久留島義太は何をした人？業績・生涯・逸話をわかりやすく｜和算・行列式・立方陣・ペル方程式

久留島義太は何をした人？（業績をひとことで）

久留島義太（くるしま よしひろ、1690年ごろ〜1758年）は、江戸時代中ごろの和算家（日本独自に発展した数学「和算」の学者）です。通称は喜内（きない）で、「久留島喜内」の名でも知られます。行列式の展開、立方陣（魔方陣を立体にしたもの）、整数の問題（ペル方程式・オイラー関数にあたる考え）、円周や円弧の長さの級数など、のちの西洋数学に通じる内容を研究した、と伝えられます。

ただし久留島義太は、自分では本をほとんど書かなかった人です。業績の多くは、弟子の山路主住（やまじ ぬしずみ）や親友の松永良弼（まつなが よしすけ）が書きとめた原稿から分かります。しかも酒が大好きで、地位や名誉にはまるで無頓着だったと伝えられます。「天才なのに本を残さなかった数学者」という、とてもめずらしい人物です。

大学受験では、久留島義太の名前は出ません。けれど、行列式の計算と性質（余因子展開）、オイラー関数とオイラーの定理、虫食算・覆面算の解き方など、久留島義太が考えたことと重なる内容は、中学受験から大学受験まで広く出ます。江戸時代の日本に、こんな数学者がいたのです。

久留島義太の生涯と年表

生まれは備中国：浪人の子として

久留島義太は、備中国（今の岡山県）に生まれたとされます。もとの姓は村上、通称は喜内、号は沾数（せんすう、扇数とも書く）です。父の村上義寄は、備中松山藩の水谷家につかえた武士でしたが、水谷家が取りつぶされて、父子ともに浪人（主君を失った武士）になりました。このとき、姓を久留島に改めたと伝えられます。

生まれた年は、はっきり分かっていません。「1690年ごろ」とされることが多く、没年から逆算した推定です。資料によっては、もっと早い年をあげるものもあります。

江戸で『塵劫記』を手に入れて独学

久留島義太には決まった師がなく、独学で和算を身につけたといわれます。江戸に出たとき、露店で『塵劫記』（じんこうき、江戸時代の大ベストセラーの算術書）を手に入れ、それをもとに算法を教えはじめた、と伝えられます。

中根元圭との対決と後援

当時、江戸には中根元圭（なかね げんけい）という、関孝和の流れをくむ有名な数学者・暦学者がいました。久留島義太は、中根元圭と数学の問題で勝負をしたとされます（いわゆる「道場破り」のようなものと伝えられます）。中根元圭は、その並はずれた才能を認めて、後援者になりました。これをきっかけに、久留島義太は関孝和に始まる関流の和算をきわめていきます。

磐城平藩につかえる：1730年

1730年（享保15年）、久留島義太は陸奥国磐城平藩（今の福島県いわき市）の藩主、内藤政樹（ないとう まさき）に召しかかえられました。それから3年後、久留島義太は、親友の松永良弼を藩主に推薦しています。松永良弼は、のちに「関流の大家」とよばれる和算家で、2人は同じ藩の同僚になりました。

1747年（延享4年）、内藤家が日向国延岡（今の宮崎県延岡市）に国替え（移封）になり、久留島義太も延岡へ赴任して、約6年間を過ごしたとされます。

晩年：弟子の山路主住と、亡くなった日

江戸にもどった久留島義太は、弟子の山路主住らを指導しました。親友の松永良弼が亡くなると、研究の刺激を失ったのか、その後の新しい業績は確認されていない、といわれます。

亡くなったのは、宝暦7年11月29日です。和暦と西暦は年のはじまりがずれるため、この日は西暦では1758年1月8日にあたります（「宝暦7年＝1757年」と書かれた資料と、「1758年」と書かれた資料があるのは、このためです）。68歳ごろだったとされます。

久留島義太の主な業績をやさしく解説

久留島義太の名前がつく公式・定理・用語

現代の教科書に「久留島の○○」という公式はありません。けれど、和算の世界には、久留島義太の名がついた用語や書物があります。

• 久氏弧背術（きゅうし こはいじゅつ）：円弧の長さを級数で求める方法。「久氏」は久留島氏のこと。弟子がまとめた書物の名でもあります。
• 久氏三百解（きゅうし さんびゃくかい）：久留島義太の解いた問題をまとめた書物の名とされます。
• 久氏遺稿：久留島義太の遺した原稿をまとめた書物の名とされます。
• 算梯（さんてい）：虫食算の最初の紹介者とされる書物。
• 立方陣：魔方陣の3次元版。久留島義太が、4本の立体対角線も合う立方陣をはじめて作ったとされます。
• ペル方程式（$x^2-Ny^2=\pm1$）：久留島義太が解き方を研究したとされる方程式。（→ 1次不定方程式（整数解））
• オイラーのφ関数：$n$ と互いに素な数の個数。（→ オイラー関数とオイラーの定理）
• 行列式の展開：現代のラプラス展開（余因子展開）にあたる考え方。（→ 行列式の計算と性質）

久留島義太の逸話と名言

収入の多くを酒に使った

久留島義太は、酒が大好きだったと伝えられます。収入のほとんどを酒に使い、生活はとても質素だったといわれます。身なりにも、お金にも、あまりこだわらなかったようです。

藩主に教えるときも、酒がなければ教えない？

弟子の山路主住の話として、藩主の内藤政樹に数学を教えるときでさえ、酒を飲まなければ教えなかったという逸話が伝えられます。真偽は確かめられませんが、久留島義太の豪放さを語る話として、よく知られています。

