 にあてはまるからです。

n を2から13まで順に入れて、2ⁿ−1 が素数かどうか、完全数になるかどうかを表にしました。

n＝11 のとき 2¹¹−1＝2047＝23×89 は素数ではないので、n が素数でも 2ⁿ−1 が素数になるとは限りません。5番目の完全数は 33550336（2¹²×8191）で、8128 の次はいきなり8けたに飛びます。完全数が無限にあるのか、奇数の完全数があるのかは、今も分かっていない数学の未解決問題です。

プラトン立体（正多面体）とプラトン数はちがう

名前が似ていてまぎらわしいのが「プラトン立体」です。プラトン立体とは、正四面体・正六面体（立方体）・正八面体・正十二面体・正二十面体の5種類の正多面体のことで、プラトンが著書の中でこれらを宇宙のしくみと結びつけて語ったことから、この名で呼ばれます。どの面も同じ正多角形で、どの頂点にも同じ数の面が集まる立体は、この5種類しかありません。

プラトン数（12960000）とプラトン立体は、どちらもプラトンの名前がついていますが、まったく別のものです。正多面体の面・辺・頂点の数や、5種類しかない理由は正多面体の公式で、プラトン数のほうは216とプラトン数の記事で確かめてください。216の記事でも、この2つを取りちがえないように説明しています。

クイズ：プラトン数 12960000 は 3600² です。では、12960000 の約数は全部で何個あるでしょう？（ヒント：12960000＝2⁸×3⁴×5⁴）

答えを見る

答えは 225個。素因数分解の指数 8・4・4 にそれぞれ1を足してかけ、(8＋1)×(4＋1)×(4＋1)＝9×5×5＝225 です。12960000 は 3600 の2乗（平方数）なので、約数の個数は奇数になります。平方数の約数は、3600×3600 のように「同じ数どうしのペア」が1組だけできるからです。くわしくは約数の個数の公式を見てください。

タクシー数 1729｜2通りの3乗の和で表せる数（ハーディとラマヌジャン）

1729 は、2つの立方数（3乗の数）の和として、2通りに表せる最も小さい数です。

1729＝1³＋12³＝9³＋10³
（1＋1728＝729＋1000）

この 1729 は「タクシー数」や「ハーディ・ラマヌジャン数」と呼ばれ、数学の世界ではとても有名です。この節では、1729 にまつわる話と、2通り・3通り・4通り・5通りで表せる数、そして自分で見つける方法までを、計算で確かめた数だけで紹介します。

ハーディとラマヌジャンの「タクシーの番号」の話

20世紀のはじめ、イギリスの数学者 G. H. ハーディは、インドから来た天才数学者 シュリニヴァーサ・ラマヌジャンといっしょに研究をしていました。ラマヌジャンが病気で療養していたとき、ハーディがお見舞いに行きました。そのとき、ハーディが「乗ってきたタクシーの番号は1729で、つまらない数だった。悪いことの前ぶれでなければいいが」と言うと、ラマヌジャンはすぐに「いいえ、とてもおもしろい数です。2つの立方数の和として2通りに表せる、いちばん小さい数です」と答えた――という話が伝えられています。

この話は、ハーディ自身が書いた文章などを通して広く知られるようになりました。くわしい言い回しは伝える本によって少しずつちがいますが、「どんな数にも、その数ならではの顔がある」ことを教えてくれる話として、今も数学好きのあいだで語りつがれています。1729 という番号のタクシーは、それ以来、数学の世界でいちばん有名なタクシーになりました。

タクシー数 Ta(n) という呼び方

この話にちなんで、「2つの正の立方数の和として n 通りに表せる最小の数」を タクシー数と呼び、Ta(n)（または Taxicab(n)）と書きます。

• Ta(1)＝2（1³＋1³。1通りなら、いちばん小さいのは2）
• Ta(2)＝1729（1³＋12³＝9³＋10³）
• Ta(3)＝87,539,319（3通り）
• Ta(4)＝6,963,472,309,248（4通り）
• Ta(5)＝48,988,659,276,962,496（5通り）

