黄金比と白銀比の公式｜1:(1+√5)/2・1:√2 の求め方と証明・A4の紙・正五角形とcos36°【高校受験〜大学受験】

うかるくん

黄金比の 1.618… って、どうしてそんな半端な数になるの？

合格先生

正方形を切り取っても同じ形になる条件 $1:x=(x-1):1$ から、$x^2-x-1=0$ を解いた答えだからだ。

黄金比と白銀比

黄金比と白銀比は、長方形の「縦：横」などに出てくる特別な比です。どちらも「切ったり折ったりしても同じ形のまま」という性質から決まります。

呼び名の注意：日本では $1:\sqrt2$ を「白銀比」（大和比）とよぶことが多いですが、$1:(1+\sqrt2)$ を白銀比とよぶ本もあります。問題文でどちらの意味か確かめましょう。このページでは $1:\sqrt2$ を白銀比とします。

証明（なぜこの値になるのか）

黄金比：正方形を切り取っても同じ形

縦 1、横 $x$（$x>1$）の長方形から、1辺1の正方形を切り取ると、残りは縦 1、横 $x-1$ の長方形です。残りの長方形は向きを変えると「短い辺 $x-1$、長い辺 1」。これがもとの長方形（短い辺 1、長い辺 $x$）と同じ形になる条件は

解の公式で $x=\dfrac{1\pm\sqrt5}{2}$。$x>0$ なので $x=\dfrac{1+\sqrt5}{2}=\varphi$。この式から $\varphi^2=\varphi+1$、両辺を $\varphi$ でわって $\varphi=1+\dfrac1\varphi$、つまり $\dfrac1\varphi=\varphi-1$ も出てきます。

白銀比：半分に折っても同じ形

短い辺 1、長い辺 $x$ の長方形を、長い辺の真ん中で半分に折ると、短い辺 $\dfrac x2$、長い辺 1 の長方形になります。もとと同じ形になる条件は

だから A4 を半分にした A5 も、さらに半分の A6 も、みな $1:\sqrt2$ です。半分に折ると面積は $\dfrac12$、相似比は $1:\sqrt2$（面積比 $1:2$）になっています。

正五角形と黄金比

頂角が 36° の二等辺三角形 ABC（AB＝AC＝1）で、∠B（72°）の二等分線 BD を引くと、△BCD も頂角 36° の二等辺三角形になり、△ABC∽△BCD です。$BC=x$ とすると、$AD=BD=BC=x$、$DC=1-x$ なので

この三角形は正五角形の「対角線2本と辺1本」でできる三角形です。だから正五角形の対角線と辺の比は $\varphi:1$（黄金比）になります（トレミーの定理でも確かめられます）。

フィボナッチ数とのつながり：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …（フィボナッチ数）のとなりどうしの比は $\dfrac{13}{8}=1.625$、$\dfrac{21}{13}=1.615\cdots$、$\dfrac{34}{21}=1.619\cdots$、$\dfrac{55}{34}=1.617\cdots$ と、$\varphi=1.618\cdots$ に近づいていきます。

黄金比は「美しい比」として紹介されることが多いですが、有名な建物や絵画に使われているという話には、根拠のはっきりしないものもあります。数学として確かなのは、上の性質です。

高校受験（中学数学）での使い方

中学3年の平方根・二次方程式・相似を組み合わせた問題で出てきます。「同じ形になる」を比の式にして、二次方程式を解くのが基本です。

大学受験での使い方

よくある間違い

合格先生

$x^2-x-1=0$ の負の解 $\dfrac{1-\sqrt5}{2}$ を残してはだめだ。長さは正の数だぞ。

• 黄金比を $1:1.6$ ちょうどとする：$\varphi=\dfrac{1+\sqrt5}{2}$ は無理数で、$1.618\cdots$ と続きます。計算は $\varphi^2=\varphi+1$ を使うと正確です。
• 二次方程式の負の解を残す：$x^2-x-1=0$ の解 $\dfrac{1-\sqrt5}{2}$ は負なので、長さとしては使えません。
• 白銀比の意味の取りちがえ：$1:\sqrt2$ と $1:(1+\sqrt2)$ の両方の使い方があります。問題文の定義に合わせましょう。

練習問題

うかるくん

$\varphi^2=\varphi+1$ を使えば計算が楽になるね！

1. 高校受験 $\varphi=\dfrac{1+\sqrt5}{2}$ のとき、$\varphi^2=\varphi+1$ が成り立つことを確かめなさい。
   答えと解説を見る

   $\varphi^2=\dfrac{1+2\sqrt5+5}{4}=\dfrac{3+\sqrt5}{2}$、$\varphi+1=\dfrac{1+\sqrt5}{2}+1=\dfrac{3+\sqrt5}{2}$。等しい
2. 高校受験 A4 の紙（210mm×297mm）を2枚、長い辺どうしをくっつけて並べると、何 mm×何 mm の紙になりますか。
   答えと解説を見る

   短い辺が2倍になるので 420mm×297mm（これが A3 の大きさ 297mm×420mm）
3. 大学受験 $\varphi^2=\varphi+1$ をくり返し使って、$\varphi^5$ を $a+b\sqrt5$ の形で表しなさい。
   答えと解説を見る

   $\varphi^3=\varphi^2+\varphi=2\varphi+1$、$\varphi^4=3\varphi+2$、$\varphi^5=5\varphi+3=\dfrac{5+5\sqrt5}{2}+3=\dfrac{11+5\sqrt5}{2}$

関連する公式

• 二次方程式の解の公式
• 相似な図形の面積比・体積比
• トレミーの定理（正五角形の対角線）
• 階段の上り方とフィボナッチ数
• 平方根の計算
• 相似の中心と拡大図・縮図

よくある質問

あわせて読みたい

• 合格大作戦 算数・数学公式辞典（公式一覧）