階段の上り方の解き方と公式｜1つ下＋2つ下になる理由・フィボナッチ数・ふめない段の例題【中学受験】

うかるくん

10段の上り方を全部書き出すなんて、むりだよ。

合格先生

最後の一歩が1段か2段かで分けるんだ。だから「1つ下の段＋2つ下の段」を下から足していけばいいぞ。

階段の上り方の公式

階段を1段か2段ずつ上るとき、上り方が何通りあるかを考えます。1つずつ書き出すと大変ですが、下の段から順に、上り方の数を書きこんでいくと、足し算だけで求められます。

なぜ「1つ下＋2つ下」になるのか

5段目に着く上り方を、最後の一歩で分けて考えます。最後の一歩は「1段」か「2段」のどちらかです。

• 最後に1段上る → その前は4段目にいた。4段目までの上り方が5通りあるので、5通り。
• 最後に2段上る → その前は3段目にいた。3段目までの上り方が3通りあるので、3通り。

最後の一歩がちがえば上り方もちがうので、2つのグループに重なりはなく、もれもありません。だから 5段目までの上り方は 5＋3＝8（通り）です。どの段でも同じ考え方で「1つ下＋2つ下」になります。

フィボナッチ数

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … のように、前の2つの数を足して次の数を作る数の並びをフィボナッチ数（フィボナッチ数列）といいます。13世紀のイタリアの数学者フィボナッチの本にある、ウサギがふえる問題で知られています。階段の上り方の数 1, 2, 3, 5, 8, … は、このフィボナッチ数の2番目からと同じです。となり合う2つの数の比（13÷8、21÷13、…）は、だんだん 1.618… （黄金比）に近づきます。

タイルのしきつめにも同じ数が出てきます。たて2の長方形を 1×2 のタイルでしきつめるとき、「たて置き1枚」を1段、「横に2枚重ね」を2段と見ると、階段の上り方と同じ数え方になります。

中学受験（算数）での使い方

よくある間違い

合格先生

ふめない段を飛ばしてはだめだ。0と書いて、そのまま足し算を続けるんだぞ。

• 2段目を1通りにする：2段目は「1段＋1段」と「2段」の2通り。
• 3段ずつ上れるのに「1つ下＋2つ下」のまま：上れる段数の分だけ、下の段を足す。
• ふめない段を飛ばして数え直さない：ふめない段は 0 と書いて、そのまま足し算を続ける。

練習問題

うかるくん

下の段から、数を書きこんでいくぞ！

1. 中学受験 たて2、よこ6の長方形を、1×2のタイルですきまなくしきつめる方法は何通りありますか。
   答えと解説を見る

   よこ1, 2, 3, 4, 5, 6 で 1, 2, 3, 5, 8, 13 通り（1つ前＋2つ前）。答え 13通り
2. 中学受験 12段の階段を、1歩で1段か2段ずつ上ります。上り方は何通りありますか。
   答えと解説を見る

   10段目まで 89通り、9段目まで 55通り。11段目 55＋89＝144、12段目 89＋144＝233。答え 233通り
3. 中学受験 6段の階段を、1歩で1段か3段ずつ上ります。上り方は何通りありますか。
   答えと解説を見る

   「1つ下＋3つ下」。1段目1、2段目1、3段目2（1＋1＋1、3）、4段目 2＋1＝3、5段目 3＋1＝4、6段目 4＋2＝6。答え 6通り

関連する公式

• 樹形図と数え上げ
• 最短経路の道順（同じく足し算で数える）
• 順列・組合せの公式
• 三角数・四角数
• 漸化式の解き方（大学受験。前の項から次の項を決める式）

よくある質問

あわせて読みたい

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