このページでは「1729 のように2通り以上で表せる数」全体のことも、ふだんの言い方にならって「タクシー数の仲間」と呼ぶことにします。なお、ここでいう立方数は 1³・2³・3³… のような正の整数の3乗です。0 や負の数を使ってよいことにすると、答えが変わります（あとで説明します）。

2通りの3乗の和で表せる数 一覧（100万以下の43個）

1729 の次に来るのは 4104、その次は 13832 です。プログラムで a³＋b³（a≦b、a・b は正の整数）をすべて計算し、100万以下で2通り以上に表せる数を全部さがした結果、ちょうど43個見つかりました。100万以下には、3通り以上で表せる数は1つもありませんでした。表の数は、すべて BigInt（大きな整数を正確に扱う計算）で検算しています。

21番目から43番目までを見る（100万以下の残り23個）

順	数	書き方①	書き方②	メモ
21	314,496	4³＋68³	30³＋66³	39,312×2³（39,312の書き方の数を2倍）
22	320,264	18³＋68³	32³＋66³	40,033×2³（40,033の書き方の数を2倍）
23	327,763	30³＋67³	51³＋58³
24	373,464	6³＋72³	54³＋60³	46,683×2³（46,683の書き方の数を2倍）
25	402,597	42³＋69³	56³＋61³
26	439,101	5³＋76³	48³＋69³
27	443,889	17³＋76³	38³＋73³
28	513,000	10³＋80³	45³＋75³	4,104×5³（4,104の書き方の数を5倍）
29	513,856	34³＋78³	52³＋72³	64,232×2³（64,232の書き方の数を2倍）
30	515,375	15³＋80³	54³＋71³
31	525,824	24³＋80³	62³＋66³	65,728×2³（65,728の書き方の数を2倍）
32	558,441	30³＋81³	57³＋72³	20,683×3³（20,683の書き方の数を3倍）
33	593,047	7³＋84³	63³＋70³	1,729×7³（1,729の書き方の数を7倍）
34	684,019	51³＋82³	64³＋75³
35	704,977	2³＋89³	41³＋86³
36	805,688	11³＋93³	30³＋92³
37	842,751	23³＋94³	63³＋84³
38	885,248	8³＋96³	72³＋80³	110,656×2³（110,656の書き方の数を2倍）
39	886,464	12³＋96³	54³＋90³	110,808×2³（110,808の書き方の数を2倍）
40	920,673	20³＋97³	33³＋96³
41	955,016	24³＋98³	63³＋89³
42	984,067	35³＋98³	59³＋92³
43	994,688	29³＋99³	60³＋92³

表のメモ欄を見ると、13832＝1729×2³、46683＝1729×3³、110656＝1729×4³ のように、前の数に立方数をかけた数がまじっていることに気づきます。1729＝1³＋12³ の両辺に 2³＝8 をかけると、8×1729＝(1×2)³＋(12×2)³＝2³＋24³ になるからです。もう1つの書き方 9³＋10³ も同じように 18³＋20³ になるので、2通りがそのまま保たれます。100万以下の43個のうち、18個がこのような「前の数の立方数倍」でした。残りの25個は、それより小さい仲間の何倍かにはなっていない、新しいタイプの数です。

a³＋b³ の形は、乗法公式・因数分解の公式を使うと a³＋b³＝(a＋b)(a²−ab＋b²) と因数分解できます。1729 なら、1＋12＝13、9＋10＝19 で、どちらも 1729 の約数です。1729＝7×13×19 ですから、13 と 19 が両方とも顔を出しているわけです。2通りに表せる数は、このように約数のかけ算の組み合わせを2つ持っていると考えることもできます。

