規則性と文字式｜n番目の図形を n の式で表す方法（a＋d(n－1) の理由）・マッチ棒・ご石の例題【中学1年・高校受験】

うかるくん

4、7、10…の n番目って、$4+3n$ じゃだめなの？

合格先生

1番目から n番目までの間は $n-1$ か所だ。ふえるのは $n-1$ 回だから、$4+3(n-1)=3n+1$ になるぞ。

n番目を文字式で表す公式

図形や数が決まった数ずつふえていくとき、n番目の個数は文字式で表せます。

なぜ a＋d(n－1) になるのか（証明）

1番目から2番目で $d$ ふえ、2番目から3番目でまた $d$ ふえ…と進みます。1番目から n番目までの「間」は $n-1$ か所（植木算と同じ考え）なので、$d$ が $n-1$ 回ふえます。だから n番目は $a+d(n-1)$ です。

図で式を作る方法もあります。マッチ棒の正方形を n個つなぐとき、左はしの1本を別にすると、残りは正方形1個ごとに「コ」の字の3本です。だから $1+3n$ 本。数の表から $a+d(n-1)=4+3(n-1)=3n+1$ としても同じ式になります。

ご石を1辺 n個の正方形に並べたときの外側の個数は、角のご石を2回数えないように「$n-1$ 個の組が4つ」と分けて $4(n-1)=4n-4$ 個です。内側は1辺 $n-2$ 個の正方形なので $(n-2)^2$ 個。たしかめると、$4n-4+(n-2)^2=n^2$ で、全体 $n^2$ 個と合います。

高校受験（中学1年〜）での使い方

文字を使った式は中学1年で学びます。高校入試では「n番目の図形の〇〇の数を n を使って表しなさい」「〇〇が100本になるのは何番目か」のように、式を作る→方程式で番目を求める流れがよく出ます。

よくある間違い

合格先生

正方形に並べたご石の外側を $4n$ 個にしてはだめだ。4つの角を2回数えている。$4n-4$ 個だぞ。

• n番目を $a+dn$ とする：1番目から n番目までにふえるのは $n-1$ 回。4、7、10、… の n番目は $4+3n$ ではなく $4+3(n-1)=3n+1$。
• 外側のご石を $4n$ 個とする：4つの角を2回ずつ数えている。$4n-4$ 個。
• 式を作ったあと、1番目・2番目でたしかめない：$n=1,\ 2$ を入れて、図の数と合うか必ずたしかめる。

練習問題

サクラちゃん

式ができたら、n＝1 と n＝2 でためそう！

1. 高校受験 マッチ棒で正三角形を横に1個、2個、3個、…とつなげると、3本、5本、7本、…となります。n番目の本数と、15番目の本数は？
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   はじめの1本＋三角形1個ごとに2本で $2n+1$ 本。15番目は $2\times15+1=31$。答え $2n+1$ 本、$31$ 本
2. 高校受験 5、9、13、17、… と並ぶ数の50番目は？
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   $a=5$、$d=4$ で $5+4(n-1)=4n+1$。$4\times50+1=201$。答え $201$
3. 高校受験 n番目の図形は、1辺 n枚の正方形にタイルを並べたもの（$n^2$ 枚）です。(n＋1)番目の図形は n番目より何枚多い？
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   $(n+1)^2-n^2=n^2+2n+1-n^2=2n+1$。答え $2n+1$ 枚（図では、右の列と上の行と角の1枚がふえる）

関連する公式

• 植木算（間の数は $n-1$）
• 三角数・四角数
• 等差数列の和の公式
• 数表の規則性
• 一次方程式（何番目かを求める）
• 階差数列

よくある質問

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• 合格大作戦 算数・数学公式辞典（公式一覧）