仕官の約束に寝坊した？

別の逸話では、大名に召しかかえられる約束の日に寝坊して遅れてしまい、話がなくなったとされます。ただし、この話にも、確かな資料があるわけではありません。「天才なのに、どこか抜けていた人」という久留島義太の人物像が、後世の人に愛されていたことがうかがえます。

延岡の研究ノートは、つづらの内張りに

もっと有名なのは、次の話です。延岡にいた約6年のあいだに書きためた研究の紙は、江戸にもどるとき、荷物を入れる「葛籠」（つづら）の内側に張る紙として使ってしまい、1枚も残っていないと、久留島義太自身が語ったとされます。もし本当なら、私たちはものすごい量の発見を失ったことになります。やはり「伝えられます」の域を出ない話ですが、久留島義太が自分の成果を残すことにほとんど関心がなかった人物だったことを、よく表しています。

酒を飲まなければ教えない（と伝えられる態度）

親友の死のあと、新しい業績が出なくなった

親友の松永良弼が亡くなってからは、久留島義太の新しい業績が確認されていない、とされます。同じ関流の仲間として、お互いの発見を見せ合い、刺激しあっていたのかもしれません。ひとりでは続かなかった天才という見方もあります。

受験・勉強と久留島義太のつながり

中学受験：魔方陣・方陣算・虫食算

中学受験の算数では、魔方陣、方陣算、虫食算（覆面算）がよく出ます。どれも久留島義太が親しんだ分野です。方陣算の解き方、虫食算・覆面算の解き方を練習すると、数の仕組みを考える力が育ちます。3×3の魔方陣は、「真ん中は5」と覚えておくと速く作れます。

高校受験：規則性と文字式

図の「立方陣」のような規則的な並びは、高校受験の「規則性」の問題の土台です。規則性と文字式（n番目の図形）では、小さい数で試して一般の式を作ります。久留島義太が数を並べて法則を見つけていく姿に重なります。

大学受験：行列式・整数問題・極値

• 行列式：行列式の計算と性質（余因子展開）は、線形代数で必ず習います。1行目（または1列目）で展開する方法を使いこなすと、4×4の行列式も計算できます。
• 整数問題：$x^2-2y^2=1$のようなペル方程式は、大学入試の整数問題で出ることがあります。1次不定方程式（整数解）や合同式（mod の計算）を使います。
• オイラー関数：$\varphi(n)$は、整数問題やRSA暗号の入門で登場します。オイラー関数とオイラーの定理で、素因数分解を使って個数を数える方法を練習できます。
• 極値の問題：関数の最大・最小を求める数学IIIの微分は、久留島義太も考えた分野です。微分と増減・極値も参考になります。

勉強法として：「自分で見つけたことを、書き残す」

久留島義太の話は、「発見したことを書きとめる大切さ」を教えてくれます。勉強では、まちがえた問題と、そこで気づいたことをノートに残しておくと、あとで必ず役に立ちます。勉強の進め方は数学の勉強法（解法の暗記→演習→過去問）、暗算のくふうはインド式かけ算のやり方一覧も参考にしてください。

久留島義太がその後の数学にあたえた影響

• 弟子の山路主住を通して、和算の中心へ：山路主住は、久留島義太らに学び、関流の宗統（本家すじ）を受けついだ人です。山路主住の弟子には、安島直円（円理を進めた弟子）がいて、久留島義太の流れは、孫弟子にあたる世代へとつながっていきました。
• 松永良弼の著書に引用された：久留島義太の業績の多くは、親友の松永良弼の著書『方円算経』などに引用されて、のちの世に伝わりました。
• 世界の数学史の中での位置づけ：行列式の展開、立方陣、ペル方程式の解法、級数展開など、西洋とは別の道で、似た発見に近づいていた数学者として、日本の数学史では高く評価されています。
• 娯楽と学問をつないだ：虫食算や詰将棋は、「数学は遊べる」ことを示す例でした。この伝統は、江戸時代の算額や、現代の数学パズルにつながっています。

久留島義太は、弟子と友人が残してくれたから、名前が残った人です。そのこと自体が、数学の発見は「ひとりの天才」だけでなく、仲間とのつながりによって受けつがれていく、ということを教えてくれます。関孝和の業績と生涯から始まった関流は、久留島義太、そして建部賢弘の業績と生涯のような人々の手で、育てられていきました。

同じ18世紀のヨーロッパでは、オイラー（数の性質と記号の天才）が数論や級数で次々に発見をしていました。遠く離れた2つの国で、似た問いが同じ時代に考えられていたのです。数学は、どこの国でも「きまりを見つけたい」という人間の気持ちから生まれることを、久留島義太の仕事は教えてくれます。

久留島義太に挑戦！練習問題

久留島義太と関係する数学者

• 関孝和（関流の祖・行列式の考え方）：久留島義太は、関孝和の行列式の展開のまちがいを正したとされます。
• 建部賢弘（円周率の級数・円理の弟子）：円弧や級数の研究で、久留島義太の先をいく仕事をした和算家です。
• 安島直円（山路主住の弟子）：久留島義太の弟子・山路主住に学んだ、円理の大家です。
• 和田寧（円理表の完成者）：江戸後期に、円理の計算を表にまとめた和算家です。
• オイラー（φ関数・級数の天才）：西洋で、同じ時代にφ関数や級数を研究しました。
• フェルマー（ペル方程式の問題を出した）：久留島義太が研究した方程式の問題を、17世紀に出した数学者です。
• ラプラス（ラプラス展開）：行列式の展開法の名の由来になった、フランスの数学者です。

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18世紀の数学者

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