最大値・最小値とは？意味と求め方をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

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最大値・最小値とは

関数がとる値のうち、いちばん大きい値が最大値、いちばん小さい値が最小値です。たとえば y=(x−1)2+1y=(x-1)^2+1（0≤x≤30\le x\le3）は、x=3x=3 で最大値5、x=1x=1 で最小値1をとります。

読み方：さいだいち・さいしょうち／英語：maximum and minimum／習う学年：数学Ⅰ（2次関数の最大・最小）

サクラちゃん

サクラちゃん

2次関数の最大値って、頂点のところですよね？

合格先生

合格先生

下に開いたグラフならそうなることもあるけど、定義域の端で最大になることも多いんだ。頂点と両端をいつも調べるのがコツだよ。

この用語のポイント

  • 最大値 ＝ いちばん大きい値、最小値 ＝ いちばん小さい値
  • 2次関数では「頂点」と「定義域の両端」を調べる
  • 答えにはそのときの xx も書く。ない場合もある

やさしく言うと

最大値はいちばん大きい値、最小値はいちばん小さい値です。

  • 天気予報：「最高気温」「最低気温」は、1日の気温の最大値と最小値です。
  • テストの点：クラスの最高点と最低点は、点数の最大値と最小値です。
  • ボールを投げ上げる：ボールの高さは、上がって下がる山の形（放物線）になります。いちばん高くなったところが、高さの最大値です。
03691215182124101520 時こく（時）気温（℃） 最大値 20℃（15時） 最小値 9℃（6時）
ある日の気温（例）。最高気温が最大値、最低気温が最小値

数学では、おもに関数の値の最大・最小を考えます。関数 y=f(x)y=f(x) の xx が決められた範囲（定義域）を動くとき、yy がとる値のうちいちばん大きいものが最大値、いちばん小さいものが最小値です。

まとめると、「範囲の中で、yy がいちばん大きく（小さく）なる値」が最大値（最小値）です。

最大値・最小値の例

○ 最大値・最小値がある

  • y=x2y=x^2（−1≤x≤2-1\le x\le2）：最大値 4（x=2x=2）、最小値 0（x=0x=0）
  • y=2x+1y=2x+1（1≤x≤31\le x\le3）：最大値 7（x=3x=3）、最小値 3（x=1x=1）
  • y=x2y=x^2（xx はすべての実数）：最小値 0（x=0x=0）
  • y=−x2+4y=-x^2+4（すべての実数）：最大値 4（x=0x=0）
  • y=−2x+3y=-2x+3（−1≤x≤2-1\le x\le2）：最大値 5、最小値 −1-1
  • 気温の記録：最高気温 20℃、最低気温 9℃

× 最大値や最小値がない

  • y=x2y=x^2（xx はすべての実数）：最大値はない（いくらでも大きくなる）
  • y=xy=x（0<x<10<x<1）：端をふくまないので、最大値も最小値もない
  • y=2x+1y=2x+1（すべての実数）：どちらもない
  • y=x2y=x^2（0<x≤20<x\le2）：最大値 4 はあるが、最小値はない（0 に近づくだけ）
  • y=1xy=\dfrac1x（x>0x>0）：どちらもない

最大値・最小値は、いつもあるとは限りません。範囲の端をふくむか（≤\le か << か）で答えが変わります。

図で見る（2次関数の場合）

2次関数では、グラフをかいて、「頂点」と「定義域の両端」を調べるのが基本です。

xyO 512 13 最大値 5（x＝3） 最小値 1（x＝1） 定義域 0≦x≦3 右の「端」で最大「頂点」で最小
y＝(x−1)²＋1（0≦x≦3）。頂点で最小値1、右の端で最大値5
調べる点xxy=(x−1)2+1y=(x-1)^2+1 の値
左の端02
頂点11（最小値）
右の端35（最大値）

答えるときは、「x=3x=3 のとき最大値5、x=1x=1 のとき最小値1」のように、そのときの xx もいっしょに書くのが決まりです。頂点を求めるには平方完成を使います。

