円順列 (n−1)! と重複順列 nʳ の公式｜回転で割る理由の証明・じゅず順列・円卓・じゃんけんの例題【数学A・大学受験】

円順列 (n−1)! と重複順列 nʳ の公式｜回転で割る理由の証明・じゅず順列・円卓・じゃんけんの例題【数学A・大学受験】

合格大作戦 算数・数学公式辞典 › 場合の数・確率

大学受験

円順列=(n−1)!,重複順列=nr\text{円順列}=(n-1)!,\qquad\text{重複順列}=n^r

じゅず順列は (n−1)!2\dfrac{(n-1)!}{2}

この公式のポイント

  • 円順列は (n−1)!(n-1)!（n!n! を回転の nn で割る／1人を固定）
  • じゅず順列は裏返しも同じなので さらに÷2
  • 重複順列は nrn^r（毎回 nn 通り）
  • 席に番号があれば円順列ではない
うかるくん

うかるくん

円に並べると、どうして n!n! じゃなくて (n−1)!(n-1)! になるの？

合格先生

合格先生

回すと重なる nn 通りが同じ並びだからだ。n!n! を nn で割ると (n−1)!(n-1)! になるぞ。

円順列・じゅず順列・重複順列の公式

3つの順列

  • 円順列：異なる nn 個を円形に並べる → (n−1)!\boldsymbol{(n-1)!} 通り
  • じゅず順列：裏返しても同じとみる（首飾り）→ (n−1)!2\dfrac{(n-1)!}{2} 通り（n≥3n\ge3）
  • 重複順列：nn 種類から同じものをくり返し使って rr 個並べる → nr\boldsymbol{n^r} 通り

証明①：円順列が (n−1)! になる理由

ABCDBCDACDABDABC回すと同じ → 4つで1通り（4!÷4＝3!）
A, B, C, D の円卓の並び方。回すと重なる4つは、円順列では同じ1通り

まず一列に並べると n!n! 通り。円形に並べると、回転して重なるものは同じとみます。1つの並べ方を1人分ずつ回すと nn 通りの「一列の並べ方」が出てきて、それらが全部同じ円順列です。よって

n!n=(n−1)!\frac{n!}{n}=(n-1)!

別の考え方：1人（A）の席を固定すると、回転で重なる心配がなくなり、残り n−1n-1 人を一列に並べるのと同じで (n−1)!(n-1)! 通り。

じゅず順列は、さらに裏返して重なる2つを同じとみるので÷2します（左右対称でない並べ方は必ずちょうど2つずつ組になる、n≥3n\ge3 のとき）。

証明②：重複順列が nʳ になる理由

○×○×○×○×○×○×○×2×2×2＝2³＝8通り
3回それぞれ ○ か × を選ぶと 2×2×2=82\times2\times2=8 通り

1つ目に nn 通り、同じものをまた使ってよいので2つ目も nn 通り、…と rr 回とも nn 通り。積の法則で n×n×⋯×n=nrn\times n\times\cdots\times n=n^r 通りです。

大学受験（数学A）での使い方

大学受験

例題1（円卓）

6人が円形のテーブルにすわる方法は何通りありますか。また、そのうち特定の2人が隣り合うすわり方は何通りですか。

解き方

(6−1)!=120(6-1)!=120 通り。

2人をひとまとめにして5人分の円順列 (5−1)!=24(5-1)!=24、2人の並び方 22 通りで 4848 通り。

答え　120通り、48通り

大学受験

例題2（首飾り）

色の異なる5個の玉で首飾りを作る方法は何通りありますか。

解き方

じゅず順列で (5−1)!2=12\dfrac{(5-1)!}{2}=12 通り。

答え　12通り

大学受験

例題3（重複順列）

3人がじゃんけんを1回するとき、手の出し方は全部で何通りありますか。また、あいこにならないのは何通りですか。

解き方

1人3通りずつで 33=273^3=27 通り。

あいこにならない（2種類の手だけが出る）のは、どの2種類かが 3C2=3{}_3\mathrm{C}_2=3 通り、その2種類で全員が同じ手にならない出し方が 23−2=62^3-2=6 通りで、3×6=183\times6=18 通り。

答え　27通り、18通り

よくある間違い

腕でバツを作る合格先生

合格先生

重複順列を rnr^n とするな。「種類の数」の「並べる個数」乗で nrn^r だ。

  • 円順列で n!n! とする：回転で同じものを数えすぎ。
  • 重複順列を rnr^n とする：「選ぶ種類の数」の「並べる個数」乗。
  • 席に番号がある円卓で円順列を使う：席が区別できるなら回転しても別物で n!n!。

練習問題

ひらめいたうかるくん

うかるくん

1人の席を固定すれば、あとは一列に並べるだけだね

  1. 大学受験 5人が円形に並ぶ方法は何通りですか。
    答えと解説を見る4!=244!=24 通り
  2. 大学受験 1, 2, 3 の数字をくり返し使ってよいとき、4けたの数は何個できますか。
    答えと解説を見る34=813^4=81 個
  3. 大学受験 異なる6色で、円を6等分した部分をぬり分けます（回転して同じものは同じとみる）。何通りありますか。
    答えと解説を見る円順列 5!=1205!=120 通り

関連する公式

よくある質問

円順列の公式は？

異なるn個を円形に並べる方法は (n−1)! 通りです。

なぜ(n−1)!になるのですか？

一列の並べ方n!通りのうち、回転して重なるn通りずつが同じ円順列なのでn!÷n=(n−1)!です。1人を固定して残りを並べると考えても同じです。

重複順列の公式は？

n種類から同じものをくり返し使ってr個並べる方法は nʳ 通りです。

じゅず順列とは？

首飾りのように裏返しても同じとみる並べ方で、(n−1)!/2 通りです。

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出典・参考

  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）」数学A（場合の数と確率）

最終更新：2026年10月11日／作成：大学受験合格大作戦