中心極限定理の公式｜大数の法則・チェビシェフの不等式の証明・積率母関数による略証と例題【大学院入試・確率統計】

大学院入試

\frac{\bar X_n-\mu}{\sigma/\sqrt n}\ \longrightarrow\ N(0,\,1)\quad(n\to\infty)

大数の法則： $P(|\bar X_n-\mu|\ge\varepsilon)\le\dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}\to0$ （チェビシェフの不等式）

この公式のポイント

標本平均の平均は $\mu$ 、標準偏差は $\dfrac{\sigma}{\sqrt n}$
大数の法則はチェビシェフの不等式で示せる
もとの分布によらず標本平均は正規分布に近づく
略証は積率母関数が $e^{\frac{t^2}{2}}$ に近づくこと

うかるくん

中心極限定理で、どうして $\sigma$ じゃなく $\dfrac{\sigma}{\sqrt n}$ で割るの？

合格先生

独立なら $V[\bar X_n]=\dfrac{\sigma^2}{n}$ だ。標本平均の標準偏差は $\dfrac{\sigma}{\sqrt n}$ だから、それで標準化するんだぞ。

大数の法則と中心極限定理

同じ分布から独立にくり返しとった値の平均は、回数を増やすと真の平均に近づき（大数の法則）、そのずれは正規分布にしたがうようになる（中心極限定理）。統計学で「標本平均を使って推定・検定してよい」根拠になる2つの定理です。

設定

$X_1,X_2,\cdots$ は独立で同じ分布にしたがい、平均 $\mu$ 、分散 $\sigma^2$ （ $0<\sigma^2<\infty$ ）。標本平均 $\bar X_n=\dfrac{X_1+\cdots+X_n}{n}$ とすると $E[\bar X_n]=\mu$ 、 $V[\bar X_n]=\dfrac{\sigma^2}{n}$ 。

大数の（弱）法則

どんな $\varepsilon>0$ に対しても

\lim_{n\to\infty}P\left(|\bar X_n-\mu|\ge\varepsilon\right)=0

根拠はチェビシェフの不等式 $P(|X-\mu|\ge k)\le\dfrac{V[X]}{k^2}$ で、 $P(|\bar X_n-\mu|\ge\varepsilon)\le\dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}$ 。

中心極限定理

標準化した $Z_n=\dfrac{\bar X_n-\mu}{\sigma/\sqrt n}=\dfrac{X_1+\cdots+X_n-n\mu}{\sigma\sqrt n}$ について、すべての実数 $a<b$ で

\lim_{n\to\infty}P(a\le Z_n\le b)=\int_a^b\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}}dz

もとの分布が何であっても（分散が有限なら）、 $n$ が大きいとき $\bar X_n$ は近似的に $N\!\left(\mu,\ \dfrac{\sigma^2}{n}\right)$ 、和は $N(n\mu,\ n\sigma^2)$ にしたがう。

さいころの目（平らな分布）でも、

n

個の和は正規分布の形に近づく

なぜ成り立つのか（証明）

① チェビシェフの不等式

連続型で示します（離散型も同じ）。 $X$ の密度を $f$ 、平均を $\mu$ とすると、 $|x-\mu|\ge k$ の範囲では $\dfrac{(x-\mu)^2}{k^2}\ge1$ なので

P(|X-\mu|\ge k)=\int_{|x-\mu|\ge k}f(x)\,dx\le\int_{|x-\mu|\ge k}\frac{(x-\mu)^2}{k^2}f(x)\,dx\le\frac1{k^2}\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^2f(x)\,dx=\frac{V[X]}{k^2}

② 大数の法則

独立なので $V[\bar X_n]=\dfrac{1}{n^2}\cdot n\sigma^2=\dfrac{\sigma^2}{n}$ （和の分散）。チェビシェフの不等式で $X=\bar X_n$ 、 $k=\varepsilon$ とすると $P(|\bar X_n-\mu|\ge\varepsilon)\le\dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}\to0$ 。

標本平均の散らばりは

\sigma/\sqrt n

：

n

が大きいほど

\mu

に集中する

③ 中心極限定理（略証：積率母関数）

ここでは積率母関数 $M(t)=E[e^{tX}]$ が $0$ の近くで存在する場合に、考え方を示します（一般の場合の証明や、「積率母関数が近づけば分布も近づく」という定理は大学の授業にゆずります）。

