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大学受験
順列・組合せとは
順列は、異なる 個から 個を選んで並べる方法で、その数を と書きます。組合せは、順番を考えずに選ぶだけの方法で、その数を と書きます。4人から2人なら、順列は12通り、組合せは6通りです。
うかるくん
「5人から2人を選ぶ」って、 と のどっちですか？
合格先生
選んだ2人に役割や順番があるかで決まるよ。委員長と副委員長なら順列で20通り、ただの委員2人なら組合せで10通りだ。
この用語のポイント
- 順列＝選んで並べる（）、組合せ＝選ぶだけ（）
- ：並べ方の重なり で割る
- 迷ったら「2つを入れかえて別のものになるか」で判断
やさしく言うと
順列は「選んで並べる」、組合せは「選ぶだけ」の数え方です。身近な場面で比べてみましょう。
- リレーと掃除当番：4人から2人を選ぶとき、「リレーの1走と2走」なら順番があるので順列、「掃除当番の2人」なら順番は関係ないので組合せです。
- アイスの2段重ね：下がバニラ・上がチョコと、下がチョコ・上がバニラを別のものと考えるなら順列。カップに2種類を入れるだけなら組合せです。
- 暗証番号とサラダ：暗証番号の「1・2」と「2・1」はちがう番号なので順列。サラダにトマトとレタスを入れるのは、入れる順番に関係ないので組合せです。
まとめると、入れかえて別のものになるなら順列、同じなら組合せです。
うかるくん
「AB と BA を別にする？」と自分に聞けば、どっちか決まるね！
順列の例・組合せの例
○ 順列（順番・役割がある）
- 5人から委員長と副委員長を1人ずつ：
- 1〜5のカードから2枚で2けたの整数：
- 5人を1列に並べる：
- 10人のレースで1位・2位・3位：
- 0〜9の数字で、同じ数字を使わない3けたの暗証番号：
× 組合せ（選ぶだけ）
- 5人から委員を2人：
- 5種類の果物から3種類を選ぶ：
- 円の上の8個の点から3個を結ぶ三角形：
- 10人から3人の代表：
- 右4・上2の最短の道順：
同じ5人・2人でも、役割（委員長・副委員長）があると順列、役割がないと組合せになります。順列の数は、組合せの数の 倍です。10人から3人なら、順列 720 は組合せ 120 の 倍です。
記号と公式
| 順列 | 組合せ | |
|---|---|---|
| 意味 | 異なる 個から 個を選んで並べる | 異なる 個から 個を選ぶだけ |
| 記号 | （P は permutation） | （C は combination） |
| 計算 | から1ずつ減らして 個かける | 順列を （ 個の並べ方）で割る |
| 4人から2人 |
順列の計算が「 から1ずつ減らしてかける」になるのは、席を1つずつ決めるたびに、残りの人数が1人ずつへるからです。
（ の階乗）は、 から1までをかけた数です（）。これを使うと
と書けます。
図で見る：組合せ＝順列÷r!
