植木算の公式と解き方｜両はし・片はし・池のまわりで「＋1・−1・そのまま」になる理由と例題【中学受験】

うかるくん

木の本数は、間の数に＋1？−1？どっちなの？

合格先生

木と間を1つずつペアにして、何が余るかを見るんだ。両はしに植えれば木が1本余るから＋1だ。

植木算とは

植木算は、道に木を等しい間かくで植えるときの「木の本数」と「間の数」の関係を使う考え方です。木を植える問題だけでなく、電柱・旗・はしご・切った紙の枚数など、いろいろな場面で使います。

なぜ「＋1」「−1」「そのまま」になるのか

木と間を、1つずつペアにすると分かります。

• 両はしに植える：左から「木・間」「木・間」…とペアにしていくと、最後に右はしの木が1本だけ余ります。だから木＝間＋1。
• 両はしに植えない：「間・木」「間・木」…とペアにすると、最後に右はしの間が1つ余ります。だから木＝間−1。
• 円のまわり：「木・間」とペアにしていくと、1周してちょうど最初の木にもどるので、余りが出ません。だから木＝間。

「余りが出るかどうか」を考えれば、公式を覚えていなくても毎回自分で作れます。

等差数列との関係

等差数列の項数の公式「項数＝（末項−初項）÷公差＋1」は、植木算の「両はしに植える」と同じです。たとえば $3,\ 7,\ 11,\ \dots,\ 99$ は、$3$ から $99$ まで長さ $96$ の道に、間かく $4$ で、両はしにも数が並んでいるので $96\div4+1=25$ 個です。（等差数列の和の公式）

中学受験（算数）での使い方

よくある間違い

合格先生

階段の問題に気をつけよう。4階までは4つではなく、3つ上ることになるぞ。

• 長さ÷間かくをそのまま本数にする：それは「間の数」。両はしに植えるなら＋1。
• 階段の問題：4階までは「4つ」上るのではなく「3つ」上る。
• 円と直線の取りちがえ：閉じた形（池・円・正方形のまわり）は＋1も−1もしない。

練習問題

合格先生

閉じた形は＋1も−1もしない、これでいこう。

1. 中学受験 長さ 90 m の道の両側に、はしからはしまで 10 m おきに木を植えます。木は全部で何本ですか。
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   片側は $90\div10+1=10$ 本、両側で $20$ 本。答え $20$ 本
2. 中学受験 1本の丸太を 6 つに切り分けるのに 15 分かかります。同じように 10 本に切り分けるには何分かかりますか。
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   6つに切るのは5回で、1回3分。10本に切るのは9回で $27$ 分。答え $27$ 分
3. 中学受験 正方形の土地のまわりに、4 m おきにくいを打ったら、ちょうど 32 本使いました。1辺の長さは何 m ですか。
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   まわりは閉じた形なので間も32、まわりの長さは $4\times32=128$ m。1辺は $128\div4=32$。答え $32$ m

関連する公式

• 等差数列の和の公式（項数の求め方が植木算）
• つるかめ算
• 速さ・時間・道のり（通過算も植木算の考え方）
• 通過算
• 日暦算
• 方陣算

よくある質問

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• 合格大作戦 算数・数学公式辞典（公式一覧）