スターリングは何をした人？業績・生涯をわかりやすく｜スターリングの公式（n!の近似）・スターリング数

スターリングは何をした人？業績・生涯をわかりやすく｜スターリングの公式（n!の近似）・スターリング数

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スターリングJames Stirling

ひとことで言うと

n! の近似式「スターリングの公式」で知られる、スコットランドの数学者。晩年は鉱山経営者になった。

名前ジェームズ・スターリング（James Stirling）
生没年1692年5月〜1770年12月5日（78歳）
国イギリス（スコットランド）
分野解析学・無限級数・曲線論
主な業績ニュートンの3次曲線の研究（1717年）、『差分法』（1730年）、スターリングの公式、スターリング数
名前がつくものスターリングの公式（近似）、スターリング数、スターリングの補間公式
よばれ方ジャコバイト（王家の復権を支持する立場）の数学者。のち鉱山会社の管理者

このページのポイント

  • n! ≒ √(2πn)(n/e)ⁿ という近似式を示した。定数 √(2π) はウォリスの積で決められた
  • 1717年に、ニュートンの3次曲線の分類へ4つの型を付け加えた
  • スターリング数（グループ分けの数）や、正規分布の近似の道具になった

スターリングは何をした人？（業績をひとことで）

ジェームズ・スターリング（1692〜1770年）は、スコットランドの数学者です。名前はスターリングの公式で有名です。これは、n!n!（階乗の意味：1×2×⋯×n1\times2\times\cdots\times n）という、とても大きくなる数を、かんたんな式で近づける公式です。

n!≈2πn(ne)nn!\approx\sqrt{2\pi n}\left(\frac ne\right)^n

たとえば 10!=362880010!=3628800 のとき、公式の値は約 35986963598696 で、誤差は1％もありません。nn が大きいほど、この近似はぴったりになります。数学Ⅲの極限、確率・統計、大学の解析、物理（統計力学）、情報理論まで、広い範囲で顔を出す、とても使いやすい公式です。→ スターリングの公式の使い方と例題

スターリングは、このほかにも、ニュートンの3次曲線の研究、無限級数の和や補間の方法、スターリング数（グループ分けの数）など、重要な仕事を残しました。ところが、ジャコバイト（名誉革命で追放された王家を支持する人々）に味方したため、大学で出世できず、晩年は鉱山の経営者として働きました。数学者として、ちょっと変わった人生を送った人です。

スターリングの近似値 ÷ 本物の n!1（ぴったり）0.92210.96020.97330.97940.98350.98660.98870.9908横軸：n。n! ≒ √(2πn)·(n/e)ⁿnが大きいほど、ほぼ1に重なる
nが大きいほど、スターリングの公式の近似値は本物のn!に近づく
スターリングの本『差分法（Methodus Differentialis）』1764年版の扉
スターリングの主著『差分法』の1764年版の扉（スターリングの肖像画は確かな公開素材が見つからなかったため、本の扉を使っています）画像：James Stirling『Methodus differentialis』扉／Wikimedia Commons（パブリックドメイン）

このページでは、スターリングの生涯、スターリングの公式の意味と作り方、スターリング数、そして受験とのつながりを、図を見ながら順に説明します。

うかるくん

うかるくん

n! って、すぐ大きくなりすぎて、想像できません……。

合格先生

合格先生

そうだね。20! は約243京だ。ところが、スターリングの公式を使えば、電卓がなくても桁数や大きさの見当がつくんだ。大きな数を「だいたい」の形で扱うことが、この公式のねらいなんだよ。

スターリングの生涯と年表

スコットランドの名家に生まれる

スターリングは1692年5月（日付は確かな資料が見つかっていません）、スコットランド中部のスターリング近く、ガーデンの屋敷で生まれました。家はジャコバイトの流れをくむ名家でした。ジャコバイトとは、1688年の名誉革命で王の座を追われたジェームズ2世とその子孫を、正しい王とみなして支持した人々のことです。スターリングの一族は、この主張を強く支持していました。

