対数（log）とは？意味と性質をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

サクラちゃん

log って記号を見ただけで、もうお手上げです…

合格先生

$\log_2 8$ は「2 を何乗すると 8？」という質問だと思えばいいんだ。答えは 3。指数を逆から見ているだけだよ。

やさしく言うと

対数は、「ある数を何回かけたら、この数になる？」の答えです。たとえば「2 を何回かけたら 8 になる？」の答えは 3 回。これを $\log_2 8=3$ と書き、「ログ 2 の 8 は 3」と読みます。

身近なたとえで考えてみましょう。

• 紙を折る：紙を半分に折るたびに、重なりは 2 枚、4 枚、8 枚…と 2 倍になります。「32 枚の重なりにするには何回折る？」の答え 5 回が、$\log_2 32=5$ です。
• けた数と 0 の数：1000 は 10 を 3 回かけた数です（$10^3$）。だから $\log_{10}1000=3$。100 万なら 0 が 6 個なので $\log_{10}1000000=6$。底が 10 の対数は、だいたい「0 の数」を表しています。
• 地震のマグニチュード：マグニチュードが 1 大きいとエネルギーは約 32 倍、2 大きいと 1000 倍です。何千倍・何万倍というちがいを、小さな数のちがいで表せるのが対数の強みです。

つまり対数は、指数を逆から見たものです。指数は「3回かけたらいくつ？」、対数は「いくつになるには何回かける？」を表します。

対数の例

対数 $\log_a M$ は、底 $a$ が正の数で1でない、真数 $M$ が正の数のときだけ考えます。この $M>0$ を真数条件といいます。底が 1 だと何乗しても 1 なので、「何乗すれば 8 になるか」の答えが決まりません。

図で見る

紙を折る例を図にすると、「2 倍、2 倍…」とかけ算で増えていく量を、「何回」というたし算で数える量に直しているのがわかります。

次に、目もりが「1, 2, 4, 8, …」と2 倍ずつになっているものさしを考えます。はしから各目もりまでの長さは、$\log_2$ の値（0, 1, 2, 3, …）です。

うかるくん

このものさしだと、どうして「かけ算」が「たし算」になるんですか？

合格先生

$4=2^2$、$8=2^3$ だから $4\times8=2^{2+3}=2^5$。かけ算すると、肩の数（指数）はたし算になるよね。ものさしの長さは指数そのものだから、長さをつなぐとかけ算になるんだ。昔の「計算尺」という道具は、このしくみでかけ算をしていたんだよ。

対数の性質

対数のいちばん便利なところは、かけ算をたし算に直せることです。指数法則 $a^m\times a^n=a^{m+n}$ を、対数の言葉で言いかえたものです。

1 つ目の性質は、次のように確かめられます。$\log_aM=p$、$\log_aN=q$ とおくと、$M=a^p$、$N=a^q$ です。かけると $MN=a^p\times a^q=a^{p+q}$ なので、$\log_a(MN)=p+q=\log_aM+\log_aN$ です。

サクラちゃん

log₂8 は「2 を何乗すると 8？」と読みかえれば、すぐ分かるのね！

底の変換公式

底がちがう対数どうしは、そのままでは計算できません。そこで、底をそろえる公式を使います。

$$\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}\quad(c>0,\ c\ne1)$$

たとえば $\log_4 8$ は、底を 2 にそろえて $\dfrac{\log_2 8}{\log_2 4}=\dfrac32$ です（たしかめ：$4^{\frac32}=(\sqrt4)^3=2^3=8$）。電卓で対数を計算するときも、この公式で底を 10 などにそろえます。

常用対数と自然対数

底が 10 の対数を常用対数、底が $e$（約 2.718）の対数を自然対数といいます。常用対数を使うと、$2^{30}$ が何けたの数かなどを計算できます（$\log_{10}2\fallingdotseq0.3010$ より $30\times0.3010=9.03$ なので、$2^{30}$ は $10^9$ と $10^{10}$ の間にあり、10 けた）。くわしくは公式辞典の常用対数とけた数・最高位の数へ。

自然対数は、数学Ⅲの微分・積分で中心になる対数です。$e$ を底にすると、微分の式がいちばんすっきりするからです。

指数関数とのグラフの関係

$y=\log_2x$ は、$y=2^x$ の逆関数です。だから2つのグラフは、直線 $y=x$ について対称になります。

$y=\log_2x$ のグラフは、いつも点 $(1,\ 0)$ を通り、$x>0$ の部分だけにあります。$x$ が 0 に近づくと $y$ はどこまでも小さくなり、$y$ 軸が漸近線になります。底が 1 より大きいと右上がり（増加）、0 と 1 の間だと右下がり（減少）です。

テスト・入試ではこう出る

対数は高校の数学Ⅱ（指数関数・対数関数）で習います。定期テストや大学入試では、性質を使った計算、対数の方程式・不等式（真数条件が必ずからむ）、大小比較、常用対数を使ったけた数の問題がよく出ます。

うかるくん

方程式も不等式も、まず真数条件を書く。これを最初のくせにしよう！

まちがえやすい点

合格先生

$\log(M+N)$ は分けられない！ 分けられるのはかけ算 $\log(MN)$ だけだよ。

• たし算を分ける：$\log_a(M+N)=\log_aM+\log_aN$ は×。正しいのは $\log_a(MN)=\log_aM+\log_aN$（かけ算がたし算になる）です。たとえば $\log_2(4+4)=\log_2 8=3$ ですが、$\log_2 4+\log_2 4=4$ です。
• 対数どうしのわり算を、ひき算にする：$\dfrac{\log_2 8}{\log_2 4}$ を $\log_2 8-\log_2 4=1$ とするのは×。正しくは $\dfrac32$ です。ひき算になるのは $\log_2\dfrac84$（真数のわり算）のほうです。
• 2 乗の位置を取りちがえる：$(\log_2 8)^2=3^2=9$ と、$\log_2 8^2=2\log_2 8=6$ は別のものです。
• 真数条件を確かめない：対数の方程式・不等式では、最初に「真数 $>0$」を書き、出た答えがそれを満たすか確かめます。例題2の $x=-3$ のように、計算では出てきても答えにならない値があります。
• 底が1より小さいときの不等号：$\log_{\frac12}x<\log_{\frac12}3$ は $x>3$ です。底が 0 と 1 の間だと、不等号の向きが逆になります。

なお、高校数学では底を必ず書きますが、大学の数学や理科では $\log x$ だけで自然対数を表すことがあります。

ことばの由来・歴史

対数は、スコットランドのネイピア（John Napier）が 1614 年に発表しました。天文学や航海の計算では、けたの多いかけ算がたくさん必要でした。対数を使えば、かけ算をたし算に直して計算できるので、大きな助けになりました。その後、10 を底にした常用対数の表が作られ、長く使われました。

英語の logarithm（ロガリズム）は、ギリシャ語の logos（比・ことば）と arithmos（数）を組み合わせた言葉だとされています。記号の log は、その頭の文字です。

ミニ問題

関連する公式・用語

公式辞典で、くわしい証明と例題を見る

• 指数法則と対数の公式
• 指数関数・対数関数のグラフ
• 常用対数とけた数・最高位の数
• 自然対数の底 e の定義

あわせて覚えたい用語

• 指数
• 逆関数
• 漸近線

よくある質問