階乗（n!）とは？意味と計算をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

階乗（n!）とは？意味と計算をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

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大学受験

階乗とは

1 から nn までの整数をすべてかけた数で、n!n! と書きます。5!=5×4×3×2×1=1205!=5\times4\times3\times2\times1=120 です。ちがう nn 個を1列に並べる並べ方の数になります。0!=10!=1 と決めます。

読み方：かいじょう／英語：factorial／習う学年：数学A（場合の数と確率）

うかるくん

うかるくん

5!5! って、5 にびっくりしてるんですか？

合格先生

合格先生

ははは、形は同じだけど意味はちがうよ。5!5! は「5 の階乗」で、5×4×3×2×1=1205\times4\times3\times2\times1=120。5人を1列に並べる並べ方の数なんだ。

この用語のポイント

  • n!=n×(n−1)×⋯×2×1n!=n\times(n-1)\times\cdots\times2\times1（nn 個の並べ方の数）
  • 0!=10!=1 と決める（n!=n×(n−1)!n!=n\times(n-1)! を逆にたどる）
  • 分数は約分：7!5!=7×6=42\dfrac{7!}{5!}=7\times6=42

やさしく言うと

階乗は、1 から nn までの整数をすべてかけた数です。記号 n!n! で表し、「nn の階乗」「nn かいじょう」と読みます。

n!=n×(n−1)×(n−2)×⋯×2×1n!=n\times(n-1)\times(n-2)\times\cdots\times2\times1

たとえば 3!=3×2×1=63!=3\times2\times1=6、5!=5×4×3×2×1=1205!=5\times4\times3\times2\times1=120 です。

身近なたとえで考えてみましょう。

  • リレーの走る順番：4人で走る順番は、1走が4通り、2走が残り3通り、3走が2通り、アンカーが1通り。全部で 4×3×2×1=4!=244\times3\times2\times1=4!=24 通りです。
  • 本だなの並べ方：5冊の本を1列に並べる並べ方は 5!=1205!=120 通り。1冊ふえて6冊になると 720720 通りと、一気にふえます。
  • トランプのシャッフル：52枚の並べ方は 52!52! 通りで、これは68けたにもなる数です。よく切ったトランプの並び方は、ほぼ毎回はじめて現れる並び方だといわれます。
1番目2番目3番目 ABCABCCBACBBACBACCABCACABCABBACBA 3 通り× 2 通り× 1 通り ＝ 6
3人の並べ方は 3×2×1＝3!＝6 通り

まとめると、階乗は「ちがうものを全部1列に並べる並べ方の数」です。

階乗の例

○ 正しい計算

  • 1!=11!=1
  • 3!=3×2×1=63!=3\times2\times1=6
  • 4!=244!=24、5!=1205!=120
  • 0!=10!=1（そう決める）
  • 7!5!=7×6=42\dfrac{7!}{5!}=7\times6=42（約分できる）
  • 10!=362880010!=3628800

× まちがい

  • 0!=00!=0（正しくは 1）
  • (2×3)!=2×3!(2\times3)!=2\times3!（720≠12720\ne12）
  • 3!+2!=5!3!+2!=5!（8≠1208\ne120）
  • 6!3!=2!\dfrac{6!}{3!}=2!（正しくは 6×5×4=1206\times5\times4=120）
  • (−2)!(-2)!（負の整数の階乗は考えない）

階乗はかけ算なので、たし算やわり算のきまりは成り立ちません。6!3!\dfrac{6!}{3!} は「6÷36\div3 の階乗」ではなく、共通部分を約分して計算します。

図で見る：どんどん大きくなる

n!n! は、1つ前の階乗 (n−1)!(n-1)! に nn をかけた数です。n!=n×(n−1)!n!=n\times(n-1)! というきまりがあるので、かける数がどんどん大きくなり、急に大きくなります。

