逆関数とは？意味と求め方・グラフをわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

うかるくん

$f^{-1}(x)$ って、$-1$ 乗だから $\dfrac1{f(x)}$ のことですよね？

合格先生

そこがいちばんのひっかけ！ $f^{-1}$ は「逆向きの関数」という記号で、逆数とは別ものなんだ。

やさしく言うと

関数を「数を入れると数が出てくる箱」と考えると、逆関数は出てきた数から、入れた数にもどす箱です。「2倍して1をたす」の逆関数は「1をひいて2で割る」です。

• 暗号と解読：アルファベットを3文字ずつずらして暗号にしたら、3文字もどせば元の文にもどります。「3文字もどす」が「3文字ずらす」の逆関数です。
• 温度の単位：セ氏 $C$ 度をカ氏にするには $F=1.8C+32$。逆に、カ氏からセ氏にもどすのは $C=\dfrac{F-32}{1.8}$ です。セ氏 25 度はカ氏 77 度、カ氏 77 度はセ氏 25 度。
• 行きと帰りの道順：「家 → 駅 → 学校」の道順を逆にたどると「学校 → 駅 → 家」。手順を逆の順番で、逆の操作にすると、もとにもどれます。

まとめると、逆関数は「答えから、入れた数をさがす関数」です。

逆関数の求め方

$y=f(x)$ を $x$ について解き、最後に $x$ と $y$ を入れかえます。定義域と値域も入れかわるので、それも書きます。

最後に $x$ と $y$ を入れかえるのは、「横軸を $x$、たて軸を $y$」というふだんの書き方にそろえるためです。入れかえる前の $x=\dfrac{y-1}{2}$ も、意味としては同じ逆の対応を表しています。

うかるくん

①値域を調べる ②$x$ について解く ③$x$ と $y$ を入れかえる。この3ステップだ！

逆関数がある・ない

逆関数があるのは、ちがう $x$ からは必ずちがう $y$ が出る（1対1の）関数です。$y=x^2$ のように同じ $y$ が2回出る関数は、定義域をしぼると逆関数を作れます。

図で見る

数の対応を矢印で表すと、逆関数があるかどうかがはっきりします。

右の $y=x^2$ では、$-2$ も $2$ も同じ 4 にうつります。4 から「もどす」とき、$-2$ と $2$ のどちらにすればよいか決まりません。関数は「1つの入力に1つの出力」でなければいけないので、このままでは逆関数が作れないのです。

グラフで見ると、横の直線と2回以上交わる関数は、逆関数を持ちません。そこで $x\geqq0$ の部分だけを使うと、横の直線と1回しか交わらなくなり、逆関数 $y=\sqrt x$ が作れます。

グラフは y＝x について対称

点 $(a,\ b)$ がもとのグラフにあれば、点 $(b,\ a)$ が逆関数のグラフにあります。だから、2つのグラフは直線 $y=x$ について対称です。

うかるくん

どうして $x$ と $y$ を入れかえると、$y=x$ で折り返した形になるんですか？

合格先生

点 $(1,\ 3)$ と点 $(3,\ 1)$ をむすぶと、その線分は直線 $y=x$ と垂直に交わり、まん中の点 $(2,\ 2)$ は $y=x$ の上にある。つまり2点は $y=x$ で折り返した位置にあるんだ。どの点でも同じだから、グラフ全体が対称になるんだよ。

うかるくん

グラフを直線 y＝x で折り返すと、逆関数のグラフになるんだ！

テスト・入試ではこう出る

逆関数は数学Ⅲの「関数」で習います。テストや入試では、逆関数の式と定義域を求める問題、$f^{-1}(a)$ の値を求める問題、もとの関数と逆関数のグラフの交点を求める問題が出ます。数学Ⅱでは、指数関数 $y=a^x$ と対数関数 $y=\log_a x$ のグラフが $y=x$ について対称になることを学び、これが逆関数の代表例です。

まちがえやすい点

合格先生

$f^{-1}(x)$ は逆数 $\dfrac1{f(x)}$ ではない！ もとにもどす関数だよ。

• $f^{-1}(x)$ を $\dfrac1{f(x)}$ と思う：$f^{-1}$ の「$-1$」は逆数ではなく、逆向きの関数という記号です。$y=2x+1$ の逆関数は $\dfrac1{2x+1}$ ではありません。
• 定義域を書かない：$y=x^2$（$x\geqq0$）の逆関数は $y=\sqrt x$ で、定義域はもとの値域 $x\geqq0$ です。
• 2次関数で $\pm$ を両方残す：例題2で $x=\pm\sqrt{y+2}$ と両方書くと、関数になりません。もとの定義域（$x\geqq0$）に合うほうだけを選びます。
• 「グラフの交点は必ず $y=x$ の上」と思う：増加する関数ならそうなりますが、減少する関数では $y=x$ の外でも交わることがあります。
• 入れかえ忘れ：$x$ について解いただけで止めると、$x=\dfrac{y-1}{2}$ のままです。答えとしては $x$ と $y$ を入れかえた $y=\dfrac{x-1}{2}$ の形で書きます。

ことばと記号

「逆関数」は、逆向きの対応を表す関数という意味です。英語では inverse function（インバース・ファンクション）といい、inverse は「逆の」という意味です。記号 $f^{-1}$ の右上の $-1$ は、「$f$ をもう一度逆にたどる」という気持ちを表しています。逆数の $-1$ 乗と同じ形なので、まちがえないように注意しましょう。

ミニ問題

関連する公式・用語

公式辞典で、くわしい証明と例題を見る

• 分数関数・無理関数
• 指数関数・対数関数のグラフ
• 指数法則と対数の公式

あわせて覚えたい用語

• 定義域と値域
• 単調増加
• 合成関数

よくある質問