ポアソン分布・指数分布の公式｜期待値・分散の証明・二項分布の極限・無記憶性と例題【大学院入試・確率統計】

うかるくん

ポアソン分布って、二項分布とどうつながっているの？

合格先生

平均 $np=\lambda$ を一定にして $n\to\infty$ にした極限だ。$\left(1-\dfrac\lambda n\right)^n$ が $e^{-\lambda}$ になるのがカギだぞ。

ポアソン分布・指数分布の公式

「一定時間に起こる回数」はポアソン分布、「次に起こるまでの待ち時間」は指数分布で表します。どちらも、まれな出来事がでたらめに起こるようすのモデルで、2つは表と裏の関係です。

なぜこの式になるのか（証明）

① ポアソン分布は二項分布の極限

二項分布 $B(n,\ p)$ で、平均 $np=\lambda$ を一定にしたまま $n\to\infty$（$p=\dfrac\lambda n\to0$）とします。$k$ を固定すると

$n\to\infty$ で、2つ目の因子は $1\cdot\left(1-\dfrac1n\right)\cdots\to1$、3つ目は $e^{-\lambda}$（$e$ の定義から）、4つ目は $1$。よって $e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{k!}$ に近づきます。図1の $B(20,\ 0.1)$ でも、すでにかなり近い値です。

② 平均と分散

$\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\lambda^k}{k!}=e^{\lambda}$（マクローリン展開）を使います。

同じように $E[X(X-1)]=\lambda^2e^{-\lambda}\displaystyle\sum_{k=2}^{\infty}\frac{\lambda^{k-2}}{(k-2)!}=\lambda^2$。よって $V[X]=E[X(X-1)]+E[X]-(E[X])^2=\lambda^2+\lambda-\lambda^2=\lambda$。

③ 指数分布：待ち時間を数える

最初の出来事までの時間を $T$ とすると、「$T>t$」は「時間 $t$ の間に1回も起こらない」ことなので、$P(T>t)=P(\mathrm{Po}(\lambda t)=0)=e^{-\lambda t}$。分布関数 $1-e^{-\lambda t}$ を微分して密度 $\lambda e^{-\lambda t}$ が出ます。

平均は部分積分で $E[T]=\displaystyle\int_0^{\infty}t\lambda e^{-\lambda t}dt=\Big[-te^{-\lambda t}\Big]_0^{\infty}+\int_0^{\infty}e^{-\lambda t}dt=\frac1\lambda$。同様に $E[T^2]=\dfrac{2}{\lambda^2}$ なので $V[T]=\dfrac2{\lambda^2}-\dfrac1{\lambda^2}=\dfrac1{\lambda^2}$。

④ 無記憶性

大学院入試では

学部の授業とのつながり・院試での注意

• どの授業で習うか：「確率論」「確率統計」で代表的な分布として学びます。待ち行列（窓口の混み具合）や信頼性工学（部品の寿命）、通信のパケットの到着などのモデルとして、情報・工学系の院試でよく出ます。
• 答案で示すべきこと：①どの分布にしたがうか（パラメータ $\lambda$ の値と単位）②使う公式。$\lambda$ が「1時間あたり」か「1分あたり」か、単位をそろえるのがポイントです。
• よくある出題の形：二項分布からの極限の導出／平均・分散の導出／再生性（例題3）／無記憶性／積率母関数 $E[e^{tX}]$ の計算（ポアソン分布は $e^{\lambda(e^t-1)}$、指数分布は $\dfrac{\lambda}{\lambda-t}\ (t<\lambda)$）／最尤推定。
• 近似の目安：$n$ が大きく $p$ が小さい二項分布は $\mathrm{Po}(np)$ で近似できます（練習問題3）。

よくある間違い

合格先生

指数分布の平均は $\lambda$ ではなく $\dfrac1\lambda$ だ。平均1000時間なら $\lambda=\dfrac1{1000}$ だぞ。

• 指数分布の $\lambda$ を平均と取り違える：$\lambda e^{-\lambda x}$ の平均は $\dfrac1\lambda$。「平均1000時間」なら $\lambda=\dfrac1{1000}$ です。
• $P(X\ge2)$ で $P(X=1)$ を引き忘れる：余事象は「0件または1件」です。
• 無記憶性をほかの分布にも使う：連続型で無記憶性をもつのは指数分布だけです。正規分布や一様分布の寿命では成り立ちません。

練習問題

合格先生

$\lambda$ の単位をそろえてから計算しよう。

1. 大学院入試 $X\sim\mathrm{Po}(\lambda)$ で $P(X=1)=P(X=2)$ のとき、$\lambda$ と $P(X=0)$ を求めなさい。
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   $e^{-\lambda}\lambda=e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^2}{2}$ より $\lambda=2$（$\lambda>0$）。$P(X=0)=e^{-2}\fallingdotseq0.135$
2. 大学院入試 指数分布 $\mathrm{Ex}(\lambda)$ の中央値 $m$（$P(X>m)=\dfrac12$ となる値）を求めなさい。
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   $e^{-\lambda m}=\dfrac12$ より $m=\dfrac{\log2}{\lambda}\fallingdotseq\dfrac{0.693}{\lambda}$（平均 $\dfrac1\lambda$ より小さい）
3. 大学院入試 不良品の確率が $0.002$ の製品を1000個調べるとき、不良品が1個以下である確率をポアソン分布で近似して求めなさい。
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   $\lambda=1000\times0.002=2$。$P(X\le1)\fallingdotseq e^{-2}(1+2)=3e^{-2}\fallingdotseq0.406$（二項分布で正確に計算しても $0.406$）

関連する公式

• 二項分布
• 自然対数の底 $e$ の定義
• マクローリン展開（$e^{\lambda}$ の級数）
• 確率変数の期待値・分散と変数変換
• 最尤推定
• 条件付き確率と乗法定理

よくある質問

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• 合格大作戦 算数・数学公式辞典（公式一覧）