3通りで表せる最小の数 87539319（Ta(3)）

2通りの最小が 1729 なら、3通りで表せる最小の数は何でしょう。プログラムで1億まで（1〜100,000,000）全部調べた結果、3通りで表せる最小の数は次の数でした。

87,539,319＝167³＋436³＝228³＋423³＝255³＋414³

1729 の4けたから、いきなり8けたです。100万以下の43個の中に3通りの数が1つも無かったのも、なっとくできます。

4通り・5通りで表せる最小の数

さらに4通り、5通りで表せる最小の数は、次の数です。どちらも、表し方がすべて正しいことをこのページで BigInt で計算して確かめました。これより小さい数が無い（最小である）ことは、数学者たちのコンピューターを使った計算で知られている結果で、このページで全部をさがし直したわけではありません。

• Ta(4)＝6,963,472,309,248（13けた）＝2421³＋19083³＝5436³＋18948³＝10200³＋18072³＝13322³＋16630³
• Ta(5)＝48,988,659,276,962,496（17けた）＝38787³＋365757³＝107839³＋362753³＝205292³＋342952³＝221424³＋336588³＝231518³＋331954³

3通り・4通り・5通りの書き方を、1つずつ計算した値といっしょに表にしました。どの行も、右の2つの数をたすと左の数になります。

6通り以上になると、最小の数を見つけるのはさらに大変になります。「n 通りで表せる数」そのものは、どんな n でも必ず存在することが数学で証明されています。ただし、それが最小かどうかを確かめるには、それより小さい数を全部調べる必要があり、けた数が増えるほど計算が重くなります。

1729 のほかの顔｜7×13×19・フェルマーの「おしい」例・19×91

1729 は、2通りの3乗の和のほかにも、おもしろい性質をいくつも持っています。

① 1729＝7×13×19。素因数分解すると、3つの素数のかけ算になります。しかも 7・13・19 は 6ずつ増える素数の並びです。さらに、それぞれから1を引いた 6・12・18 は、どれも 1728（＝1729−1）を割り切ります。この性質があるため、1729 は「カーマイケル数」と呼ばれる特別な数の仲間にも入っています。素因数分解のやり方は素因数分解の公式で確かめてください。

② 9³＋10³＝12³＋1。9³＋10³＝729＋1000＝1729 で、12³＝1728 よりちょうど1だけ多い数です。「3乗の数を2つたして、ぴったり3乗の数にできるか」という問題、つまり x³＋y³＝z³ には正の整数の答えが無いことが知られています。これが有名なフェルマーの最終定理の n＝3 の場合です。9³＋10³ は 12³ に「あと1」まで近づいた、とてもおしい例です。この「おしい」組は、「解けたら東大！？シンプルだけど難しい数学の問題」でも、6³＋8³＝9³−1 といっしょに図で紹介しています。

③ 1＋7＋2＋9＝19、19×91＝1729。1729 の各けたの数字をたすと 19。その 19 に、19 を逆から読んだ 91 をかけると、もとの 1729 にもどります。各けたの数字を使う遊びは、このページのナルシシスト数の節（153＝1³＋5³＋3³ など）にもたくさん出てきました。

④ 1728＝12³。1729 の1つ前の 1728 は 12×12×12 で、1ダース（12個）の12倍の12倍です。時計の文字盤の 12 や、1年の 12か月のように、12 は昔から「分けやすい数」として使われてきました。時計の数字をいろいろな数式で表した理系時計を見ると、12 までの数でも式の作り方がたくさんあることがわかります。

3乗の和といえば、3³＋4³＋5³＝6³（27＋64＋125＝216）も思い出してください。立方数を2つたして立方数にすることはできませんが、3つなら 216＝6³ のようにぴったりになる例があります。この式は、前の節の「プラトン数と聖数」と、合格大作戦の記事「プラトン数（12960000）と216」でくわしく紹介しています。

負の数を使うと、もっと小さい数が見つかる

ここまでの「立方数」は、すべて正の整数の3乗でした。もし負の数の3乗（たとえば (−5)³＝−125）も使ってよいことにすると、2通りに表せる数はもっと小さくなります。たとえば次の式が成り立ちます。

