単調増加とは？意味と微分との関係をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

うかるくん

$y=x^3$ って、$x=0$ で $f'(x)=0$ になりますよね。そこで増加が止まるんですか？

合格先生

止まらないよ。傾きが0になるのはその一瞬だけで、グラフは上がり続ける。だから $y=x^3$ は実数全体で単調増加なんだ。

やさしく言うと

グラフが左から右へずっと上がり続けること（右上がり）です。$x$ を大きくすると、$y$ も必ず大きくなります。一度でも下がったり、途中で平らになったりしてはいけません。身近な例で考えてみましょう。

• 上りのエスカレーター：上りのエスカレーターに乗っていると、時間がたつほど高い所へ行きます。時間 $x$ と高さ $y$ の関係は、単調増加です。
• ボールを投げ上げる：真上に投げたボールは、はじめは上がり、いちばん高い所で止まり、そのあと落ちてきます。全体では単調増加ではありませんが、「投げてから最高点まで」の範囲だけなら単調増加です。
• タクシーの料金：走った距離がのびると料金は上がりますが、ある距離まで料金が変わらない所があります。こうした「平らな所をふくむ」上がり方は、等号をふくむ広義の増加です（下の「呼び方の揺れ」）。

反対に、ずっと右下がり（$x_1<x_2$ なら $f(x_1)>f(x_2)$）を単調減少といいます。増加と減少をまとめて単調といいます。つまり単調増加は、「どの2点を比べても、右にある点のほうが高い」ということです。

単調増加の例と、そうでない例

同じ関数でも、どの範囲で考えるかで答えが変わります。単調増加かどうかは、関数だけでなく範囲とセットで決まる性質です。

図で見る

$y=x^2$ のグラフを、$y$ 軸の左と右に分けて見てみましょう。左半分は右下がり、右半分は右上がりです。

このように、多くの関数は「増加する部分」と「減少する部分」に分けられます。分かれ目の点は、山の頂上（極大）や谷の底（極小）になります。次の図は、数学Ⅱでよく出る3次関数 $y=x^3-3x$ です。

サクラちゃん

増加と減少の境目の $x=-1$ は、増加の範囲と減少の範囲、どっちに入れるんですか？

合格先生

高校の教科書では、両方に入れて「$x\le-1$ で増加、$-1\le x\le1$ で減少」と書くのがふつうだよ。端の1点を入れても、増加・減少の定義はくずれないからね。

微分との関係

導関数 $f'(x)$ は、その点での接線の傾きです。傾きがずっと正なら、グラフは上がり続けます。だから増減を調べるときは、$f'(x)$ の符号を調べて増減表にまとめます。

ただし「$f'(x)>0$ なら増加」は正しいですが、逆は成り立ちません。$y=x^3$ は $x=0$ で $f'(0)=0$ ですが、実数全体で単調増加です。

うかるくん

傾き0の点が1つあっても、その前後でずっと上がっていれば増加なんだ！

サクラちゃん

導関数がずっと正なら、その範囲で単調増加だとわかるのよ！

単調な関数の便利な性質

• 最大・最小は端で決まる：$a\le x\le b$ で単調増加なら、最小値は $f(a)$、最大値は $f(b)$ です。グラフをかかなくても答えが出ます。
• 同じ値を2回とらない：単調増加なら、$x$ がちがえば $y$ も必ずちがいます。だから $f(x)=k$ の解は多くても1つで、逆関数を考えることができます。
• 不等式をそのまま移せる：$f$ が単調増加なら、「$f(x)<f(y)$」と「$x<y$」は同じことです。対数の不等式で「底が1より大きいとき、不等号の向きはそのまま」なのは、このためです。

「単調増加」の呼び方の揺れ

本によって、等号をふくむかどうかがちがいます。

• 狭義単調増加：$x_1<x_2$ なら $f(x_1)<f(x_2)$。高校の教科書の「増加」はこちらです。このページもこの意味で使っています。
• 広義単調増加（単調非減少）：$x_1<x_2$ なら $f(x_1)\le f(x_2)$。途中で平らな所があってもよい。大学の本では、こちらを「単調増加」と呼ぶこともあります。

大学の数学や数列の問題で出会ったら、等号をふくむかどうかを確かめましょう。数列でも、$a_1<a_2<a_3<\cdots$ のように項が大きくなり続けることを「単調に増加する」といいます。

テスト・入試ではこう出る

関数の増加・減少は、数学Ⅱの微分（関数の増減）で本格的に習います。定期テストや大学入試では、導関数の符号から増減表を作る問題、極値・最大最小を求める問題、「つねに増加する」ための係数の条件を求める問題がよく出ます。数学Ⅲでは、不等式の証明に「単調増加であること」を使う問題も定番です。

合格先生

「つねに増加」の条件は f′(x)≧0。等号を落とすと、y＝x³ のような場合を取りこぼすぞ！

まちがえやすい点

合格先生

「単調増加」と言うときは、どの範囲でかを必ずそえよう！

• 「増加なら $f'(x)>0$」と思う：$y=x^3$ のように、傾き0の点があっても増加することがあります。例題2で $a>0$ と答えてしまうのは、このまちがいです。
• 範囲を書かない：「$y=x^2$ は単調増加」だけでは×。「$x\ge0$ で単調増加」のように範囲をそえます。
• 一部分だけ見て「単調増加」と言う：途中で一度でも下がれば、その範囲全体では単調増加ではありません。
• $f'(x)=0$ の点を極値と決めつける：$y=x^3$ の $x=0$ は、傾き0ですが極値ではありません。増減表で、符号が変わるかどうかを確かめます。
• グラフの「上にある」と「上がっている」を混同する：$y>0$（$x$ 軸より上）かどうかと、増加かどうかは別のことです。$y=-x+3$ は $x<3$ で $y>0$ ですが、ずっと減少しています。

ミニ問題

関連する公式・用語

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• 微分と増減・極値
• 微分の公式
• 一次関数
• 指数関数・対数関数のグラフ

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