フェルマーは何をした人？業績・生涯・名言をわかりやすく｜最終定理・小定理・確率論

フェルマーは何をした人？（業績をひとことで）

ピエール・ド・フェルマー（1607年ごろ〜1665年）は、フランスの数学者です。本職は裁判所の役人・法律家で、数学は趣味として研究した「アマチュア数学者」でした。それでも、整数論（数論）を近代の学問として切りひらき、確率論の誕生に関わり、微分積分の先がけになる方法を考え、光の進み方を表すフェルマーの原理まで見つけた、17世紀を代表する数学者のひとりです。

いちばん有名なのは、「フェルマーの最終定理」です。「$n$ が3以上のとき、$x^n+y^n=z^n$ を満たす自然数 $x,y,z$ はない」という予想を、フェルマーは本の余白に書き残しました。これを本当に証明できた人は、フェルマーの死後約350年も現れず、1995年にイギリスのワイルズがようやく証明しました。この話はフェルマーの最終定理とは？わかりやすく解説や、中学生向けのフェルマーの最終定理を中学生向けに図解でくわしく読めます。

受験生にとってのフェルマーは、まず「フェルマーの小定理」です。素数 $p$ と、$p$ の倍数でない整数 $a$ について $a^{p-1}$ を $p$ で割った余りが1になる、という定理で、フェルマーの小定理の証明と余りの問題は大学入試の整数問題で、大きな累乗の余りを求めるときの強力な道具です。合同式（mod）の計算と組み合わせて使います。

うかるくん

「小定理」と「最終定理」って、別のものなんですね！

合格先生

そう、名前は似ているけれど別の定理だよ。小定理は入試で使う、余りの計算の道具。最終定理は、人類が358年かけて解いた、世界一有名な数学の問題。どちらも書いたのはフェルマー本人なんだ。

合格先生

フェルマーは「証明を書かない人」だったんだ。定理だけを手紙に書いて、証明は伏せたことが多い。だから後の数学者が、証明を一つ一つ考えることになったよ。

フェルマーの生涯と年表

南フランスの商人の家に生まれる

フェルマーは、南フランスのボーモン＝ド＝ロマーニュという町で生まれました。父は皮革を扱う裕福な商人で、町の有力者でもありました。生まれた年は、1601年とする説と、1607年ごろとする説があり、はっきりしません。長く1601年とされてきましたが、近年の研究で1607〜1608年ごろの可能性が高いと考えられるようになりました（このページと一覧では1607年ごろとしています）。

法律家として働きながら数学を研究

フェルマーはトゥールーズやオルレアンで法律を学び、1631年にトゥールーズの高等法院（地方の最高裁判所）の評定官になりました。仕事は忙しく、数学のための時間は、仕事の合間にしかとれなかったと考えられます。ラテン語・ギリシャ語・イタリア語・スペイン語に通じ、詩も書く教養人でもありました。

手紙で数学を語り合った

フェルマーはパリから遠く離れた町にいたため、論文を出版することはほとんどなく、手紙で数学の仲間と考えを交わしました。パリの修道士メルセンヌは、ヨーロッパ中の学者の手紙をとりもつ人で、フェルマーの手紙もこの人を通じて広まりました。デカルトやパスカル、ホイヘンスらとも間接的に議論しています。

亡くなったあとに出版された

1665年1月12日、フェルマーは巡回裁判の途中、カストルの町で亡くなりました。数学の成果は生前ほとんど出版されておらず、長男サミュエルが、父が愛読していた古代ギリシャのディオファントス『算術』の書きこみを集めて1670年に出版しました。この本の余白に書かれた小さなメモが、のちの「フェルマーの最終定理」です。

フェルマーの主な業績をやさしく解説

フェルマーの名前がつく公式・定理・用語

• フェルマーの小定理：$a^{p-1}\equiv1\pmod p$。→ フェルマーの小定理の証明と使い方
• フェルマーの最終定理：$n\ge3$ のとき $x^n+y^n=z^n$ に自然数の解はない。→ フェルマーの最終定理とは？わかりやすく解説
• フェルマー数：$F_n=2^{2^n}+1$。$F_0$ から $F_4$ は素数。
• フェルマーの二平方和の定理：4で割って1余る素数は、2つの平方数の和で表せる。
• フェルマー点（トリチェリ点）：三角形の頂点までの距離の和が最小の点。
• フェルマーの原理：光は所要時間が最短の道を通る。
• 無限降下法：解があるならもっと小さな解がある、とみちびき、矛盾を示す証明法。
• ペル方程式：$x^2-Ny^2=1$ の自然数解。フェルマーは1657年に、ヨーロッパの数学者に解くことを挑戦した。
• フェルマーの螺旋：$r^2=a^2\theta$ で表される、うずまきの曲線。

