指数とは？意味と指数法則をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

うかるくん

先生、$2^0$ って「2を0回かける」ですよね？ それなら 0 じゃないんですか？

合格先生

指数を1へらすと、値は半分になるよね。$2^2=4$、$2^1=2$ と来たら、次の $2^0$ は 2 の半分で 1。こう決めると指数法則がそのまま使えるんだ。

やさしく言うと

指数は、同じ数を何回かけるかを表す、右肩の小さな数です。$2\times2\times2$ は $2^3$ と書き、右肩の 3 が指数です。長いかけ算を短く書くための「回数のメモ」だと思ってください。

身近なたとえで考えてみましょう。

• 紙を折る：紙を半分に折るたびに厚さは2倍になります。10回折ると $2^{10}=1024$ 枚分の厚さです。
• うわさの広がり：1 人が毎日 2 人に話すと、話を聞く人は 2 人、4 人、8 人…と倍々にふえます。$n$ 日目は $2^n$ 人です。
• 大きな数・小さな数：1 億は $10^8$、1 兆は $10^{12}$ です。0 をたくさん書くかわりに、指数で「0 の数」を表せます。

まとめると、指数は「何回かけたか」を数える数で、くり返し何倍にもなるものを短く書く道具です。なお、$2^3$ 全体のことは「2の3乗」または累乗（るいじょう）といい、かけられる 2 のほうは底（てい）といいます。

指数の例

右肩に小さく書くのが指数、右下に小さく書くのは「添え字」で、番号を表すだけです。書く位置をはっきり区別しましょう。

指数法則

指数には、かけ算をたし算に直せる便利な決まりがあります。どれも「かける回数を数える」と考えれば、覚えなくても分かります。

どの法則も、底が同じときに使えます。$2^3\times3^2$ のように底がちがうものは、指数をたすことはできません（$8\times9=72$ と計算します）。くわしい証明と練習は公式辞典の指数法則と対数の公式にあります。

うかるくん

$(a^2)^3$ は $a^5$ ですか、$a^6$ ですか？ いつもまよいます。

合格先生

中身を書き出すと $(a\times a)\times(a\times a)\times(a\times a)$。$a$ は 6 個だから $a^6$ だね。かっこの外の指数は「セットの数」なのでかけ算、横にならんだ $a^2\times a^3$ はたし算だよ。

0や負の数の指数（高校で広げる）

「かける回数」では $2^0$（0回かける）や $2^{-1}$ の意味が分かりません。そこで高校の数学Ⅱでは、指数法則がそのまま使えるように意味を広げます。指数を1へらすと値が半分になる流れを続けると、自然に決まります。

分数の指数も、指数法則から決まります。$\left(2^{\frac12}\right)^2=2^{\frac12\times2}=2^1=2$ となるためには、$2^{\frac12}$ は「2 乗すると 2 になる正の数」、つまり $\sqrt2$ でなければなりません。

うかるくん

2⁰＝1 は、÷2 をくり返していけば自然に出てくるんだ！

テスト・入試ではこう出る

指数（累乗）は中学1年の「正の数・負の数」で習い、素因数分解（$72=2^3\times3^2$）や、式の計算・単項式でも使います。0・負の数・分数の指数と指数関数は、高校の数学Ⅱで学びます。よく出るのは次の形です。

• $(-3)^2$ と $-3^2$ のちがいなど、符号に注意する計算（中学）。
• 指数法則を使った式の計算（$a^2b\times ab^3$ など）。
• 分数・負の指数をふくむ値の計算（数学Ⅱ）。底を素数にそろえるのが基本。
• 指数方程式・不等式、指数関数のグラフ、大小比較（数学Ⅱ）。

まちがえやすい点

合格先生

$-2^2$ は $-4$！ 指数はすぐ左の数だけにかかるよ。

• $(-2)^2$ と $-2^2$：$(-2)^2=(-2)\times(-2)=4$ ですが、$-2^2=-(2\times2)=-4$ です。指数はすぐ左の数だけにかかります。
• $2^3=6$ としてしまう：$2^3$ は $2\times3$ ではなく、$2\times2\times2=8$ です。
• $a^0=0$ と答える：$a^0=1$ です（$a\ne0$）。
• 指数法則のまぜこぜ：$a^2\times a^3=a^5$ です。$a^6$（指数どうしのかけ算）ではありません。反対に $(a^2)^3=a^6$ で、$a^5$ ではありません。
• たし算にも指数法則を使う：$2^3+2^3$ は $2^6$ ではありません。$8+8=16=2^4$ です。指数法則はかけ算・わり算のための決まりです。
• 負の指数を負の数とかんちがいする：$2^{-3}$ は $-8$ ではなく $\dfrac18$ です。指数がマイナスになると「逆数」になります。

ことばの由来・歴史

「指数」は、何回かけるかを指し示す数という意味です。英語では exponent（エクスポーネント）といいます。また、累乗は power（パワー）ともいい、$2^3$ を「2 to the third power」と読みます。

いまのように右肩に小さな数を書く書き方は、17 世紀のフランスの数学者デカルトの本で広く使われるようになりました。

ミニ問題

関連する公式・用語

公式辞典で、くわしい証明と例題を見る

• 指数法則と対数の公式
• 指数関数・対数関数のグラフ
• 平方根の計算

あわせて覚えたい用語

• 対数
• 平方根
• 項・係数・次数

よくある質問