変曲点とは？意味と求め方をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

変曲点とは？意味と求め方をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

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大学受験

変曲点とは

グラフの凹凸（へこみ方）が入れかわる境目の点です。上に凸から下に凸へ（またはその逆へ）変わる点で、第2次導関数 f′′(x)f''(x) の符号が変わる点として求めます。

読み方：へんきょくてん／英語：inflection point／習う学年：数学Ⅲ（微分法の応用：グラフの凹凸）

うかるくん

うかるくん

変曲点って、f′′(x)=0f''(x)=0 を解けば出てきますよね？

合格先生

合格先生

それは候補が出るだけ。前後で f′′(x)f''(x) の符号が変わるかを確かめて、はじめて変曲点だといえるんだ。

この用語のポイント

  • 変曲点 ＝ 凹凸が入れかわる点（S字の真ん中）
  • f′′(x)f''(x) の符号が変わる点をさがす
  • f′′=0f''=0 でも変曲点とは限らない（y=x4y=x^4 の原点）

やさしく言うと

変曲点は、グラフの曲がる向き（へこみ方）が入れかわる点です。たとえ話で考えてみましょう。

  • S字カーブ：車でS字カーブを走ると、左に切っていたハンドルが、ある所から右に切りかわります。その切りかわる地点が変曲点です。
  • 人気の広がり方：新しい商品の売れた数の合計は、はじめは増え方がどんどん速くなり、あるときから増え方がゆるやかになることがあります。「速くなる」から「ゆるやかになる」へ変わる時点が変曲点にあたります。
  • 坂道のいちばん急なところ：なだらかな坂がだんだん急になり、また、なだらかになる。いちばん急なところが変曲点です。

まとめると、変曲点は曲がり方の「境目」です。山や谷のてっぺん（極値）とは別のものです。

xy 1 (1, −2) 上に凸 下に凸 変曲点 凹凸が 入れかわる点 y ＝ x³ − 3x²
上に凸から下に凸に変わる点 (1, −2) が変曲点

変曲点の例

○ 変曲点

  • y=x3y=x^3 の原点（上に凸 → 下に凸）
  • y=x3−3x2y=x^3-3x^2 の点 (1, −2)(1,\ -2)
  • y=sin⁡xy=\sin x の点 (π, 0)(\pi,\ 0)（上に凸 → 下に凸）
  • 3次関数のグラフの、ちょうど1つある変曲点
  • y=x4−6x2y=x^4-6x^2 の点 (±1, −5)(\pm1,\ -5)
  • y=11+x2y=\dfrac{1}{1+x^2} のような、つり鐘の形の曲線の左右の肩

× 変曲点ではない

  • y=x4y=x^4 の原点（y′′=0y''=0 だが符号が変わらない）
  • y=x2y=x^2（ずっと下に凸）
  • y=x3−3x2y=x^3-3x^2 の点 (0, 0)(0,\ 0)（極大。凹凸は変わらない）
  • y=exy=e^x（ずっと下に凸）
  • 直線 y=2x+1y=2x+1（曲がっていない）
  • y=1xy=\dfrac1x の x=0x=0（グラフがそこにない）

判断のポイントは、その点の左右で凹凸が本当に入れかわっているかです。極大・極小の点は「上がる・下がる」が入れかわる点で、凹凸とは関係ありません。

変曲点の求め方

グラフの凹凸は、第2次導関数 f′′(x)f''(x) の符号でわかります。f′′(x)>0f''(x)>0 なら下に凸、f′′(x)<0f''(x)<0 なら上に凸です。だから、f′′(x)f''(x) の符号が変わる点が変曲点です。

例：y=x3−3x2y=x^3-3x^2

y′=3x2−6xy'=3x^2-6x、y′′=6x−6=6(x−1)y''=6x-6=6(x-1)。

xx⋯\cdots11⋯\cdots
y′′y''−-00++
yy上に凸−2-2下に凸

x=1x=1 の前後で y′′y'' の符号が変わるので、変曲点は 点 (1, −2)(1,\ -2) です。手順をまとめると、次の3つです。

  1. f′′(x)f''(x) を求める。
  2. f′′(x)=0f''(x)=0 となる xx（変曲点の候補）を求める。
  3. 候補の前後で f′′(x)f''(x) の符号が変わるかを表で確かめ、変わる点の yy 座標も求める。
○の札を持つうかるくん