91＝3³＋4³＝6³＋(−5)³
（27＋64＝216−125）

91 は 1729 よりずっと小さい数ですが、これは「正の数だけ」という約束を外したからです。どんな数を使ってよいかという約束が変われば、答えも変わる。数学では、この約束（条件）をはっきりさせることがとても大切です。タクシー数 Ta(n) は「正の立方数」という約束で決めた数なので、Ta(2) は 1729 のままです。

タクシー数を自分でさがす方法（中学生向け）

1729 のような数は、紙と電卓でも見つけられます。やり方はかんたんで、a³＋b³ の表を作って、同じ数が2回出てくるところをさがすだけです。

1. 1³＝1、2³＝8、3³＝27 … と、1から12くらいまでの3乗を書き出します（12³＝1728 まで）。
2. たてに a、横に b をとった表を作り、マスに a³＋b³ を書きこみます。a と b を入れかえても同じ数なので、a≦b の半分だけで十分です。
3. 表の中で、同じ数が2か所に出てきたら、それが2通りに表せる数です。

1〜12 の表では、2か所に出てくる数は 1729 だけです。表を 1〜16 まで広げると 4104（2³＋16³＝9³＋15³）が、1〜24 まで広げると 13832（2³＋24³＝18³＋20³）が見つかります。ただし、表を大きくするとマスの数がどんどん増えます。1〜100 の表なら、a≦b のマスだけでも 5050 個もあります。この数え方は 1＋2＋…＋100 と同じで、三角数の公式 n(n＋1)÷2 で出せます。

そこで、コンピューターを使う場合は、a³＋b³ を全部計算して小さい順に並べかえ、となりどうしが同じ数になっているところをさがします。このページの表も、この方法で 100万以下と 1億以下を全部調べて作りました。このとき、ふつうの小数の計算では大きな数がずれることがあるので、整数をそのまま正確に扱う BigInt という仕組みで検算しています。数の性質を調べるときは、なにかで割った余りに注目する合同式も役に立ちます。たとえば、どんな整数の3乗も9で割った余りは 0・1・8 のどれかになることが知られています。

クイズ：1729 の次に小さいタクシー数の仲間は 4,104 です。4,104 を「2つの正の整数の3乗の和」として、2通りに書いてみましょう。（ヒント：どちらも、片方は 10 より小さい数です）

答えを見る

答えは 4,104＝2³＋16³＝9³＋15³。2³＋16³＝8＋4,096、9³＋15³＝729＋3,375 で、どちらも 4,104 になります。上の早見表を 16 まで広げると見つかります。

2025は45の2乗｜西暦と平方数・立方数

2025年は45²＝2025という「平方数の年」でした。平方数（へいほうすう）とは、同じ整数を2回かけた数のことです。その前の平方数の年は1936年（44²）、次は2116年（46²）です。つまり、平方数の年は一生に1回か2回しか来ません。

2025にはもう1つ有名な顔があります。1から9までをたした45を2乗すると2025、そして1³＋2³＋3³＋…＋9³ を計算しても 2025 になります（計算し直しても 2025 です）。「1から n までの3乗の和は、1から n までの和の2乗に等しい」という公式 1³＋2³＋…＋n³＝{n(n＋1)/2}² の、n＝9 の場合です。この公式は算数・数学公式辞典の数列の公式でも出てきます。

となりどうしの平方数の差は (n＋1)²−n²＝2n＋1 です。44²から45²までは89年、45²から46²までは91年と、間が2年ずつ広がります。この差の式は「和と差の積」そのもので、2乗の引き算を暗算する方法で使う考え方と同じです。

立方数（3乗の数）の年は、1728年（12³）と2197年（13³）です。12³＝1728 は「1ダース（12個）の1ダースの1ダース」で、英語では great gross（グレートグロス）と呼ばれる数です。2の累乗の 2¹⁰＝1024・2¹¹＝2048 も西暦の中にあります。2048年は今の中学生が大人になってから迎える年です。

