極値とは？極大値・極小値の意味と求め方をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

うかるくん

$f'(x)=0$ になる所が極値ですよね？

合格先生

それだけでは足りないんだ。$f'(x)$ の符号が変わることが大事。$y=x^3$ は $f'(0)=0$ だけど、極値じゃないよ。

やさしく言うと

グラフを山道にたとえると、極大値は「山の頂上」、極小値は「谷の底」の高さです。のぼり（増加）からくだり（減少）に変わる所が極大、くだりからのぼりに変わる所が極小です。2つをまとめて極値といいます。ほかにも、こんな例があります。

• 投げ上げたボール：のぼっていたボールが、てっぺんで一瞬止まり、落ち始めます。てっぺんの高さが「極大」です。
• ジェットコースター：山と谷がいくつもあります。山の頂上はどれも「極大」ですが、いちばん高い山だけが「最大」です。
• 1 日の気温：朝に下がって、昼に上がり、夜にまた下がるとき、朝のいちばん寒い所は「谷の底」（極小）、昼のいちばん暑い所は「山の頂上」（極大）にあたります。

正確には、$x=a$ の近くで、$x\ne a$ ならいつも $f(x)<f(a)$ のとき $f(a)$ を極大値、いつも $f(x)>f(a)$ のとき極小値といいます。まとめると、極値は「近くの中で」いちばん大きい・小さい値です。

極値がある関数・ない関数

グラフに「山」か「谷」があるかどうかで決まります。ずっと増加、またはずっと減少する関数には極値がありません。

合格先生

極値は「向きが変わる所」。増加→減少なら極大、減少→増加なら極小だ！

図で見る

山の頂上の前後で、グラフの接線の傾きがどう変わるかを見てみましょう。頂上の左では右上がり（傾き＋）、頂上でちょうど水平（傾き 0）、右では右下がり（傾き−）です。

接線の傾きは導関数 $f'(x)$ の値です。だから、$f'(x)$ のグラフをかくと、$f'(x)$ が $x$ 軸を横切る所が極値の場所になります。

うかるくん

$f'(x)$ が 0 になる所を探せばいいなら、増減表なんていらなくないですか？

合格先生

0 になるだけでは足りないんだ。大事なのは、そこで $f'(x)$ が$x$ 軸を横切る（符号が変わる）かどうか。$x$ 軸にふれるだけで、はね返る場合もあるからね。それを確かめるのが増減表だよ。

極値の求め方（増減表）

1. 導関数 $f'(x)$ を求める
2. $f'(x)=0$ となる $x$ を求める
3. 増減表をかき、その前後で $f'(x)$ の符号が変わるかを調べる
4. 符号が変わる所で $f(x)$ の値を計算する

例：$f(x)=x^3-3x$ なら、$f'(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)$ で、$f'(x)=0$ となるのは $x=\pm1$ です。

$f'(x)$ が＋から−に変われば極大、−から＋に変われば極小です。$f'(x)$ の符号は、因数分解した形から、それぞれの区間の数を1つ入れてみると確かめられます。

f′(a)＝0 でも極値とは限らない

$f(x)=x^3$ は $f'(x)=3x^2$ で、$f'(0)=0$ です。しかし $x=0$ の前後で $f'(x)>0$ のままなので、ずっと増加しています。だから $x=0$ で極値をとりません。

3次関数 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ が極値をもつのは、$f'(x)=0$ が異なる2つの実数解をもつとき、つまり $f'(x)$ の判別式が正のときです。重解のときは、$y=x^3$ と同じで符号が変わりません。

極値と最大値・最小値のちがい

極大値は「その近くでいちばん大きい値」で、全体での最大値とは限りません。図1の $-2.1\leqq x\leqq2.3$ の範囲では、右はし $x=2.3$ での値（約 5.27）が極大値 2 より大きく、左はし $x=-2.1$ での値（約 $-2.96$）は極小値 $-2$ より小さいです。

最大値・最小値を求めるときは、極値と、範囲の両はしの値をくらべます。

サクラちゃん

極大値が最大値とは限らないの。端の値もくらべなきゃ！

テスト・入試ではこう出る

極値は、高校の数学Ⅱ（微分）で習います。定期テストでは増減表をかいて極値を求める問題、大学入試では極値をもつ条件（判別式）、極値から係数を決める問題、最大・最小の問題がよく出ます。数学Ⅲでは、三角関数や指数関数・対数関数をふくむ関数の極値も求めます。

うかるくん

増減表をかけば、極大も極小も一目で分かる。答案にも必ずかこう！

まちがえやすい点

合格先生

$f'(a)=0$ だけで極値と決めない！ 増減表で符号の変化を確かめよう。

• $f'(a)=0$ なら極値だと決めつける：$y=x^3$ の $x=0$ のように、符号が変わらなければ極値ではありません。増減表で確かめます。
• 極大値＝最大値と思う：極大値は近くでの最大にすぎません。極大値が極小値より小さいことさえあります。$y=x+\dfrac1x$ は $x=-1$ で極大値 $-2$、$x=1$ で極小値 $2$ です。
• 範囲のはしを極値にする：高校の教科書では、極値はその点の両側を見て決めるので、範囲のはしの値は極値とはいいません（最大値・最小値にはなることがあります）。
• $x$ の値だけ答える：「極値を求めよ」と聞かれたら、答えは $f(a)$ の値です。「$x=-1$ で極大値 2」のように、場所と値をセットで書きます。
• $f'(x)$ の符号と $f(x)$ の符号をまぜる：増減表の＋・−は $f'(x)$（傾き）の符号です。$f(x)$ が正か負かとは関係ありません。

ことばの由来

「極」は「きわみ・いちばんはし」という意味の漢字です（北極・極限など）。極大は「その近くでのきわみの大きさ」、極小は「きわみの小ささ」を表します。英語では極大値を local maximum、極小値を local minimum といい、local（その場所の、局所的な）という言葉が「近くの中で」という意味をよく表しています。

ミニ問題

関連する公式・用語

公式辞典で、くわしい証明と例題を見る

• 微分と増減・極値
• 微分の公式
• 2次関数の最大・最小（場合分け）
• 2変数関数の極値（ヘッセ行列）

あわせて覚えたい用語

• 微分係数と導関数
• 最大値・最小値
• 変曲点

よくある質問