うかるくん

2回微分した符号が入れかわる点が変曲点だ。符号を確かめよう！

図で見る（接線と、増減・凹凸表）

変曲点では、接線の傾き f′(x)f'(x) が最大か最小になります。y=x3−3x2y=x^3-3x^2 では f′(x)=3x2−6x=3(x−1)2−3f'(x)=3x^2-6x=3(x-1)^2-3 なので、x=1x=1 で傾きがいちばん小さい −3-3 になります。

xy (1, −2) 接線y＝−3x＋1 変曲点の接線は 曲線を横切る 傾き −3 が いちばん急な下り
変曲点での接線は曲線を横切る

ふつう、接線は曲線の片側にありますが、変曲点の接線は曲線を横切ります。x3−3x2−(−3x+1)=(x−1)3x^3-3x^2-(-3x+1)=(x-1)^3 なので、x<1x<1 では曲線が接線の下、x>1x>1 では上にあります。

サクラちゃん

サクラちゃん

グラフの概形をかくとき、増減と凹凸を別々に調べるんですか？

合格先生

合格先生

1つの表にまとめると楽だよ。y′y' の行で上がる・下がる、y′′y'' の行で凹凸を調べて、yy の行に曲がった矢印をかくんだ。

x…0…1…2…y'+0−−−0+y''−−−0+++y0−2−4 y ＝ x³ − 3x² の増減・凹凸表 緑のわく：y″ の符号が − から ＋ に変わる → 変曲点 (1, −2) x＝0 は極大、x＝2 は極小（y′ の符号が変わる点）
増減と凹凸を1つの表に。y″ の符号が変わる x＝1 が変曲点

この表を見ると、x=0x=0 で極大、x=1x=1 で変曲点、x=2x=2 で極小と、グラフの形がすべて読み取れます。なお、3次関数のグラフは、変曲点について点対称になっています。

f″＝0 でも変曲点とは限らない

y=x4y=x^4 は y′′=12x2y''=12x^2 で、x=0x=0 のとき y′′=0y''=0 です。でも、x=0x=0 の前後で y′′≥0y''\ge0 のままなので、符号が変わらず、変曲点ではありません。

y ＝ x³ 原点は変曲点 ○ 凹凸が入れかわる y ＝ x⁴ 変曲点ではない × ずっと下に凸
x³ の原点は変曲点、x⁴ の原点は変曲点ではない

なお、変曲点の定義は本によって少しちがい、「f′′(x)f''(x) の符号が変わる点」とする本、「凹凸が変わる点」とする本などがあります。このページでは凹凸が入れかわる点（ふつうの関数では f′′(x)f''(x) の符号が変わる点）の意味で使います。

テスト・入試ではこう出る

数学Ⅲの微分法の応用で、グラフの概形をかく問題の一部として出ます。増減と凹凸を表にまとめ、極値・変曲点・漸近線を調べてグラフをかく流れです。大学入試では、exe^x や log⁡x\log x、三角関数をふくむ関数の変曲点を求める問題や、「変曲点をもつ条件」を求める問題も見られます。

例題1（3次関数）

y=x3−6x2+9x+1y=x^3-6x^2+9x+1 の変曲点を求めなさい。

  1. y′=3x2−12x+9=3(x−1)(x−3)y'=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)。x=1x=1 で極大、x=3x=3 で極小。
  2. y′′=6x−12=6(x−2)y''=6x-12=6(x-2)。x<2x<2 で y′′<0y''<0（上に凸）、x>2x>2 で y′′>0y''>0（下に凸）。
  3. x=2x=2 の前後で符号が変わるので、変曲点。y=8−24+18+1=3y=8-24+18+1=3。

答え　変曲点 (2, 3)(2,\ 3)（極大 (1, 5)(1,\ 5) と極小 (3, 1)(3,\ 1) のちょうど真ん中）

例題2（4次関数）

y=x4−6x2y=x^4-6x^2 の変曲点を求め、凹凸を調べなさい。

  1. y′=4x3−12xy'=4x^3-12x、y′′=12x2−12=12(x+1)(x−1)y''=12x^2-12=12(x+1)(x-1)。
  2. y′′y'' の符号：x<−1x<-1 で ++、−1<x<1-1<x<1 で −-、x>1x>1 で ++。
  3. x=±1x=\pm1 の両方で符号が変わる。y=1−6=−5y=1-6=-5。
  4. x<−1x<-1 と x>1x>1 で下に凸、−1<x<1-1<x<1 で上に凸。

答え　変曲点 (−1, −5)(-1,\ -5)、(1, −5)(1,\ -5)