38の2乗は1444｜末尾に同じ数字が3つ並ぶ2乗

38²＝1444。末尾に4が3つ並びます。同じように 462²＝213444、538²＝289444、962²＝925444 と、末尾が444になる2乗はたくさんあります。n < 10,000 の範囲で調べると、40個ありました。

ふしぎなのは、末尾に同じ数字が3つ並ぶ2乗は「000」と「444」しかないことです。2乗の下3けたは、もとの数の下3けたで決まります。だから0〜999の2乗を全部調べれば、どんな大きな数でも答えが出ます。実際に全部調べると、111・555・999 などは一度も出ず、出るのは 000 と 444 だけでした。さらに、末尾が「4444」と4つ並ぶ2乗は1つもありません（下4けたを0〜9999で全部調べて0個）。

理由を式で見てみましょう。末尾444の数は、どれも「500の倍数 ± 38」の形です。(500k＋38)² を展開すると 250000k²＋38000k＋1444 になります。250000k² と 38000k はどちらも末尾が000なので、下3けたは 1444 の「444」だけが残ります。マイナスのときも (500k−38)²＝250000k²−38000k＋1444 で同じです。展開の公式は乗法公式、「下何けたかだけを考える」やり方は合同式の考え方そのものです。

残りの24個（4038〜9962）を見る

n	何乗	答え	500の倍数±38
4038	2乗	16,305,444	4038 ＝ 500×8 ＋ 38
4462	2乗	19,909,444	4462 ＝ 500×9 − 38
4538	2乗	20,593,444	4538 ＝ 500×9 ＋ 38
4962	2乗	24,621,444	4962 ＝ 500×10 − 38
5038	2乗	25,381,444	5038 ＝ 500×10 ＋ 38
5462	2乗	29,833,444	5462 ＝ 500×11 − 38
5538	2乗	30,669,444	5538 ＝ 500×11 ＋ 38
5962	2乗	35,545,444	5962 ＝ 500×12 − 38
6038	2乗	36,457,444	6038 ＝ 500×12 ＋ 38
6462	2乗	41,757,444	6462 ＝ 500×13 − 38
6538	2乗	42,745,444	6538 ＝ 500×13 ＋ 38
6962	2乗	48,469,444	6962 ＝ 500×14 − 38
7038	2乗	49,533,444	7038 ＝ 500×14 ＋ 38
7462	2乗	55,681,444	7462 ＝ 500×15 − 38
7538	2乗	56,821,444	7538 ＝ 500×15 ＋ 38
7962	2乗	63,393,444	7962 ＝ 500×16 − 38
8038	2乗	64,609,444	8038 ＝ 500×16 ＋ 38
8462	2乗	71,605,444	8462 ＝ 500×17 − 38
8538	2乗	72,897,444	8538 ＝ 500×17 ＋ 38
8962	2乗	80,317,444	8962 ＝ 500×18 − 38
9038	2乗	81,685,444	9038 ＝ 500×18 ＋ 38
9462	2乗	89,529,444	9462 ＝ 500×19 − 38
9538	2乗	90,973,444	9538 ＝ 500×19 ＋ 38
9962	2乗	99,241,444	9962 ＝ 500×20 − 38

2の累乗 一覧｜2¹〜2⁶⁴ と 2の10乗＝1024

2を何回もかけていくと、2・4・8・16・32・64・128・256・512・1024 と、あっという間に大きくなります。2の10乗は1024で、1000にとても近い数です。コンピューターの世界で「1キロバイト＝1024バイト」と数えることがあるのは、このためです。2の累乗はコンピューターの「0と1」の世界の基本なので、2¹⁶＝65536 や 2²⁴＝16777216 も、ゲームや画面の色の数でよく見かけます。2²⁴ の覚え方は2の24乗＝16777216の覚え方でくわしく紹介しています。