$Y_i=\dfrac{X_i-\mu}{\sigma}$ とおくと $E[Y_i]=0$ 、 $E[Y_i^2]=1$ なので、 $Y_i$ の積率母関数は $M_Y(t)=1+\dfrac{t^2}{2}+(t^2\text{ より高い次数の項})$ 。 $Z_n=\dfrac{Y_1+\cdots+Y_n}{\sqrt n}$ で、独立なら積率母関数は積になるので

M_{Z_n}(t)=\left\{M_Y\!\left(\frac{t}{\sqrt n}\right)\right\}^n=\left\{1+\frac{t^2}{2n}+(\text{より小さい項})\right\}^n\ \longrightarrow\ e^{\frac{t^2}{2}}\quad(n\to\infty)

$e^{\frac{t^2}{2}}$ は標準正規分布 $N(0,\ 1)$ の積率母関数です。極限は $\left(1+\dfrac xn\right)^n\to e^x$ と同じ形です。

大学院入試では

院試では「チェビシェフの不等式で必要な回数を見積もる」「中心極限定理で確率を近似する」の2つが定番です。標準正規分布の値は $P(Z>1.5)\fallingdotseq0.0668$ 、 $P(Z>1.96)\fallingdotseq0.025$ 、 $P(Z>2)\fallingdotseq0.0228$ を使います。

大学院入試

例題1（チェビシェフの不等式で回数を見積もる）

さいころを

n

回投げたときの目の平均を

\bar X_n

とする。

P(|\bar X_n-3.5|\ge0.5)\le0.05

が保証されるために、チェビシェフの不等式からいえる

n

の条件を求めなさい。

解き方

1回の目の分散は $\sigma^2=\dfrac{35}{12}$ 。チェビシェフの不等式より $P(|\bar X_n-3.5|\ge0.5)\le\dfrac{35/12}{n\cdot0.25}=\dfrac{35}{3n}$ 。

$\dfrac{35}{3n}\le0.05$ より $n\ge\dfrac{35}{0.15}=233.3\cdots$ 。

チェビシェフの不等式はどんな分布でも成り立つかわりに粗い評価で、中心極限定理で近似すると、もっと少ない回数ですむ。

答え　 $n\ge234$

大学院入試

例題2（中心極限定理で確率を近似）

X_1,\cdots,X_{100}

は独立で、どれも平均

1

の指数分布（分散

1

）にしたがう。

P(\bar X>1.2)

を中心極限定理で近似しなさい。

解き方

$\mu=1$ 、 $\sigma=1$ 、 $n=100$ なので、 $\bar X$ は近似的に $N\left(1,\ \dfrac{1}{100}\right)$ 、標準偏差 $0.1$ 。

$P(\bar X>1.2)=P\left(Z>\dfrac{1.2-1}{0.1}\right)=P(Z>2)\fallingdotseq0.0228$ 。

もとの指数分布は左右対称ではないが、平均の分布は正規分布で近似できる。

答え　約 $0.023$

大学院入試

例題3（必要な標本の大きさ）

ある割合

p

を、無作為に選んだ

n

人の割合

\hat p

で推定する。

p

の値によらず、

|\hat p-p|\le0.03

となる確率が約95％以上になるには、

n

をどれだけにすればよいか。中心極限定理を用いて答えなさい。

解き方

$\hat p$ は近似的に $N\left(p,\ \dfrac{p(1-p)}{n}\right)$ 。 $1.96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\le0.03$ が必要。

$p(1-p)\le\dfrac14$ （ $p=\dfrac12$ で最大）なので、 $1.96\cdot\dfrac{0.5}{\sqrt n}\le0.03$ なら十分。 $\sqrt n\ge\dfrac{0.98}{0.03}=32.66\cdots$ 、 $n\ge1067.1\cdots$ 。