オックスフォード大学で学ぶが、卒業できない

1711年1月、スターリングはオックスフォード大学のベリオル・カレッジに入りました。スコットランドの優秀な学生に与えられるスネル奨学金を受けています。奨学金の条件だった「ハノーファー家の王への忠誠の誓い」を断りましたが、はじめは特例で認められていました。ところが1715年にその特例が取り消され、奨学金をうしない、学位をとれませんでした。大学に残ってからも、スターリングはジャコバイトの考えを変えなかったとされます。

1717年：ニュートンの3次曲線を広げる

1717年、スターリングは『ニュートンの3次曲線（Lineae Tertii Ordinis Neutonianae）』という本を出しました。ニュートンが1704年に、3次の平面曲線（y2=x3+⋯y^2=x^3+\cdots のような曲線）を72種類に分類していましたが、スターリングは、そこに新しい4種類を付け加え、ニュートンが証明しなかった主張の説明もしました。この本で、スターリングの名前がヨーロッパに知られるようになりました。

ベネチア時代と、ガラスの秘密の伝説

1717年ごろ、スターリングはイタリアのベネチアへ渡りました。ベネチア大使との縁で、数学の教授の職が約束されていたようですが、実現しませんでした。ベネチアには少なくとも1719年まではいて、そこから王立協会に論文を送っています。伝説では、スターリングがベネチアのガラス工芸の秘密を知ってしまい、命をねらわれたため、あわててイギリスへ逃げ帰った、と伝えられます。ただ、この話が事実かどうかは、はっきりしません。

ロンドンで「差分法」の本を書く

1724年の終わりごろ、スターリングはロンドンに移り、コヴェント・ガーデンの学校で教えました。1726年11月3日には、イギリスの王立協会の会員に選ばれています。そして1730年、主著『差分法（Methodus Differentialis）』を出版しました。無限級数の和、補間（点と点のあいだの値を求める方法）、積分の近似などを扱った本で、ここにスターリングの公式が登場します。

鉱山の経営者として晩年をすごす

1735年、スターリングはスコットランドにもどり、リードヒルズのスコットランド鉱山会社の管理者になりました。給料は年120ポンドで、鉱山経営者としては、とても成功したと言われます。数学の研究は少なくなりましたが、手紙などでは数学者たちとの交流が続きました。1753年には、会費が払えなくなったことなどから、王立協会を辞めました。1770年12月5日、エディンバラで亡くなりました。78歳でした。

年できごと
1692年5月、スコットランドのガーデンで生まれる
1711年オックスフォード大学ベリオル・カレッジに入る
1715年忠誠の誓いを断った特例が取り消され、奨学金をうしなう
1717年『ニュートンの3次曲線』を出版。ベネチアへ渡る
1722年ニュートンが、スターリングの手紙をマクローリンに見せる（ロンドンで数学を教える計画が書かれていた）
1724年ロンドンに移り、学校で教える
1726年11月3日、王立協会の会員になる
1730年『差分法』を出版。スターリングの公式を示す
1735年スコットランド鉱山会社の管理者になる
1753年王立協会を辞める
1770年12月5日、エディンバラで亡くなる（78歳）

スターリングの主な業績をやさしく解説

業績1　スターリングの公式（n! の近似式）

n!n! は、nn が少し大きくなっただけで、見たこともないほど大きくなります。10!=362880010!=3628800、20!≈2.4×101820!\approx2.4\times10^{18}、100!100! は158桁の数です。この数を、近い値で手軽に求める式が、スターリングの公式です。

n!≈2πn(ne)n（対数では ln⁡n!≈nln⁡n−n+12ln⁡(2πn)）n!\approx\sqrt{2\pi n}\left(\frac ne\right)^n\qquad\text{（対数では}\ \ln n!\approx n\ln n-n+\tfrac12\ln(2\pi n)\text{）}