倍々で増えると、どれくらい大きくなるでしょうか。2¹⁰ が約1000（10³）なので、2²⁰ は約100万、2³⁰ は約10億、2⁴⁰ は約1兆です。「10回かけるごとに約1000倍」と覚えておくと、けた数の見当がつきます。正確なけた数は、常用対数 log₁₀2≒0.3010 を使って「k×0.3010 の整数部分＋1」で求められます。たとえば 2⁶⁴ は 64×0.3010≒19.26 なので20けたです。この計算は常用対数でけた数を求める公式と常用対数の整数部分の記事で練習できます。

表の中で特にふしぎなのが 2²⁹＝536,870,912 です。9けたの数で、使われている数字は 5・3・6・8・7・0・9・1・2。0〜9のうち4だけが無く、ほかの数字は1回ずつしか出てきません。2の累乗で、使う数字がすべてちがうものは、これが一番大きいものです（10けた以上になると、0〜9の10種類しかないので、11けた以上では必ず同じ数字が重なります）。

もう1つ、0を含まない2の累乗の話です。2¹〜2⁹ は0を含みませんが、2¹⁰＝1024 で初めて0が出ます。その後も 0 を含まない2の累乗はときどき現れますが、2⁸⁶＝77,371,252,455,336,267,181,195,264（26けた）を最後に、2⁵⁰⁰⁰ まで調べた範囲では一度も出てきません。けたが増えるほど「どこかに0がある」可能性が高くなるので、86より大きいものは無いだろうと考えられていますが、証明はされていません。

2の累乗は指数法則（2³×2⁴＝2⁷ のように、かけ算が指数のたし算になる）を体で覚えるのにも向いています。また、²や³などの右上の小さい数字は数学記号のコピペページからそのまま使えます。

累乗の一の位はくり返す｜2²⁰²⁶ の一の位の求め方

2を次々にかけると、一の位は 2→4→8→6→2→4→8→6… と4つで1周します。一の位どうしをかけた結果の一の位だけを見ればよいからです（…6×2＝…2 で、また2に戻ります）。0〜9のどの数字で終わる数でも、一の位は1回・2回・4回のどれかの周期でくり返します。

この性質を使うと、とても大きな累乗の一の位がすぐにわかります。2²⁰²⁶ なら、2026÷4＝506 余り2 なので、輪の2番目の「4」です。入試でも「7²⁰²⁶ の一の位を求めよ」のような問題がよく出ます。考え方は「あまりだけを追いかける」で、合同式やあまりの問題の公式につながります。さらに進むと、素数 p で割った余りについてのフェルマーの小定理に行きつきます。

クイズ：3¹⁰⁰ の一の位は何でしょう？

答えを見る

答えは 1。3の累乗の一の位は 3→9→7→1 の4つで1周します。100÷4＝25 余り0 なので、1周の最後の「1」です（実際に計算しても 1 になります）。

11の累乗 一覧｜121・1331・14641 とパスカルの三角形

11を2乗すると121、3乗すると1331、4乗すると14641。どれも回文（前から読んでも後ろから読んでも同じ数）です。しかも数字の並び 1・4・6・4・1 は、パスカルの三角形の4段目とぴったり同じです。パスカルの三角形とは、両はしに1を置き、上の2つの数をたして下に書いていく三角形の数の表です。

なぜ同じになるのでしょうか。11＝10＋1 なので、11ⁿ＝(10＋1)ⁿ です。これを展開すると、10の累乗の前につく係数がパスカルの三角形の数になります。これが二項定理です。たとえば (10＋1)⁴＝1×10⁴＋4×10³＋6×10²＋4×10＋1 なので、各けたに 1・4・6・4・1 が並びます。