答え　 $n\ge1068$ （約1100人）

学部の授業とのつながり・院試での注意

どの授業で習うか：「確率論」「数理統計学」で学びます。高校の数学Bで習う「標本平均の分布は正規分布で近似できる」ことの根拠が、この中心極限定理です（推定と検定）。
答案で示すべきこと：①独立で同じ分布であること ②平均と分散の値 ③標準化した式 ④正規分布の表の値。「近似」であることを明記します。
よくある出題の形：チェビシェフの不等式の証明と応用／大数の法則の証明／積率母関数による中心極限定理の略証／二項分布の正規近似（ド・モアブル＝ラプラスの定理）／必要な標本の大きさ。
大数の法則との違い：大数の法則は「 $\bar X_n$ が $\mu$ に近づく」こと、中心極限定理は「そのずれ（ $\sqrt n$ 倍に拡大したもの）がどんな分布になるか」を述べます。

よくある間違い

合格先生

正規分布に近づくのは標本平均や和の分布だ。1つ1つの $X_i$ の分布が変わるわけではないぞ。

標準化で $\sqrt n$ を忘れる：標本平均の標準偏差は $\sigma$ ではなく $\dfrac{\sigma}{\sqrt n}$ 、和の標準偏差は $\sigma\sqrt n$ です。
「もとの分布が正規分布になる」と思う：正規分布に近づくのは標本平均（または和）の分布で、1つ1つの $X_i$ の分布は変わりません。
分散が無限の分布にも使う：中心極限定理には分散が有限であることが必要です。コーシー分布のように平均も分散もない分布では成り立ちません。

練習問題

サクラちゃん

平均と分散を出せば、あとは標準化だね！

大学院入試平均 $50$ 、標準偏差 $5$ の確率変数 $X$ について、 $P(|X-50|\ge15)$ の上限をチェビシェフの不等式で求めなさい。
答えと解説を見る
$P(|X-50|\ge15)\le\dfrac{5^2}{15^2}=\dfrac19$ 。答え $\dfrac19$ 以下（分布によらない）
大学院入試区間 $[0,\ 1]$ の一様分布にしたがう独立な確率変数48個の和を $S$ とする。 $P(S>27)$ を中心極限定理で近似しなさい。
答えと解説を見る
1個の平均 $\dfrac12$ 、分散 $\dfrac1{12}$ 。 $E[S]=24$ 、 $V[S]=\dfrac{48}{12}=4$ 、標準偏差 $2$ 。 $P(S>27)\fallingdotseq P\left(Z>\dfrac{27-24}{2}\right)=P(Z>1.5)\fallingdotseq0.067$
大学院入試公正な硬貨を400回投げて表が220回以上出る確率を、中心極限定理で近似しなさい（補正なし）。
答えと解説を見る
表の回数は $B(400,\ 0.5)$ で平均 $200$ 、分散 $100$ 、標準偏差 $10$ 。 $P\left(Z\ge\dfrac{220-200}{10}\right)=P(Z\ge2)\fallingdotseq0.023$ （半整数補正をすると $P(Z\ge1.95)\fallingdotseq0.026$ で、正確な値 $0.0255\cdots$ に近い）

よくある質問

中心極限定理とは？

独立で同じ分布（平均μ、分散σ²）にしたがう確率変数のn個の平均を標準化したものが、nを大きくすると標準正規分布に近づくという定理です。もとの分布が何でも成り立ちます（分散は有限とする）。

大数の法則と中心極限定理の違いは？

大数の法則は標本平均が真の平均μに近づくこと、中心極限定理はそのずれをσ/√nで割ったものが正規分布にしたがうようになることを述べます。

大数の法則はどうやって証明しますか？

チェビシェフの不等式 P(|X−μ|≧k)≦V[X]/k² を標本平均に使うと、確率が σ²/(nε²) 以下になり、n→∞で0に近づきます。

中心極限定理はどうやって証明しますか？

積率母関数が存在する場合は、標準化した和の積率母関数が e^(t²/2)（標準正規分布の積率母関数）に近づくことを示すのが基本の略証です。

中心極限定理の公式｜大数の法則・チェビシェフの不等式の証明・積率母関数による略証と例題【大学院入試・確率統計】

大数の法則と中心極限定理

なぜ成り立つのか（証明）

① チェビシェフの不等式

② 大数の法則

③ 中心極限定理（略証：積率母関数）

大学院入試では

学部の授業とのつながり・院試での注意

よくある間違い

練習問題

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よくある質問

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