ひらめいたサクラちゃん

サクラちゃん

3次関数の変曲点は、極大と極小のちょうど真ん中にあるのね！

まちがえやすい点

腕でバツを作る合格先生

合格先生

f′′(a)=0f''(a)=0 だけでは決まらない！ 前後の符号を表で確かめよう。

  • f′′(a)=0f''(a)=0 だけで変曲点と決める：y=x4y=x^4 の原点のように、符号が変わらなければ変曲点ではありません。増減表（凹凸表）で前後の符号を確かめます。
  • 極値と混同する：極値は f′(x)f'(x) の符号が変わる点（山や谷）、変曲点は f′′(x)f''(x) の符号が変わる点（曲がり方の境目）です。
  • 答えを xx の値だけにする：変曲点は点なので、(1, −2)(1,\ -2) のように座標で答えます。
  • 「変曲点では接線の傾きが0」と思う：y=x3y=x^3 の原点は傾き0ですが、y=x3−3x2y=x^3-3x^2 の変曲点の傾きは −3-3 です。傾きが0とは限りません。
  • 上に凸・下に凸を逆にする：f′′(x)>0f''(x)>0 は「下に凸」（お椀の形）です。y=x2y=x^2 は y′′=2>0y''=2>0 で下に凸、と覚えておくと確かめられます。

ことばの由来

変曲は「曲がり方が変わる」という意味です。英語では inflection point（インフレクション ポイント）といい、inflection は「曲げること・向きを変えること」を表します。ビジネスの話で「転換点」という意味で使われることもあります。

ミニ問題

問題1　y=x3+3x2y=x^3+3x^2 の変曲点を求めましょう。

答えと解き方を見る

点 (−1, 2)(-1,\ 2) です。

y′=3x2+6xy'=3x^2+6x、y′′=6x+6=6(x+1)y''=6x+6=6(x+1)。x=−1x=-1 の前後で y′′y'' は −- から ++ に変わります。x=−1x=-1 のとき y=−1+3=2y=-1+3=2 です。

問題2　y=x4−4x3y=x^4-4x^3 の変曲点を、すべて求めましょう。

答えと解き方を見る

点 (0, 0)(0,\ 0) と 点 (2, −16)(2,\ -16) の2つです。

  1. y′=4x3−12x2y'=4x^3-12x^2、y′′=12x2−24x=12x(x−2)y''=12x^2-24x=12x(x-2)。
  2. y′′y'' は x<0x<0 で ++、0<x<20<x<2 で −-、x>2x>2 で ++。x=0x=0 と x=2x=2 の両方で符号が変わる。
  3. x=0x=0 のとき y=0y=0、x=2x=2 のとき y=16−32=−16y=16-32=-16。

y′=4x2(x−3)y'=4x^2(x-3) なので、x=0x=0 では y′=0y'=0 でも極値ではありません。原点は「傾き0の変曲点」です。

問題3　0<x<2π0<x<2\pi で、y=x+sin⁡xy=x+\sin x の変曲点を求めましょう。

答えと解き方を見る

点 (π, π)(\pi,\ \pi) です。

y′=1+cos⁡xy'=1+\cos x、y′′=−sin⁡xy''=-\sin x。0<x<π0<x<\pi で sin⁡x>0\sin x>0 なので y′′<0y''<0（上に凸）、π<x<2π\pi<x<2\pi で sin⁡x<0\sin x<0 なので y′′>0y''>0（下に凸）。x=πx=\pi で符号が変わり、そのとき y=π+sin⁡π=πy=\pi+\sin\pi=\pi です。

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よくある質問

変曲点とはどういう意味ですか？

グラフの凹凸（へこみ方）が入れかわる境目の点です。上に凸から下に凸へ、または下に凸から上に凸へ変わる点です。

変曲点の求め方は？

第2次導関数 f″(x) を求め、f″(x)＝0 となる x の前後で符号が変わるかを確かめます。変わればその点が変曲点です。

f″(x)＝0 なら必ず変曲点ですか？

ちがいます。y＝x⁴ は x＝0 で f″(0)＝0 ですが、前後でずっと下に凸なので変曲点ではありません。

変曲点と極値のちがいは？

極値は f′(x) の符号が変わる点（山や谷）、変曲点は f″(x) の符号が変わる点（曲がり方の境目）です。

変曲点での接線にはどんな特ちょうがありますか？

変曲点での接線は、曲線を横切ります。また、変曲点では接線の傾きが、そのまわりで最大または最小になります。

変曲点は何年生で習いますか？

高校の数学Ⅲの微分法の応用（グラフの凹凸）で習います。

出典・参考

  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編」数学Ⅲ（微分法：導関数の応用）

最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