ところが5乗になると、係数が 1・5・10・10・5・1 となり「10」が出てきます。10はひとけたに収まらないので、くり上がりが起きて 11⁵＝161051 となり、回文ではなくなります。「1を並べた数の2乗」のピラミッドが10個目で崩れるのと同じ理由です。

11をかける計算には、2桁×11の暗算という便利な技もあります。たとえば 34×11 は「3と4の間に 3＋4＝7 を入れて374」。これも (10＋1) をかけているだけなので、二項定理と同じしくみです。ほかの暗算の技はインド式かけ算やくれない算にまとめています。

10²＋11²＋12²＝13²＋14²｜累乗の美しい等式一覧

累乗には、見ているだけで気持ちのよい等式がたくさんあります。代表は 10²＋11²＋12²＝13²＋14²＝365。続く5つの整数を3つと2つに分けると、2乗の和が等しくなり、しかもその値が1年の日数の365になります。

これは 3²＋4²＝5²（2つと1つ）の仲間です。次は 21²＋22²＋23²＋24²＝25²＋26²＋27²（4つと3つ）、その次は 36²〜40² と 41²〜44²（5つと4つ）と、いくらでも続きます。左のはじまりの数が 3・10・21・36… と増えていくのも、規則を探してみるとおもしろいところです。

1729＝1³＋12³＝9³＋10³ は、2通りの3乗の和で表せる最小の数で「タクシー数」と呼ばれます。ハーディとラマヌジャンの話や、3通り・4通りで表せる数は、くわしくはタクシー数の節で紹介しています。1²＋2²＋…＋24²＝70² も特別で、1から順に2乗をたして平方数になるのは、1個（1²＝1）と24個のときだけであることが証明されています。

3²＋4²＝5² は三平方の定理そのものです。この式を3乗以上にした xⁿ＋yⁿ＝zⁿ には自然数の答えが無い、というのが有名なフェルマーの最終定理です。6³＋8³＝9³−1 のように「あと1」まで近づく式はあっても、ぴったり等しくはならないのです。8²−7²＝8＋7 は (a＋b)(a−b) の形で、和と差の積の暗算と同じしくみです。

クイズ：3²＋4²＝5²、10²＋…、21²＋…、36²＋… と続く仲間の式で、左はしの数は 3・10・21・36 と増えます。次の式の左はしの数は？

答えを見る

答えは 55。差が 7・11・15… と4ずつ増えるので、36＋19＝55 です。実際に 55²＋56²＋…＋60²＝61²＋…＋65² で、どちらも 19,855。左はしの数は n(2n＋1) という式で表せます。

まとめ｜おもしろい累乗の数を自分で見つける方法

このページで紹介した数は、どれも「たくさん計算して、ふしぎな形を探す」ことで見つかったものです。きみも次の方法で、自分だけの「おもしろい数」を探してみましょう。

• 電卓で2乗を並べる：スマホの電卓で 11×11、111×111… や 38×38、462×462 を計算するだけでも、ピラミッドや末尾の444が自分の目で確かめられます。
• 表計算ソフトで n² を一気に出す：A列に1〜10000を入れ、B列に「=A1^2」と書いて下までコピーすれば、1万個の2乗が一瞬で並びます。「末尾が444のものだけ」「回文のものだけ」と条件をつけて探すと、新しい発見があります。ただし表計算ソフトは15けたくらいを超えると数字が丸められるので、大きな数はプログラム（このページでは BigInt という整数の計算）で確かめます。
• 「なぜ？」を式で考える：見つけたら、展開したり、下何けただけを考えたりして理由を探します。理由がわかると、同じ仲間が次々に見つかります。

累乗の基本は用語辞典の「指数」、平方数と平方根は「平方根」、平方数かどうかの見分け方は素因数分解の公式で確かめられます。数学の公式や用語をまとめて見たいときは数学まとめ・公式辞典・用語辞典へどうぞ。2の累乗をもっと覚えたい人は2の24乗の記事、暗算で2乗を速く出したい人は100に近い数のかけ算もおすすめです。

よくある質問

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