前の階乗に、次の数をかけていく 11!22!63!244!1205!7206! n! ＝ n × (n−1)! ※棒の高さは大きさの順を表すだけ（比は正確でない）
1 から 6 までの階乗。前の階乗に次の数をかける
nn!メモ
11
363人の並べ方
51205人の並べ方
75040
103628800約363万
5268けたの数トランプ52枚の並べ方
サクラちゃん

サクラちゃん

0!0! って、0 から 0 までかけるんですか？ 0 になりそうですけど…

合格先生

合格先生

0!0! は「1 と決める」んだ。n!=n×(n−1)!n!=n\times(n-1)! のきまりを逆にたどると、1!=1×0!1!=1\times0! だから 0!=10!=1 にするとつじつまが合う。こう決めておくと、順列や組合せの公式もいつでも使えるんだよ。

逆にたどると、0! は 1 になる 4!24÷43!6÷32!2÷21!1÷10!1 1! ÷ 1 ＝ 0! なので 0! ＝ 1 （0! を 1 と決めると、nPr や nCr の公式が 　r＝n や r＝0 のときもそのまま使える）
4! から順にわっていくと、0!＝1 にたどり着く

順列・組合せとの関係

階乗は、順列・組合せの公式の部品です。

数え方式例
nn 個を全部並べるn!n!4!=244!=24
nn 個から rr 個選んで並べる（順列）nPr=n!(n−r)!{}_n\mathrm{P}_r=\dfrac{n!}{(n-r)!}5P3=60{}_5\mathrm{P}_3=60
nn 個から rr 個選ぶ（組合せ）nCr=n!r! (n−r)!{}_n\mathrm{C}_r=\dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}5C3=10{}_5\mathrm{C}_3=10
円形に並べる（円順列）(n−1)!(n-1)!5人で 4!=244!=24

組合せでは、選んだ rr 個の並べ方 r!r! 通りを「同じもの」とみなすので、r!r! でわります。

指さして説明するうかるくん

うかるくん

階乗の分数は、全部かけ算せずに約分！ 7!/5! は 7×6 で一発だ。

テスト・入試ではこう出る

階乗は高校の数学A（場合の数と確率）で、順列の記号として習います。定期テストでは並べ方の数や階乗をふくむ式の計算、大学入試ではn!n! の末尾の 0 の個数、n!n! が素数 pp で何回わり切れるかなどの整数問題もよく出ます。

例題1（計算と順列）

(1) 7!5!\dfrac{7!}{5!} を計算しなさい。(2) 5人から3人を選んで1列に並べる並べ方は何通りですか。

  1. (1) かけ算を書き出して約分する：7!5!=7×6×5×4×3×2×15×4×3×2×1=7×6=42\dfrac{7!}{5!}=\dfrac{7\times6\times5\times4\times3\times2\times1}{5\times4\times3\times2\times1}=7\times6=42
  2. (2) 5人から3人を選んで並べるので 5P3=5!(5−3)!=5!2!=5×4×3=60{}_5\mathrm{P}_3=\dfrac{5!}{(5-3)!}=\dfrac{5!}{2!}=5\times4\times3=60

答え　(1) 42　(2) 60 通り

例題2（末尾の 0）

25!25! を計算すると、末尾に 0 は何個並びますか。

  1. 末尾の 0 は 2×52\times5 から1つずつできる。2 は多いので、素因数 5 の個数を数えればよい。
  2. 1〜25 の中の 5 の倍数：25÷5=525\div5=5 個（5、10、15、20、25）
  3. 25 は 5×55\times5 で、5 をもう1つ持っている：25÷25=125\div25=1 個
  4. 合計 5+1=65+1=6 個。

答え　6 個

10! ＝ 1×2×3×…×10 の末尾の 0 の数 12345678910 赤：5 の倍数（5 と 10 → 5 が 2 個） 青：2 の倍数（2 はたっぷりある） 0 は「2×5＝10」から1つずつできる → 少ないほうの 5 の個数 ＝ 0 の個数 10! ＝ 3628800（0 が 2 個）
末尾の 0 の数は、5 の個数で決まる

