確率変数の期待値・分散と変数変換の公式｜V(aX+b)＝a²V(X)・共分散・確率密度の変換f_Y＝f_X|dx/dy|の証明と例題【大学院入試・確率統計】

うかるくん

密度の変数変換で、どうして $\left|\dfrac{dx}{dy}\right|$ をかけるの？

合格先生

分布関数 $F_Y(y)$ を $X$ で書いて $y$ で微分するからだ。減少関数だと符号が変わるので、まとめて絶対値にするんだぞ。

期待値・分散の公式と変数変換の公式

確率変数 $X$ から新しい確率変数 $Y=g(X)$ を作ったとき、平均・分散・分布がどう変わるかをまとめます。院試の確率統計で、すべての計算の土台になる公式です。

なぜ成り立つのか（証明）

連続型（確率密度関数 $f(x)$）で示します。離散型は積分を和にかえれば同じです。

① 期待値の線形性

$E[aX+b]=\displaystyle\int(ax+b)f(x)\,dx=a\int xf(x)\,dx+b\int f(x)\,dx=aE[X]+b$（$\displaystyle\int f(x)\,dx=1$ を使う）。

② 分散の公式

$\mu=E[X]$ とすると $V[X]=E[(X-\mu)^2]=E[X^2]-2\mu E[X]+\mu^2=E[X^2]-\mu^2$。

また $aX+b$ の平均は $a\mu+b$ なので $V[aX+b]=E[(aX+b-a\mu-b)^2]=a^2E[(X-\mu)^2]=a^2V[X]$。$+b$ は全体をずらすだけで、散らばりを変えません。

③ 和の分散

$\mu_X=E[X]$、$\mu_Y=E[Y]$ として $V[X+Y]=E[\{(X-\mu_X)+(Y-\mu_Y)\}^2]$ を展開すると $V[X]+V[Y]+2E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)]$。最後の期待値が共分散で、展開すると $E[XY]-\mu_X\mu_Y$ です。独立なら同時密度が $f_X(x)f_Y(y)$ と積になるので $E[XY]=\displaystyle\iint xyf_X(x)f_Y(y)\,dx\,dy=E[X]E[Y]$ となり、共分散は $0$ です。

④ 密度の変数変換：分布関数を経由する

$g$ が増加関数のとき、$Y\le y\iff X\le g^{-1}(y)$ なので

$y$ で微分すると（合成関数の微分）$f_Y(y)=f_X\big(g^{-1}(y)\big)\dfrac{dx}{dy}$。$g$ が減少関数なら $Y\le y\iff X\ge g^{-1}(y)$ で $F_Y(y)=1-F_X\big(g^{-1}(y)\big)$ となり、微分すると $-\dfrac{dx}{dy}$（これは正）がつきます。2つの場合をまとめたのが絶対値 $\left|\dfrac{dx}{dy}\right|$ です。

直観的には、「$x$ の幅 $dx$ にある確率 $f_X(x)\,dx$」が「$y$ の幅 $dy$」に移るので、密度は $\left|\dfrac{dx}{dy}\right|$ 倍になります。

大学院入試では

学部の授業とのつながり・院試での注意

• どの授業で習うか：「確率論」「確率統計」「数理統計学」の最初に学びます。高校の期待値・分散の公式を、連続型と2変数に広げたものです。
• 答案で示すべきこと：変数変換では、①$g$ が単調な範囲 ②$Y$ の値の範囲（定義域）③$\left|\dfrac{dx}{dy}\right|$ の計算、を書きます。$Y$ の範囲の書き忘れが多い減点ポイントです。
• 単調でないとき：$Y=X^2$ で $X$ が負の値もとるときは、$x=\pm\sqrt y$ の2つの枝の和 $f_Y(y)=\dfrac{f_X(\sqrt y)+f_X(-\sqrt y)}{2\sqrt y}$ にします（練習問題2）。迷ったら分布関数 $F_Y(y)$ から計算するのが確実です。
• 2変数のとき：$(X,\ Y)$ から $(U,\ V)$ への変換では、$\left|\dfrac{dx}{dy}\right|$ の代わりにヤコビアンの絶対値をかけます。和 $X+Y$ の分布（たたみこみ）もこの形で出せます。

よくある間違い

合格先生

$V[aX+b]$ は $aV[X]+b$ ではない。分散は $a^2$ 倍で、$b$ は消えるんだぞ。

• $V[aX+b]=aV[X]+b$ とする：分散は $a^2$ 倍で、$b$ は消えます。$V[-X]=V[X]$ です。
• 独立でないのに $V[X+Y]=V[X]+V[Y]$ とする：一般には $2\,\mathrm{Cov}(X,Y)$ が加わります。期待値の和 $E[X+Y]=E[X]+E[Y]$ は独立でなくても成り立ちます。
• $\left|\dfrac{dx}{dy}\right|$ をかけ忘れる：$f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y))$ だけでは、全体の積分が $1$ になりません。

練習問題

サクラちゃん

$Y$ の値の範囲も忘れずに書こうね。

1. 大学院入試 さいころを1回投げて出る目を $X$ とする。$E[X]$、$V[X]$ と、$Y=2X+1$ の平均・分散を求めなさい。
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   $E[X]=\dfrac{1+2+\cdots+6}{6}=\dfrac72$、$E[X^2]=\dfrac{91}{6}$ より $V[X]=\dfrac{91}{6}-\dfrac{49}{4}=\dfrac{35}{12}$。$E[Y]=2\cdot\dfrac72+1=8$、$V[Y]=4\cdot\dfrac{35}{12}=\dfrac{35}{3}$
2. 大学院入試 $X$ が標準正規分布 $N(0,\ 1)$ にしたがうとき、$Y=X^2$ の確率密度関数を求めなさい。
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   $y>0$ で $F_Y(y)=P(-\sqrt y\le X\le\sqrt y)=F_X(\sqrt y)-F_X(-\sqrt y)$。微分して $f_Y(y)=\dfrac{f_X(\sqrt y)+f_X(-\sqrt y)}{2\sqrt y}=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi y}}e^{-\frac y2}$（$y>0$）。これは自由度 $1$ のカイ2乗分布
3. 大学院入試 $X$ が区間 $[0,\ 2]$ の一様分布にしたがうとき、$Y=3X+1$ の確率密度関数と分散を求めなさい。
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   $x=\dfrac{y-1}{3}$、$\dfrac{dx}{dy}=\dfrac13$、$f_X=\dfrac12$ より $f_Y(y)=\dfrac16$（$1\le y\le7$）。$V[X]=\dfrac{2^2}{12}=\dfrac13$ なので $V[Y]=9\cdot\dfrac13=3$（区間 $[1,\ 7]$ の一様分布の分散 $\dfrac{6^2}{12}=3$ とも一致）

関連する公式

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よくある質問

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