この式の意味を、面積で見てみましょう。ln⁡n!=ln⁡1+ln⁡2+⋯+ln⁡n\ln n!=\ln1+\ln2+\cdots+\ln n は、幅1・高さ ln⁡k\ln k の長方形の面積の和です。一方、y=ln⁡xy=\ln x のグラフの下の面積は ∫1nln⁡x dx=nln⁡n−n+1\int_1^n\ln x\,dx=n\ln n-n+1 です。この2つはほぼ等しいので、ln⁡n!≈nln⁡n−n\ln n!\approx n\ln n-n が出ます。これが公式の中心部分で、ここから「n!n! は (n/e)n(n/e)^n のようなもの」という見当がつきます。

ln n! を面積でとらえる16長方形の面積の和＝ln 2＋ln 3＋…＋ln 6＝ln 6!曲線の下の面積＝∫ln x dx＝n ln n − n ＋ 1この2つのずれを細かく調べたのが公式
長方形の面積の和が ln n!、曲線の下の面積が積分。この2つのずれを細かく調べたのがスターリングの公式

残る問題は、2πn\sqrt{2\pi n} の部分です。じつは、n\sqrt n をかける形になることは、スターリングより前にド・モアブルが見つけていました。ところが、かけ算の定数が何かは、ド・モアブルにも分かりませんでした。この定数が 2π\sqrt{2\pi} だと決めたのが、スターリングだとされます。そのとき使ったのが、ウォリスの円周率の無限積（ウォリスの積）でした。

なぜ √(2π) になるのか

n!≈Cn (n/e)nn!\approx C\sqrt n\,(n/e)^n とおきます。すると、(2nn)=(2n)!(n!)2\dbinom{2n}{n}=\dfrac{(2n)!}{(n!)^2} は、CC を使って 22n2Cn\dfrac{2^{2n}\sqrt2}{C\sqrt n} に近づきます。ところが、ウォリスの積からは (2nn)≈4nπn\dbinom{2n}{n}\approx\dfrac{4^n}{\sqrt{\pi n}} が分かります（ウォリス積分と同じ流れです）。2つを比べると 2C=1π\dfrac{\sqrt2}{C}=\dfrac1{\sqrt\pi}、つまり C=2πC=\sqrt{2\pi} です。円周率が、階乗の近似に現れる理由は、こうして説明できます。

精度は、次の表のとおりです。

  • n=5n=5：本物 120120、公式 118.02118.02（ずれ約1.7％）
  • n=10n=10：本物 36288003628800、公式 35986963598696（ずれ約0.8％）
  • n=20n=20：本物 約 2.4329×10182.4329\times10^{18}、公式 約 2.4228×10182.4228\times10^{18}（ずれ約0.4％）

nn が大きいほど、ずれの割合は小さくなります。実は、ずれの割合は約 112n\dfrac1{12n} で、n=10n=10 なら約0.83％です。このずれまで補正した式（スターリング級数）も、ln⁡n!\ln n! を細かく近づけるときに使われます。→ テイラー展開とテイラーの定理

業績2　ニュートンの3次曲線の研究

3次曲線は、xx と yy の3次式で表される曲線です。ニュートンは、すべての3次曲線を72種類に分類し、その分類を1704年に発表していました。しかし、証明は書かれておらず、主張の中には「本当にそうなのか」と疑われるものもありました。

3次曲線の例（結び目のある曲線）結び目y² ＝ x²(x＋1)ニュートンの分類72種類に、スターリングが4種類を追加
y²＝x²(x＋1) の曲線。原点で交わる結び目をもつ。3次曲線の一例

スターリングは1717年の本で、ニュートンの主張が正しいことを、1つ1つ説明しました。さらに、ニュートンが見落としていた4つの新しい型を付け加えました。このため、ニュートンの72種類に、スターリングの4種類がくわわり、合計76種類になったと説明されることがあります（のちにさらに2種類が見つかり、78種類とされることもあります）。この仕事で、スターリングは若くして一流の数学者と認められました。

業績3　『差分法』（無限級数・補間・積分の近似）

1730年の『差分法』は、「数の列の差」を使った、さまざまな計算法を解説した本です。たとえば、数列 1,4,9,16,251, 4, 9, 16, 25 の差をとると 3,5,7,93, 5, 7, 9、さらに差をとると 2,2,22, 2, 2 になります。このような差のくり返しを使うと、無限級数の和を速く計算したり、表の値のあいだを埋めたりできます（補間）。この本は、テイラーの『増分の方法』とともに、有限差分法の入門書として読まれました。