組合せが「順列 ÷ 」になるのは、選んだ 個の並べ方が 通りずつ重なっているからです。4人から3人なら、選び方1つにつき並べ方が 通りあります。
サクラちゃん
どうして順列を先に数えてから割るんですか？ 組合せを直接数えたほうが早くないですか？
合格先生
順列は「1番目、2番目…」とかけ算で簡単に数えられるんだ。そのあとで、同じグループを何回数えたか（ 回）で割るほうが、もれも重なりも出にくいんだよ。
組合せの便利な使い方
組合せは、「選ぶ」と言っていない問題でも使えます。代表的なのが道順の問題です。ごばんの目の道を最短で進む道順は、「右」と「上」の歩数が決まっています。そのうちどの歩を「上」にするか選ぶと考えれば、組合せで数えられます。
また、 が成り立ちます。 個から 個を選ぶことは、残す 個を選ぶことと同じだからです。
テスト・入試ではこう出る
順列・組合せは数学A（場合の数と確率）で習い、確率の問題の土台になります。よく出るのは、役割がある・ないの見分け、男女などのグループごとに選んでかける問題、道順、同じものを含む順列、円順列などです。確率の問題では、分母・分子を組合せで数えることがよくあります。
例題1（グループごとに選ぶ）
男子4人、女子3人の中から、男子2人・女子1人の委員を選ぶ方法は何通りありますか。
- 委員には役割がないので、組合せで数える。
- 男子4人から2人を選ぶ： 通り。
- 女子3人から1人を選ぶ： 通り。
- 男子の選び方それぞれに女子の選び方があるので、かけ算： 通り。
答え 18 通り
例題2（道順）
上の図のようなごばんの目の道で、S から G まで遠回りをしないで行く道順は何通りありますか。
- どの最短の道順も、「右」4回と「上」2回、合わせて 6 歩でできている。
- 6 歩のうち、どの 2 歩を「上」にするかを決めれば、道順が1つに決まる。
- 選ぶだけで順番は関係ないので組合せ：。
答え 15 通り（「右」4歩を選ぶと考えて でも同じです）
合格先生
「選ぶ」作業が2つ続いたら、それぞれを組合せで数えてかけ算だ。
まちがえやすい点
合格先生
入れかえて別物になるなら順列、同じなら組合せ！
- 順番が関係あるかを確かめない：「選ぶ」という言葉があっても、役割や並び順があれば順列です。迷ったら、2つを入れかえて別のものになるかで判断します。
- 同じものが入っているのに で数える：A, A, B, B の並べ方は ではなく、同じ文字の入れかえで重なる分を割って 通りです。
- を使わない：10人から8人を選ぶのは、残す2人を選ぶのと同じなので、 と楽に計算できます。
- グループごとの選び方をたしてしまう：例題1で「男子の選び方」と「女子の選び方」は同時に起こるので、 ではなく です。
- の分母を にする： の分母は ではなく です。
ことばの由来
記号の P は順列の英語 permutation（パーミュテーション、「並べかえ」）、C は組合せの英語 combination（コンビネーション、「組み合わせ」）の頭文字です。順列は「順に並べた列」、組合せは「組にして合わせたもの」という意味の、そのままのことばです。教科書では「組み合わせ」ではなく「組合せ」と書くことが多いです。
ミニ問題
問題1 6人の中から3人を選んで、1列に並べる方法は何通りありますか。
答えと解き方を見る
120 通りです。並べるので順列で、。1番目が6通り、2番目が残りの5通り、3番目が残りの4通りです。
問題2 6人の中から3人の委員を選ぶ方法は何通りありますか。
答えと解き方を見る
20 通りです。選ぶだけなので組合せで、。問題1の 120 通りを、選んだ3人の並べ方 通りで割った数になっています。
問題3 A, A, B, B, C の5文字を1列に並べる方法は何通りありますか。
答えと解き方を見る
30 通りです。5文字がすべてちがえば 通りですが、A どうし・B どうしを入れかえても同じ並びです。その重なり で割って、 通りです。
関連する公式・用語
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あわせて覚えたい用語
よくある質問
順列と組合せのちがいは？
順列は選んだものを並べる（順番を区別する）数え方、組合せは選ぶだけで順番を区別しない数え方です。4人から2人なら、順列は12通り、組合せは6通りです。
nPrとnCrの計算方法は？
nPrは、nから1ずつ減らしながらr個の数をかけます。nCrは、そのnPrをrの階乗（r×(r−1)×…×1）で割ります。
順列か組合せか見分けるコツは？
選んだものの2つを入れかえたとき、別のものになるなら順列、同じものなら組合せです。役割や並び順があるかを確かめましょう。
階乗とは何ですか？
nからはじめて1ずつ小さくした数を1までかけたものです。n! と書き、たとえば 4! は 4×3×2×1＝24 です。
道順の問題はなぜ組合せで解けるのですか？
最短の道順は「右」と「上」の歩数が決まっていて、どの歩を「上」にするかを選べば道順が1つに決まるからです。
順列・組合せは何年生で習いますか？
高校の数学A「場合の数と確率」で習います。中学では樹形図などで場合の数を数えます。
出典・参考
- 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編」数学A（場合の数と確率：順列・組合せ）
最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦
