推定と仮説検定の公式｜95%信頼区間 x̄±1.96σ/√n の証明と意味・有意水準5%・コイン投げの例題【数学B・大学受験】

推定と仮説検定の公式｜95%信頼区間 x̄±1.96σ/√n の証明と意味・有意水準5%・コイン投げの例題【数学B・大学受験】

合格大作戦 算数・数学公式辞典 › 場合の数・確率

大学受験

xˉ−1.96⋅σn≤m≤xˉ+1.96⋅σn\bar{x}-1.96\cdot\frac{\sigma}{\sqrt n}\le m\le\bar{x}+1.96\cdot\frac{\sigma}{\sqrt n}

母平均 mm の信頼度95%の信頼区間（σ\sigma：母標準偏差、nn：標本の大きさ）

この公式のポイント

  • 標本平均は N ⁣(m, σ2n)N\!\left(m,\ \dfrac{\sigma^2}{n}\right) にしたがう
  • 95%は P(∣Z∣≤1.96)=0.95P(|Z|\le1.96)=0.95 から
  • 「95%」は区間の作り方の確率
  • 検定は帰無仮説のもとで ∣Z∣≥1.96|Z|\ge1.96 なら棄却
うかるくん

うかるくん

信頼区間の式で、どうして n\sqrt n で割るの？

合格先生

合格先生

標本平均の分散は σ2n\dfrac{\sigma^2}{n} だ。だから標準偏差は n\sqrt n で割った形になるぞ。

推定と仮説検定の公式

全体（母集団）の平均 mm を、一部（標本）から見積もるのが推定、「この仮説は正しいと言えるか」を確率で判断するのが仮説検定です。どちらも、標本平均が正規分布にしたがうことを使います。

母平均・母比率の推定（信頼度95%）と仮説検定

母平均 mm の95%信頼区間（母標準偏差 σ\sigma、標本の大きさ nn、標本平均 xˉ\bar{x}）

xˉ−1.96⋅σn≤m≤xˉ+1.96⋅σn\bar{x}-1.96\cdot\frac{\sigma}{\sqrt n}\le m\le \bar{x}+1.96\cdot\frac{\sigma}{\sqrt n}

母比率 pp の95%信頼区間（標本比率 p0p_0）

p0−1.96p0(1−p0)n≤p≤p0+1.96p0(1−p0)np_0-1.96\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}\le p\le p_0+1.96\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}

仮説検定（有意水準5%・両側）：帰無仮説のもとで Z=X−(平均)(標準偏差)Z=\dfrac{X-(\text{平均})}{(\text{標準偏差})} を計算し、∣Z∣≥1.96|Z|\ge1.96 なら帰無仮説を棄却する。

95%（0.95）−1.961.9602.5%2.5%Z標準正規分布 N(0, 1)
標準正規分布で −1.96≤Z≤1.96-1.96\le Z\le1.96 となる確率は 0.95
信頼度・有意水準使う値意味
信頼度95%（有意水準5%）1.96P(∣Z∣≤1.96)=0.95P(|Z|\le1.96)=0.95
信頼度99%（有意水準1%）2.58P(∣Z∣≤2.58)=0.99P(|Z|\le2.58)=0.99

証明：なぜ x̄±1.96σ/√n なのか

①標本平均の分布　母平均 mm、母標準偏差 σ\sigma の母集団から大きさ nn の標本をとると、標本平均 Xˉ\bar{X} の期待値は mm、標準偏差は σn\dfrac{\sigma}{\sqrt n} です（V(Xˉ)=1n2⋅nσ2=σ2nV(\bar{X})=\dfrac{1}{n^2}\cdot n\sigma^2=\dfrac{\sigma^2}{n}）。nn が大きいとき、Xˉ\bar{X} は正規分布 N ⁣(m, σ2n)N\!\left(m,\ \dfrac{\sigma^2}{n}\right) で近似できます（中心極限定理）。

②標準化　Z=Xˉ−mσ/nZ=\dfrac{\bar{X}-m}{\sigma/\sqrt n} は標準正規分布 N(0,1)N(0,1) にしたがい、正規分布表から P(−1.96≤Z≤1.96)=0.95P(-1.96\le Z\le1.96)=0.95。

③ m について解く　−1.96≤Xˉ−mσ/n≤1.96-1.96\le\dfrac{\bar{X}-m}{\sigma/\sqrt n}\le1.96 の各辺に σn\dfrac{\sigma}{\sqrt n} をかけて整理すると

Xˉ−1.96⋅σn≤m≤Xˉ+1.96⋅σn\bar{X}-1.96\cdot\frac{\sigma}{\sqrt n}\le m\le\bar{X}+1.96\cdot\frac{\sigma}{\sqrt n}

となり、この不等式が成り立つ確率が 0.95 です。Xˉ\bar{X} に実際の値 xˉ\bar{x} を入れたものが95%信頼区間です。母比率では、標本比率の標準偏差 p(1−p)n\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}（二項分布の np(1−p)\sqrt{np(1-p)} を nn で割ったもの）の pp を p0p_0 でおきかえます。

「95%」の正しい意味　mm は決まった数で、動くのは区間のほうです。「同じ方法で何回も標本をとって区間を作ると、そのうち約95%が mm をふくむ」という意味です（下の図）。

本当の母平均 mm を外した →点：標本平均 x̄　線：x̄±1.96σ/√n20本中19本が m をふくむ（約95%）
標本をとるたびに区間が変わる。約95%の区間が本当の mm をふくむ