この本で、スターリングは、積分による不等式の評価のような考え方にもとづいて、階乗の対数の和を、面積で近づける方法を示しました。また、スターリングの公式のもとになる級数も、この本の中に出てきます。のちのオイラーやマクローリンが見つけた「和と積分をむすぶ公式」（オイラー・マクローリンの公式）と、同じ流れの研究です。

業績4　スターリング数（グループ分けの数）

『差分法』の中には、数を係数に持つ展開式が出てきます。その係数が、のちにスターリング数とよばれるようになりました。組み合わせの数学では、次の意味で使われます。

  • 第2種スターリング数 S(n,k)S(n,k)：nn 人を、空でない kk 個のグループに分ける方法の数。たとえば S(4,2)=7S(4,2)=7（図4）。
  • 第1種スターリング数：nn 人を kk 個の円卓にすわらせる方法の数（順列を、巡回するまとまりに分けた数）。
スターリング数（グループ分けの数）1n＝111n＝2131n＝31761n＝411525101n＝5赤：4人を2つのグループに分ける方法は7通り左から、グループが1つ・2つ・3つ…の場合
n人をk個のグループに分ける方法の数。4人を2グループに分ける方法は7通り

グループ分けの数は、中学受験の「場合の数」の発展として、高校の数学Aの「組合せ」、大学の組合せ論や情報科学で使われます。三角形の作り方は、パスカルの三角形に似ていて、S(n,k)=k S(n−1,k)+S(n−1,k−1)S(n,k)=k\,S(n-1,k)+S(n-1,k-1) という関係で、次の行を作れます。たとえば S(5,3)=3×S(4,3)+S(4,2)=3×6+7=25S(5,3)=3\times S(4,3)+S(4,2)=3\times6+7=25 です。

業績5　確率・統計への橋わたし

ド・モアブルは、コインを何度も投げたときの表の回数の分布が、釣り鐘の形（正規分布）に近づくことを発見しました（1733年）。このとき、組み合わせの数 (nk)\dbinom nk を、階乗の近似で処理する必要があります。スターリングの公式が、その計算を可能にしました。くわしくは中心極限定理（大数の法則とともに）で確かめられます。

二項分布は、山の形にそろう012345678910コイン10回で表が出る回数（横軸）と確率赤い曲線：正規分布（スターリングの公式から導ける）いちばん高いのは5回（約24.6%）
コイン10回の二項分布は、山の形の正規分布によく重なる

図5は、コインを10回投げて表が出る回数の確率です。nn がもっと大きくなると、曲線とのずれはさらに小さくなります。これが、二項分布を正規分布で近似できる理由で、世論調査や品質管理など、現代の統計の土台になっています。

スターリングの名前がつく公式・定理・用語

  • スターリングの公式（スターリングの近似）：n!≈2πn (n/e)nn!\approx\sqrt{2\pi n}\,(n/e)^n。→ スターリングの公式
  • スターリング数（第1種・第2種）：順列・グループ分けの数。
  • スターリングの補間公式：等間隔の点の値から、そのあいだの値を求める公式。
  • スターリング級数：ln⁡n!\ln n! の近似を、さらに細かくする級数。
  • 関連する公式・用語：→ 階乗の意味、二項定理、ガンマ関数・ベータ関数
「ここが大事！」と説明する合格先生

合格先生

n! ≒ √(2πn)(n/e)ⁿ。まず「n! は (n/e)ⁿ くらい」と見当をつけて、2πn\sqrt{2\pi n} は補正の係数、と覚えよう。

スターリングの逸話と名言

公式の「半分」はド・モアブル、「半分」はスターリング

スターリングの公式は、実は2人の共同の成果です。ド・モアブルは、ln⁡n!\ln n! を近づける級数を作りましたが、最後の定数を求められませんでした。スターリングがウォリスの積を使って、この定数が 2π\sqrt{2\pi} だと決めました。のちのド・モアブルは、この貢献を自分の本の中で認めていたとされます。そのため、この公式は「スターリングの公式」とよばれていますが、「ド・モアブル・スターリングの公式」とよぶ人もいます。

