指数関数・対数関数のグラフ｜y＝x について対称になる理由・底と増減・大小比較・対数不等式の例題【数学Ⅱ・大学受験】

うかるくん

$y=a^x$ と $y=\log_ax$ は、なんで $y=x$ で対称なの？

合格先生

$y=\log_ax$ は $x=a^y$ と同じだ。$x$ と $y$ を入れかえた式だから、$y=x$ で折り返した形になるぞ。

指数関数・対数関数のグラフの性質

なぜ y＝x について対称なのか（証明）

$y=\log_ax$ は、対数の定義から $x=a^y$ と同じ意味です。つまり $y=a^x$ の $x$ と $y$ を入れかえた式です。

点 $(p,\ q)$ が $y=a^x$ のグラフ上にあれば $q=a^p$。このとき $p=\log_aq$ なので、点 $(q,\ p)$ は $y=\log_ax$ のグラフ上にあります。点 $(p,\ q)$ と点 $(q,\ p)$ は直線 $y=x$ について対称なので、2つのグラフ全体も $y=x$ について対称です。$(0,\ 1)$ が $(1,\ 0)$ にうつるのもこのためです。

$a>1$ なら $x$ が増えると $a^x$ も増え、$0<a<1$ なら減ります。不等式で底が1より小さいときは向きが逆になるのはこのためです。

大学受験（数学Ⅱ）での使い方

よくある間違い

合格先生

底が1より小さいときは、不等号の向きを逆にする。減少関数だからだ。

• 底が1より小さいのに不等号の向きを変えない：減少関数なので逆になる。
• 真数条件を忘れる：$\log_ax$ は $x>0$ のときだけ。
• $2^x=t$ とおいて $t>0$ を忘れる：負の解を捨てる。

練習問題

うかるくん

$2^x=t$ とおいたら、$t>0$ を忘れないようにしよう。

1. 大学受験 $2^{30}$、$3^{20}$ の大小を比べなさい。
   答えと解説を見る

   $2^{30}=8^{10}$、$3^{20}=9^{10}$。$2^{30}<3^{20}$
2. 大学受験 不等式 $2^x>8$ を解きなさい。
   答えと解説を見る

   $2^x>2^3$、底 $2>1$ より $x>3$
3. 大学受験 方程式 $\log_2(x-1)=3$ を解きなさい。
   答えと解説を見る

   $x-1=8$、$x=9$（真数 $8>0$ で適）

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