仮説検定の考え方　「コインは公平（表の確率 12\dfrac12）」という帰無仮説を立て、それが正しいとしたときに、実際の結果が「確率5%以下でしか起こらない、めずらしい側」（棄却域）に入るかを調べます。入れば「帰無仮説が正しいとは考えにくい」として棄却し、「コインはかたよっている」（対立仮説）と判断します。この5%を有意水準といいます。

表61回Z＝2.240.259.850棄却域棄却域表の回数 X（平均50・標準偏差5で近似）帰無仮説：表の出る確率は 1/2
コインを100回投げて表が61回。棄却域に入るので「公平」は棄却される

大学受験（数学B）での使い方

大学受験

例題1（母平均の推定）

母標準偏差が 10 の母集団から大きさ 100 の標本をとったところ、標本平均が 50 だった。母平均 mm の信頼度95%の信頼区間を求めなさい。

解き方

σn=10100=1\dfrac{\sigma}{\sqrt n}=\dfrac{10}{\sqrt{100}}=1。1.96×1=1.961.96\times1=1.96 なので、50−1.96≤m≤50+1.9650-1.96\le m\le50+1.96。

答え　48.04≤m≤51.9648.04\le m\le51.96

大学受験

例題2（コイン投げの仮説検定）

コインを100回投げたら表が61回出た。このコインは表と裏の出やすさがかたよっていると判断してよいか。有意水準5%で検定しなさい。

解き方

帰無仮説「表の出る確率は 12\dfrac12」とする。このとき表の回数 XX は二項分布 B ⁣(100, 12)B\!\left(100,\ \dfrac12\right) にしたがい、平均 100⋅12=50100\cdot\dfrac12=50、標準偏差 100⋅12⋅12=5\sqrt{100\cdot\dfrac12\cdot\dfrac12}=5。

XX は正規分布 N(50, 52)N(50,\ 5^2) で近似できる。Z=61−505=2.2Z=\dfrac{61-50}{5}=2.2。

∣Z∣=2.2≥1.96|Z|=2.2\ge1.96 なので、X=61X=61 は棄却域に入る。帰無仮説は棄却される。

答え　かたよっていると判断してよい

大学受験

例題3（母比率の推定）

ある市で400人を無作為に選んで調べたところ、80人がある政策に賛成だった。賛成の割合（母比率）pp の信頼度95%の信頼区間を求めなさい。

解き方

標本比率 p0=80400=0.2p_0=\dfrac{80}{400}=0.2。0.2×0.8400=0.0004=0.02\sqrt{\dfrac{0.2\times0.8}{400}}=\sqrt{0.0004}=0.02。

1.96×0.02=0.03921.96\times0.02=0.0392 なので 0.2−0.0392≤p≤0.2+0.03920.2-0.0392\le p\le0.2+0.0392。

答え　0.1608≤p≤0.23920.1608\le p\le0.2392（約16%〜24%）

よくある間違い

腕でバツを作る合格先生

合格先生

「mm がこの区間に入る確率が95%」は誤りだ。mm は動かない定数で、動くのは区間のほうだぞ。

  • σn\dfrac{\sigma}{\sqrt n} を σn\dfrac{\sigma}{n} にする：標本平均の標準偏差は n\sqrt n で割る。
  • 「mm がこの区間に入る確率が95%」と言う：mm は動かない定数。動くのは区間で、「この方法で作った区間の約95%が mm をふくむ」が正しい意味。
  • 棄却されない＝帰無仮説が正しいと証明された、と考える：「かたよっているとは言えない」だけで、「公平だ」と言い切れるわけではない。

練習問題

ひらめいたサクラちゃん

サクラちゃん

1.96の意味が分かれば、こわくないね。

  1. 大学受験 母標準偏差 6 の母集団から大きさ 36 の標本をとり、標本平均が 120 だった。母平均の95%信頼区間は？
    答えと解説を見る636=1\dfrac{6}{\sqrt{36}}=1 なので 120±1.96120\pm1.96。118.04≤m≤121.96118.04\le m\le121.96
  2. 大学受験 母平均の95%信頼区間の幅を半分にするには、標本の大きさ nn を何倍にすればよいか。
    答えと解説を見る幅は 2×1.96⋅σn2\times1.96\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n} で n\sqrt n に反比例。n\sqrt n を2倍にするので nn は4倍
  3. 大学受験 コインを100回投げたら表が58回出た。有意水準5%で、かたよっていると判断できるか。
    答えと解説を見るZ=58−505=1.6<1.96Z=\dfrac{58-50}{5}=1.6<1.96 なので棄却できない。かたよっているとは判断できない

関連する公式

よくある質問

信頼区間の1.96はどこから来るの？

標準正規分布で、0を中心に左右対称に面積（確率）が0.95になる範囲が−1.96から1.96だからです。99%なら2.58を使います。

95%信頼区間とはどういう意味？

同じ方法で何回も標本をとって区間を作ると、そのうち約95%の区間が本当の母平均をふくむ、という意味です。母平均は動かない数です。

有意水準5%とは？

帰無仮説が正しいとしたときに、確率5%以下でしか起こらない結果を「めずらしい」とみなす基準です。結果がその範囲（棄却域）に入れば帰無仮説を棄却します。

帰無仮説が棄却されなかったら、帰無仮説は正しいの？

正しいと証明されたわけではありません。「帰無仮説を否定するほどの根拠はない」という意味にとどまります。

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出典・参考

  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）」数学B（統計的な推測）・数学Ⅰ（データの分析：仮説検定の考え方）

最終更新：2026年10月11日／作成：大学受験合格大作戦