ベネチアのガラス職人に命をねらわれた？

ベネチアで数学の職を待っていたスターリングは、ガラスづくりの職人の秘密を知ったという話があります。ベネチアの職人たちは、その技術が外国に出るのを恐れて、スターリングの命をねらったので、逃げ帰ったと伝えられます。ただ、この話の根拠ははっきりしません。伝説として楽しむ話です。

ジャコバイトだった数学者

スターリングは、王家の復権を求めるジャコバイトの家に生まれ、その立場を変えませんでした。オックスフォードでは卒業できず、のちにマクローリンの死後（1746年）、エディンバラ大学の数学教授の候補になりましたが、ジャコバイトの立場のためにその職につくことができなかったとされます。実力があっても、政治的な立場が出世の邪魔になった例です。

マクローリンとの友情

スターリングは、同じスコットランド出身のマクローリンと、手紙で数学の議論を続けた友人でした。1722年には、ニュートンがスターリングからの手紙（ロンドンで数学を教える計画を書いたもの）をマクローリンに見せたことが知られています。1738年には、地球の形についての手紙も書いています。2人は、ニュートンの数学を、スコットランドで広めた世代でした。

鉱山の仕事と、数学者の第二の人生

スターリングは、後半生を、鉱山会社の経営者としてすごしました。その仕事ぶりは優秀で、会社の成績もよくなったと言われます。大学の職を得られなかった数学者が、別の分野で才能を発揮した、おもしろい例です。

名言について

スターリングの名言として広く知られた言葉は、確かな出典つきでは確かめられませんでした。そのため、作られた名言を載せないことにしました。そのかわり、スターリングが残した式、n!≈2πn(n/e)nn!\approx\sqrt{2\pi n}(n/e)^n が、いちばん雄弁な「言葉」だと言えるでしょう。この短い式の中に、円周率 π\pi、ネイピア数 ee、階乗 n!n! という、数学を代表する3つの数が登場します。→ 理系時計の数式の意味（階乗・2進数・黄金比）

サクラちゃん

サクラちゃん

どうして n! の近似に、円周率 π が出てくるんですか？

合格先生

合格先生

n! を面積に直して、釣り鐘型の曲線（正規分布）の面積を使うと、π が出てくるんだ。ウォリスの積から出るのと同じで、円とは関係ないところに π が現れるのが、数学のふしぎでおもしろいところだね。

受験・勉強とスターリングのつながり

大学受験：数学Ⅲの「階乗の極限」

入試で「スターリングの公式」そのものを覚える必要はありません。ただ、その考え方を使う問題は、難関大の数学Ⅲで定番です。

log⁡10n!≈nlog⁡10ne+12log⁡10(2πn)\log_{10}n!\approx n\log_{10}\dfrac ne+\dfrac12\log_{10}(2\pi n) に当てはめると、100!100! は 10157.9710^{157.97} 程度、つまり158桁だと分かります。

大学入試・大学院入試：確率・統計

大学の統計や確率の授業では、二項分布から正規分布へ近づく証明（ド・モアブル・ラプラスの定理）に、スターリングの公式が使われます。また、ガンマ関数の漸近展開、エントロピーの計算（シャノンの情報理論）にも出てきます。

中学受験・高校受験：場合の数と階乗

中学受験の「場合の数」の入口である「並べ方」は、n!n! そのものです。「5人を1列に並べる」は 5!=1205!=120 通り。その先に、「グループ分け」（スターリング数）があることも、おもしろい知識です。高校では、数学Aの順列・組合せで 階乗の意味の計算に習熟しましょう。

