同じものを含む順列 n!/(p!q!r!)｜区別してから割る理由の証明・最短経路の数・文字の並べ方と例題【中学受験〜大学受験】

中学受験大学受験

\frac{n!}{p!\,q!\,r!}

$p+q+r=n$

この公式のポイント

全部区別して $n!$ 、同じものの入れかえ $p!q!r!$ で割る
2種類なら ${}_n\mathrm{C}_p$ と同じ
最短経路は→と↑の並べ方
「○を通る」は前半×後半

うかるくん

同じ文字があると、ふつうの $n!$ じゃだめなの？

合格先生

同じ文字どうしの入れかえで、同じ並びを何回も数えてしまう。その重なりの $p!\,q!\,r!$ で割るんだ。

同じものを含む順列の公式

同じものを含む順列

$a$ が $p$ 個、 $b$ が $q$ 個、 $c$ が $r$ 個（ $p+q+r=n$ ）あるとき、全部を1列に並べる方法は

\frac{n!}{p!\,q!\,r!}\ \text{通り}

2種類なら ${}_n\mathrm{C}_p$ と同じ（ $p$ 個の $a$ を置く場所を選ぶ）。

A₁、A₂、B の並べ方6通りは、A を区別しないと2通りずつ同じになる

証明：区別してから、重なりで割る

同じ文字にも番号をつけて全部区別すると $n!$ 通り。番号を消すと、 $a$ どうしの入れかえ $p!$ 通り、 $b$ どうしの入れかえ $q!$ 通り、 $c$ どうしの $r!$ 通りが、すべて同じ並びになります。つまり1つの並びが $p!\,q!\,r!$ 回ずつ数えられているので、 $\dfrac{n!}{p!\,q!\,r!}$ 。

2種類（ $a$ が $p$ 個、 $b$ が $n-p$ 個）なら $\dfrac{n!}{p!\,(n-p)!}={}_n\mathrm{C}_p$ 。「 $n$ 個の場所から $a$ を置く $p$ か所を選ぶ」のと同じです（組合せ）。

横4区画・たて3区画の道の最短経路は、→4つと↑3つの並べ方

中学受験（算数）での使い方

中学受験では最短経路の数として出ます。交差点ごとに「左から来る数＋下から来る数」を書きこむ方法（足し算）でも数えられ、結果は同じ35になります。

中学受験

例題1（最短経路）

横に4区画、たてに3区画の碁盤の目の道を、左下から右上まで遠回りせずに行く方法は何通りありますか。

解き方

交差点に、左と下から来る道の数を足して書きこむと、右上は35。

（式で書くと、右4回と上3回の並べ方 $\dfrac{7!}{4!\,3!}=35$ 。）

答え　35通り

大学受験（数学A）での使い方

大学受験

例題2（文字の並べ方）

A、A、B、B、C の5文字を1列に並べる方法は何通りありますか。

解き方

$\dfrac{5!}{2!\,2!\,1!}=\dfrac{120}{4}=30$ 通り。

答え　30通り

大学受験

例題3（とちゅうの点を通る）

例題1の道で、左下から右に2区画・上に1区画の交差点 P を通って右上まで行く最短経路は何通りですか。

解き方

S→P：右2・上1で $\dfrac{3!}{2!\,1!}=3$ 。P→G：右2・上2で $\dfrac{4!}{2!\,2!}=6$ 。積の法則で $18$ 通り。

答え　18通り

よくある間違い

合格先生

とちゅうの点を通る経路で、前半と後半を足してはいけない。積の法則でかけ算だ。

同じものがあるのに $n!$ のままにする：重なりで割る。
「通る」問題で足し算する：前半と後半はかけ算（積の法則）。

練習問題

うかるくん

最短経路は、→と↑の並べ方で数えればいいんだね。

大学受験 1、1、2、2、2 の5つの数字を並べてできる5けたの数は何個？
答えと解説を見る
$\dfrac{5!}{2!\,3!}=10$ 個
中学受験横3区画・たて2区画の道の最短経路は何通り？
答えと解説を見る
$\dfrac{5!}{3!\,2!}=10$ 通り
大学受験 SUCCESS の7文字を並べる方法は何通り？
答えと解説を見る
S3個、C2個、U・E各1個。 $\dfrac{7!}{3!\,2!}=420$ 通り

よくある質問

同じものを含む順列の公式は？

aがp個、bがq個、cがr個のとき、n!/(p!q!r!) 通りです（p+q+r=n）。

なぜp!q!r!で割るのですか？

同じものを区別して並べるとn!通りですが、同じものどうしを入れかえたp!q!r!通りが同じ並びとして重複して数えられているからです。

最短経路の数え方は？

右と上に進む回数を数え、その並べ方を同じものを含む順列で求めます。横4・たて3なら 7!/(4!3!)=35 通りです。