フェルマーの逸話と名言

余白に書かれた、世界一有名なメモ

フェルマーの最終定理の書きこみは、ラテン語で書かれていました。日本語に直すと、おおよそ次のような意味になります。

私はこの定理の、驚くべき証明を見つけた。しかしこの余白は、それを書くには狭すぎる。

本当に証明を持っていたのかについては、多くの数学者が「持っていなかったのでは」と考えています。当時の数学の道具では、$n=4$ のような特別な場合以外は、証明が非常にむずかしいためです。フェルマーが勘ちがいをしていた可能性もあると考えられていますが、確かめることはできません。

証明を見せない「いじわる」な数学者？

フェルマーは、同時代の数学者に、証明を書かずに問題を出すことがよくありました。ペル方程式の問題を、イギリスのウォリスらに挑戦状として送り、「解けるものなら解いてみなさい」と書いたことは有名です。この態度に、デカルトは不満を持ち、関係は必ずしも良くなかったと伝えられます。

パスカルがフェルマーをほめた？

パスカルは、手紙の中で、フェルマーのことを「ヨーロッパ最大の幾何学者」とたたえた、と伝えられています。確率の問題で、2人は別々の方法で同じ答えにたどり着いたことを、パスカルはとてもよろこんだともいわれます。この手紙は、数学の歴史でも貴重な資料です。

ペストで死んだとうわさされた

1652年、フェルマーがペストで亡くなった、といううわさが広まったことがあります。実際には生き延びましたが、このころは重い病気にかかっていたのではないかとも考えられています。確かな記録は少ない話です。

サクラちゃん

証明を書かなかったなんて、ずるい気がします……。

合格先生

そう思うよね。でも、その「証明のない予想」が、350年以上も数学者たちを動かした。答えが出ない問題に挑み続けた経験が、新しい数学を生んだんだ。入試でも、「まず試して規則を見つける」ことが、証明の第一歩になるよ。

受験・勉強とフェルマーのつながり

中学受験・高校受験：三平方の定理、素数、規則性

中学では、三平方の定理 $x^2+y^2=z^2$ を習います。これは、フェルマーの最終定理で $n=2$ の場合にあたります。3，4，5や5，12，13などの組を見つけておくと、図形の問題で役立ちます。素数・約数・倍数の問題も、整数論の入口です。唯一の偶数の素数「2」の話や2027は素数？双子素数と西暦の入試問題もあわせて読むと、素数の見方が深まります。

大学受験：フェルマーの小定理と整数問題

大学入試では、フェルマーの小定理を知っていると、大きな累乗の余りを求める問題が一気に楽になります。$a^n\pmod p$ を、$p-1$ ごとに一周する性質で計算するのです。また、「$n^p-n$ は $p$ の倍数」などの証明問題でも出ます。京都大学や東京大学などの難関大の整数問題で出題されることもあります。素因数分解の方法と約数と倍数の基本もおさえましょう。

確率では、「すべての場合を数える」というフェルマーとパスカルの方法が基本です。場合の数・確率の単元は、京大理系数学の出題分析（確率・整数の頻出度）を見ても分かるように、難関大で重視されます。

勉強法として：フェルマーに学ぶ「小さい場合から試す」

フェルマーが証明したのは、$n=4$ という「小さい場合」でした。むずかしい問題でも、$n=1,2,3$ のように小さい数で試して、規則を見つけることが、解き方の第一歩になります。数学の勉強の進め方は数学の勉強法（解法の暗記→演習→過去問）も参考にしてください。

フェルマーがその後の数学にあたえた影響

• 整数論の復活：古代ギリシャのディオファントス以来、ほとんど進まなかった整数論を、近代の学問として復活させました。オイラー・ラグランジュ・ガウスの業績と生涯がこの流れを受けつぎ、フェルマーの予想を一つずつ証明していきました。
• 最終定理が生んだ新しい数学：クンマーの理想数、のちの代数的整数論の発展、楕円曲線とモジュラー形式の対応など、最終定理を解こうとする中で、多くの理論が生まれました。
• 確率論：パスカルとの手紙から始まり、ホイヘンスの最初の確率の本、ベルヌーイ、ラプラスへと続きます。
• 微分積分：フェルマーの極大極小の方法は、ニュートンとライプニッツによる微分積分の完成の下地になりました。
• 暗号：フェルマーの小定理は、現代の暗号（RSA暗号）の仕組みを支える数学の一つです。ネット通信の安全も、フェルマーの数学に支えられています。

日本では、谷山豊と志村五郎が、最終定理の証明の鍵になる予想を作りました。日本の数学者の仕事が、350年の謎の解決に直接つながったことは、世界に誇れる歴史です。

フェルマーに挑戦！練習問題

フェルマーと関係する数学者

• パスカル（確率論を一緒に作った）：1654年の手紙で、点数問題を一緒に考えました。
• デカルト（座標・接線で意見が対立した）：同じ時代のフランスの数学者です。
• ディオファントス（『算術』の著者）：フェルマーが愛読した、古代ギリシャの整数論の数学者です。
• オイラー（フェルマーの予想を次々に解決）：小定理や二平方和の定理、n＝3の場合を証明しました。
• ワイルズ（フェルマーの最終定理を証明）：1995年に最終定理を証明した現代の数学者です。
• 谷山豊（谷山・志村予想）・志村五郎：最終定理の証明の鍵になった予想を考えた日本の数学者です。
• ソフィ・ジェルマン（最終定理の研究で有名）：女性の数学者で、最終定理に初めて大きな前進をもたらした一人です。

公式の一覧は算数・数学の公式一覧（公式辞典）、フェルマーの最終定理が数学の問題として出てくる「3³＋4³＋5³＝6³」の話はプラトン数（12960000）と216の不思議もどうぞ。

16〜17世紀の数学者

• タルタリア（1499ごろ〜1557）
  3次方程式の解き方を見つけた（カルダノの公式のもと）
• カルダノの業績と生涯
  『アルス・マグナ』で3次・4次方程式の解の公式を発表。確率の研究の先がけ
• ヴィエト（1540〜1603）
  文字を使った式（記号代数）を広めた。解と係数の関係
• ネイピアの業績と生涯
  対数を発明し、大きな数のかけ算を足し算に変えた。ネイピアの骨
• ケプラーの業績と生涯
  惑星の運動の3法則。たる（樽）の体積の研究は積分の先がけ
• デカルトの業績と生涯
  座標（x軸・y軸）で図形を式に。「我思う、ゆえに我あり」
• ウォリス（1616〜1703）
  無限大の記号 ∞ を使い始めた。ウォリスの公式（ウォリス積分）
• パスカルの業績と生涯
  パスカルの三角形・確率論。計算機（パスカリーヌ）。「人間は考える葦である」
• ホイヘンス（1629〜1695）
  確率論の最初の本。振り子時計・光の波の性質
• 関孝和の業績と生涯
  行列式の考え・ベルヌーイ数を西洋とほぼ同じころ発見。「算聖」とよばれる
• ニュートンの業績と生涯
  微分積分（流率法）・二項定理の一般化・万有引力
• ライプニッツの業績と生涯
  微分積分を独自に作り、dx・∫の記号を考えた。2進法

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フェルマーがかかわった数学の難問

• フェルマーの最終定理とは（解決）
  n≧3 のとき xⁿ＋yⁿ＝zⁿ をみたす自然数はない。360年近く解けなかった

有名な数学者一覧（年代順・国別・分野別）で、ほかの数学者も見られます。数学者たちが挑んだ問題は数学の難問・未解決問題の一覧にまとめています。

読みもの（合格大作戦の数学の記事）

• フェルマーの最終定理とは？わかりやすく解説
  n＝2と3以上の違い、ワイルズの証明
• フェルマーの最終定理を中学生向けに図解
  解けたら東大！？シンプルだけど難しい問題
• モンティ・ホール問題をわかりやすく
  変えると確率2/3になる理由
• 唯一の偶数の素数「2」の話
  素数から学ぶ逆転合格の考え方
• 2027は素数？双子素数と西暦の入試問題
  2027＝45²＋2
• プラトン数（12960000）と216の不思議
  3³＋4³＋5³＝6³
• 算数・数学の公式一覧（公式辞典）
  公式・証明・例題を1つずつ

よくある質問

あわせて読みたい

• 有名な数学者一覧（年代順・国別・分野別）
• 算数・数学の公式一覧（公式辞典）
• 数学用語辞典