勉強法として：「正確な値」と「おおよその値」を使い分ける

スターリングの公式は、「完全に正確ではないが、とても役に立つ」近似です。受験でも、まず見当をつけて、あとから正確に計算する、という進め方が役立ちます。勉強の進め方は数学の勉強法（解法の暗記→演習→過去問）で、難関大の出題は京大理系数学の出題分析で確かめてください。

スターリングがその後の数学にあたえた影響

  • 確率論・統計学：スターリングの公式は、ド・モアブルの正規近似、そのあとのラプラスの確率論、中心極限定理の証明に必要な道具でした。
  • 解析学：オイラー・マクローリンの公式、漸近展開の理論につながる、「和と積分のあいだ」の研究の先がけでした。
  • 物理学（統計力学）：NN が 102310^{23} のような巨大な数のときの組み合わせの数を、スターリングの公式で扱い、エントロピーの式が導かれます。
  • 情報理論：シャノンの情報エントロピーの計算で、スターリングの公式が登場します。
  • 組み合わせ論：スターリング数は、グループ分けや順列の研究で、現代でも重要な道具です。
  • コンピュータ科学：アルゴリズムの計算量（たとえば、並べ替えの限界 log⁡n!≈nlog⁡n\log n!\approx n\log n）の見積もりに使われます。

数学の公式は算数・数学の公式一覧（公式辞典）、用語は数学用語辞典（用語の意味を1語1ページ）の一覧もどうぞ。

スターリングに挑戦！練習問題

やさしい

  1. スターリングの公式 n!≈2πn(n/e)nn!\approx\sqrt{2\pi n}(n/e)^n を使って、5!5! の近似値を小数第1位まで求めなさい。（π=3.14159\pi=3.14159、e=2.71828e=2.71828 とする。本物は 120）
    答えと解説を見る10π≈5.605\sqrt{10\pi}\approx5.605、(5/e)5=1.83945≈21.06(5/e)^5=1.8394^5\approx21.06。かけて 約118.0。本物の120とのずれは約1.7％。
  2. 4人を、空でない2つのグループに分ける方法は何通りですか。（第2種スターリング数 S(4,2)S(4,2)）
    答えと解説を見る1人だけのグループと3人のグループ：4通り（1人になる人を選ぶ）。2人ずつ：4人をA、B、C、Dとすると {AB|CD}、{AC|BD}、{AD|BC} の3通り。合計 4＋3＝7通り。

ふつう

  1. (2nn)≈4nπn\dbinom{2n}{n}\approx\dfrac{4^n}{\sqrt{\pi n}} を使って、(2010)\dbinom{20}{10} の近似値を求めなさい。（10π≈5.605\sqrt{10\pi}\approx5.605）
    答えと解説を見るn=10n=10：41010π=10485765.605≈\dfrac{4^{10}}{\sqrt{10\pi}}=\dfrac{1048576}{5.605}\approx 約187000。本物は184756で、ずれは約1.3％。
  2. log⁡10n!≈nlog⁡10ne+12log⁡10(2πn)\log_{10}n!\approx n\log_{10}\dfrac ne+\dfrac12\log_{10}(2\pi n) を使って、100!100! の桁数を求めなさい。（log⁡10e=0.4343\log_{10}e=0.4343、log⁡102π=0.7982\log_{10}2\pi=0.7982）
    答えと解説を見る100log⁡10100e=100(2−0.4343)=156.57100\log_{10}\dfrac{100}e=100(2-0.4343)=156.57。12log⁡10(200π)=12(0.7982+2)=1.399\dfrac12\log_{10}(200\pi)=\dfrac12(0.7982+2)=1.399。合計 157.97157.97。10157.9710^{157.97} は 9.3×101579.3\times10^{157} で、158桁。

むずかしい

  1. lim⁡n→∞1nn!n\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1n\sqrt[n]{n!} を求めなさい。
    答えと解説を見る対数をとると ln⁡(1nn!n)=1n∑k=1nln⁡kn→∫01ln⁡x dx=[xln⁡x−x]01=−1\ln\left(\dfrac1n\sqrt[n]{n!}\right)=\dfrac1n\sum_{k=1}^n\ln\dfrac kn\to\int_0^1\ln x\,dx=[x\ln x-x]_0^1=-1。よって極限は e−1=1ee^{-1}=\dfrac1e。
  2. すべての自然数 nn について n!>(ne)nn!>\left(\dfrac ne\right)^n が成り立つことを、exe^x のマクローリン展開を使って示しなさい。
    答えと解説を見るen=∑k=0∞nkk!e^n=\sum_{k=0}^\infty\dfrac{n^k}{k!} はすべての項が正なので、1つの項 nnn!\dfrac{n^n}{n!} より大きい。en>nnn!e^n>\dfrac{n^n}{n!} より、n!>nnen=n!>\dfrac{n^n}{e^n}= (ne)n\left(\dfrac ne\right)^n。

スターリングと関係する数学者

18世紀の数学者

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有名な数学者一覧（年代順・国別・分野別）で、ほかの数学者も見られます。数学者たちが挑んだ問題は数学の難問・未解決問題の一覧にまとめています。

読みもの（合格大作戦の数学の記事）

よくある質問

スターリングは何をした人ですか？

ジェームズ・スターリングは、18世紀のスコットランドの数学者です。n! の近似式であるスターリングの公式で有名で、ニュートンの3次曲線の研究、差分法、無限級数の和などの仕事もしました。晩年は鉱山会社の管理者として働きました。

スターリングの公式とは何ですか？

n が大きいとき、n! を √(2πn)(n/e)ⁿ で近似できるという公式です。たとえば 10! は 3628800 ですが、公式の値は約 3598696 で、ずれは1％以内です。確率・統計や物理でよく使われます。

スターリングの公式はスターリングが一人で見つけたのですか？

いいえ。ド・モアブルが、n! の対数を近づける級数を作り、√n をかける形まで見つけていました。かけ算の定数が √(2π) だと決めたのが、ウォリスの積を使ったスターリングだとされます。両者の共同の成果とみる人もいます。

スターリング数とは何ですか？

第2種スターリング数 S(n,k) は、n 人を空でない k 個のグループに分ける方法の数です。S(4,2)＝7 のように、三角形の形に並べられます。第1種は、n 個を k 個の円卓にすわらせる方法の数です。

スターリングの公式は受験に出ますか？

公式そのものは出ませんが、n! の対数を積分ではさむ考え方や、(n!)^(1/n)/n の極限が 1/e になる問題が、難関大の数学Ⅲで出ます。100! の桁数を常用対数で見積もる問題にも、同じ考え方が使えます。

スターリングはどこの国の人ですか？何歳で亡くなりましたか？

スコットランドの人で、1692年にスターリング近くのガーデンで生まれ、1770年12月5日にエディンバラで亡くなりました。78歳でした。

スターリングとニュートンはどんな関係ですか？

スターリングは1717年の本で、ニュートンが分類した72種類の3次曲線に、4つの新しい型を付け加え、ニュートンの主張を説明しました。ニュートンは、スターリングの手紙をマクローリンに見せたことがあり、その才能を評価していたとされます。

スターリングの公式とウォリスの積はどう関係しますか？

スターリングの公式の定数 √(2π) は、ウォリスの積（円周率の無限積）を使って決められました。n! を C√n(n/e)ⁿ とおいて、(2n)!/(n!)² を計算し、ウォリスの積から出る式と比べると C＝√(2π) になります。

スターリングの公式は何に使われますか？

二項分布を正規分布で近似する中心極限定理の証明、物理のエントロピーの計算、情報理論、アルゴリズムの計算量の見積もり、とても大きな数の桁数の見積もりなど、広い分野で使われています。

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出典・参考

  • J. J. O’Connor, E. F. Robertson, “James Stirling”, MacTutor History of Mathematics Archive（St Andrews 大学）
  • J. Stirling, “Lineae tertii ordinis Neutonianae”（1717年）、“Methodus differentialis”（1730年）
  • 扉の画像：J. Stirling「Methodus differentialis」（1764年版）、Wikimedia Commons（パブリックドメイン）

最終更新：2026年11月2日／作成：大学受験合格大作戦