数表の規則性の解き方と公式｜何段目の何番目・三角形型・かぎ形の表の考え方と例題【中学受験】

うかるくん

100は何段目の何番目？って、表を100まで書かないと分からないよ。

合格先生

書かなくていい。各段の最後の数を見るんだ。三角形に並べたら、最後の数は n×(n＋1)÷2 の三角数だぞ。

数表の規則性の解き方

数をある決まりで表に並べ、「□は何段目（何行目）の何番目？」「○段目の△番目の数は？」と聞く問題が数表の規則性です。コツは、各段の最後の数を目じるしにすることです。

なぜ「各段の最後の数」で分かるのか

横に k 個ずつ並べる型

1行に7個ずつなので、14行目までに並ぶ数は $7\times14=98$ 個、14行目の最後は98です。100 は 98 の次の次なので、15行目の2番目。これは $100\div7=14$ 余り 2 の「商14行がうまって、余り2個が次の行に出る」ということです。割り切れるとき（たとえば 98）は、余りの行がないので14行目の最後になります。

三角形に並べる型

1段目に1個、2段目に2個、…と並ぶので、$n$ 段目までに並ぶ数の個数は $1+2+\cdots+n$ 個です。1から順に並べているので、個数がそのまま最後の数になります。$1+2+\cdots+n$ は、同じ階段を逆さにくっつけると たて $n$、よこ $n+1$ の長方形になるので、その半分の $n\times(n+1)\div2$（三角数）です。

かぎ形に並べる型

1 のまわりに、かぎ（L字）の形で 3個、5個、7個、…と足していくと、1行1列、2行2列、3行3列、…の正方形がうまっていきます。$n$ 行 $n$ 列の正方形には $n\times n$ 個の数が入るので、その正方形の最後の数は $n\times n$（平方数）です。並べる向きが1つごとに逆になるので、最後の数は奇数のときは1行目、偶数のときは1列目の角にきます。

中学受験（算数）での使い方

よくある間違い

合格先生

98÷7は14余り0。割り切れたら15行目ではなく、14行目の最後だぞ。

• 割り切れるときに1行多くする：98 を7で割ると14余り0。98 は15行目ではなく14行目の最後。
• 三角形型で「段の数」と「数の個数」を混ぜる：14段目にあるのは14個。最初の数は「前の段の最後＋1」。
• かぎ形で進む向きをまちがえる：奇数番目のかぎは左下から右へ、そこから上へ。偶数番目は右上から下へ、そこから左へ。

練習問題

サクラちゃん

まず各段の最後の数を書き出してみよう！

1. 中学受験 1から順に整数を横に6個ずつ並べます（1行目は1〜6）。80 は何行目の何番目ですか。
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   $80\div6=13$ 余り 2。13行目の最後が78なので、80 は14行目の2番目。答え 14行目の2番目
2. 中学受験 1段目に1、2段目に2, 3、3段目に4, 5, 6、…と並べるとき、20段目の最初の数は何ですか。
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   19段目の最後は $19\times20\div2=190$。20段目の最初はその次で 191。答え 191
3. 中学受験 上の図のかぎ形の表で、4行目の6列目の数は何ですか。
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   6は偶数なので、6つ目のかぎは1行目の6列目から下へ進む。1行目の6列目は $5\times5+1=26$ で、下へ 27, 28, 29。答え 29

関連する公式

• 三角数・四角数（各段の最後の数）
• 群数列（何群目の何番目）
• 周期算（割り算の余りで何番目）
• 等差数列の和（段に並ぶ数の和）
• 日暦算（曜日の計算）
• 余りの問題

よくある質問

あわせて読みたい

• 合格大作戦 算数・数学公式辞典（公式一覧）