まちがえやすい点

腕でバツを作る合格先生

合格先生

0!0! は 0 じゃない！ 0!=10!=1 と決まっているよ。

  • 0!=00!=0 とする：0!0! は 1 と決められています。5C5=5!5! 0!=1{}_5\mathrm{C}_5=\dfrac{5!}{5!\,0!}=1 のように、公式の中でよく使います。
  • (2n)!(2n)! と 2×n!2\times n! を同じと思う：n=3n=3 なら (2×3)!=6!=720(2\times3)!=6!=720、2×3!=122\times3!=12 で、まったくちがいます。
  • 階乗の分数を全部計算する：10!8!\dfrac{10!}{8!} を 362880040320\dfrac{3628800}{40320} と計算するのは大変です。約分して 10×9=9010\times9=90 とします。
  • 階乗どうしのたし算をまとめる：3!+2!=5!3!+2!=5! は×。6+2=86+2=8 です。くくり出すなら 3!+2!=2!×(3+1)=83!+2!=2!\times(3+1)=8 のように考えます。
  • 末尾の 0 で 25 の分を数え忘れる：25、50、75 などは 5 を2つ持っています。25!25! の 0 は 55 個ではなく 66 個です。

ことばの由来

記号「!」は、感嘆符（ビックリマーク）と同じ形です。英語では階乗を factorial（ファクトリアル）といい、5!5! は「five factorial」と読みます。factor は「因数（かけ算の部品）」という意味で、1 から nn までを全部かけ合わせるようすに合っています。

ミニ問題

問題1　6!6! の値を求めましょう。また、6人を1列に並べる並べ方は何通りですか。

答えと解き方を見る

どちらも 720 です。6!=6×5×4×3×2×1=7206!=6\times5\times4\times3\times2\times1=720。6人を1列に並べるとき、1番目は6通り、2番目は5通り、…と考えると、並べ方は 6!=7206!=720 通りです。

問題2　8!6!×2!\dfrac{8!}{6!\times2!} の値を求めましょう。

答えと解き方を見る

28 です。8!6!=8×7=56\dfrac{8!}{6!}=8\times7=56 なので、562!=562=28\dfrac{56}{2!}=\dfrac{56}{2}=28。これは8人から2人を選ぶ組合せ 8C2{}_8\mathrm{C}_2 の値です。

問題3　30!30! を計算すると、末尾に 0 は何個並びますか。

答えと解き方を見る

7 個 です。素因数 5 の個数を数えます。5 の倍数は 30÷5=630\div5=6 個、25 の倍数（5 をもう1つ持つ）は 30÷2530\div25 の商で 1 個。合計 6+1=76+1=7 個です。2 の個数は 5 よりずっと多いので、0 の数は 5 の個数で決まります。

関連する公式・用語

公式辞典で、くわしい証明と例題を見る

あわせて覚えたい用語

よくある質問

階乗とは簡単にいうと何ですか？

1 から n までの整数をすべてかけた数です。n! と書き、5!＝5×4×3×2×1＝120 です。

0! はなぜ 1 なのですか？

n!＝n×(n−1)! のきまりを逆にたどると、1!＝1×0! となるので 0!＝1 と決めます。こう決めると順列・組合せの公式がいつでも使えます。

階乗は何に使いますか？

ちがうものを1列に並べる並べ方の数を表します。順列 nPr や組合せ nCr の公式にも使います。

n! の末尾の 0 の数はどう求めますか？

0 は 2×5 から1つずつできます。2 は多いので、1〜n にふくまれる素因数 5 の個数を数えます。25 の倍数は 5 を2つ持つので注意します。

階乗の分数はどう計算しますか？

共通部分を約分します。7!/5! は 7×6＝42、10!/8! は 10×9＝90 です。

階乗は何年生で習いますか？

高校の数学A（場合の数と確率）で、順列のところで習います。

出典・参考

  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編」数学A（場合の数と確率）

最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