分数関数・無理関数のグラフ｜漸近線 x＝p, y＝q の理由・(ax＋b)/(cx＋d) の直し方・無理方程式の見かけの解と例題【数学Ⅲ・大学受験】

うかるくん

$\sqrt{x+2}=x$ を2乗して出た2つの解、両方とも答えでいいの？

合格先生

よくない。2乗すると $-\sqrt{x+2}=x$ の解もまざる。必ずもとの式で確かめよう。

分数関数・無理関数のグラフ

証明：平行移動と漸近線

$y=f(x)$ のグラフを $x$ 方向に $p$、$y$ 方向に $q$ 平行移動すると $y-q=f(x-p)$（二次関数の平行移動と同じ）。$y=\dfrac kx$ の漸近線は $x=0$ と $y=0$ なので、移動後は $x=p$ と $y=q$ です。

$x$ が $p$ に近づくと $\dfrac{k}{x-p}$ の分母が0に近づき、値はいくらでも大きく（小さく）なる。$x$ が限りなく大きくなると $\dfrac{k}{x-p}\to0$ で $y\to q$。これがグラフが近づいていく直線（漸近線）の意味です。

無理方程式の「見かけの解」

$\sqrt{x+2}=x$ を2乗すると $x+2=x^2$、$x=2,\ -1$。ところが $x=-1$ では左辺 $=1$、右辺 $=-1$ で成り立ちません。2乗すると $-\sqrt{x+2}=x$（点線のグラフ）の解までまざるからです。無理方程式は、2乗したら必ず確かめる（または $x\ge0$ の条件をつける）。

大学受験（数学Ⅲ）での使い方

よくある間違い

合格先生

$\dfrac{k}{x-p}$ の漸近線を $x=-p$ とするな。正しくは $x=p$ だ。

• 分数不等式で分母を払う：分母が負だと不等号の向きが変わる。グラフで考える。
• 無理方程式で確かめない：見かけの解がまざる。
• 漸近線を $x=-p$ とする：$\dfrac{k}{x-p}$ の漸近線は $x=p$。

練習問題

サクラちゃん

分数不等式は、グラフをかいて上下を読もう

1. 大学受験 $y=\dfrac{x+3}{x+1}$ の漸近線を求めなさい。
   答えと解説を見る

   $y=\dfrac{2}{x+1}+1$。$x=-1$、$y=1$
2. 大学受験 方程式 $\sqrt{2x+3}=x$ を解きなさい。
   答えと解説を見る

   $x\ge0$、$x^2-2x-3=0$。答え $x=3$
3. 大学受験 $y=\sqrt{x-1}$ の定義域と値域を答えなさい。
   答えと解説を見る

   定義域 $x\ge1$、値域 $y\ge0$

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