指さして説明するサクラちゃん

サクラちゃん

最大・最小は、定義域の「端」と「頂点」を必ずチェックね！

同じ関数でも、定義域がどこにあるかで、最小値をとる場所が変わります。

2 0≦x≦1（軸より左） x＝1 で最小 2 1≦x≦3（軸をふくむ） x＝2 で最小 2 3≦x≦4（軸より右） x＝3 で最小
定義域が軸より左・軸をふくむ・軸より右で、最小になる点が変わる

下に凸のグラフでは、定義域が軸をふくめば頂点で最小、ふくまなければ軸に近いほうの端で最小です。最大値は、軸から遠いほうの端でとります。これが入試でよく出る「場合分け」の考え方です。

うかるくん

うかるくん

定義域が文字で 0≤x≤a0\le x\le a みたいになっていたら、どうするんですか？

合格先生

合格先生

aa の大きさによって、軸が範囲に入るかどうかが変わるよね。だから「軸より左か、軸をふくむか」で場合分けするんだ。図をかいて、範囲をずらしながら考えるのがコツだよ。

一次関数なら両端だけ

一次関数のグラフは直線なので、山や谷がありません。だから最大値・最小値は必ず定義域の両端でとります。傾きが正なら右の端で最大、傾きが負なら左の端で最大です。中学では、こうした yy の範囲を「変域」として学びます。

極大値・極小値とのちがい

数学Ⅱ・Ⅲの微分で習う極大値・極小値は、そのまわりだけで見ていちばん大きい（小さい）値です。山の頂上のようなもので、もっと高い山がほかにあってもかまいません。最大値は定義域全体でいちばん大きい値なので、極大値が最大値になるとは限りません。3次関数などの最大・最小では、極値と両端の値をくらべて決めます。

テスト・入試ではこう出る

2次関数の最大値・最小値は、高校の数学Ⅰで習います。定期テストや大学入試では、定義域つきの最大・最小、定義域や軸に文字をふくむ場合分け、面積や利益を最大にする文章題がよく出ます。数学Ⅱ・Ⅲでは、微分を使って3次関数などの最大・最小を求めます。

例題1（定義域つきの最大・最小）

y=x2−4x+5y=x^2-4x+5（0≤x≤50\le x\le5）の最大値と最小値を求めなさい。

  1. 平方完成：y=x2−4x+5=(x−2)2+1y=x^2-4x+5=(x-2)^2+1。下に凸で、頂点は (2, 1)(2,\ 1)。
  2. 頂点の x=2x=2 は 0≤x≤50\le x\le5 に入るので、最小値は 1。
  3. 両端の値：x=0x=0 で y=5y=5、x=5x=5 で y=25−20+5=10y=25-20+5=10。軸 x=2x=2 から遠い x=5x=5 のほうが大きい。

答え　x=5x=5 のとき最大値 10、x=2x=2 のとき最小値 1

例題2（文章題）

まわりの長さが 20m の長方形の花だんを作ります。面積をいちばん大きくするには、たてと横を何 m にすればよいですか。また、そのときの面積を求めなさい。

  1. 横を xx m とすると、たて ＋ 横 ＝ 20÷2=1020\div2=10 なので、たては (10−x)(10-x) m。長さは正なので 0<x<100<x<10。
  2. 面積 y=x(10−x)=−x2+10x=−(x−5)2+25y=x(10-x)=-x^2+10x=-(x-5)^2+25。
  3. 上に凸で、頂点 x=5x=5 は範囲に入るので、x=5x=5 のとき最大値 25。
  4. このとき、たても 10−5=510-5=5 m で、正方形になる。

答え　横 5m・たて 5m（正方形）のとき、面積の最大値は 25m²

246810510152025 x（m）y（m²）0 最大値 25（x＝5） x10−x まわり 20m 正方形で最大
まわり20mの長方形は、1辺5mの正方形のとき面積が最大

まちがえやすい点

腕でバツを作る合格先生

合格先生

頂点だけ見るのは×！ 定義域の両端も必ず調べよう。

  • 頂点だけ見て、端を調べない：y=(x−1)2+1y=(x-1)^2+1（0≤x≤30\le x\le3）では、最大値は頂点ではなく右の端 x=3x=3 でとります。
  • 最大値と、そのときの xx をまぜる：「最大値は 3」と答えるのは×。最大値は yy の値 5 で、3 はそのときの xx です。
  • 頂点が定義域の外にあるのに使う：y=(x−2)2y=(x-2)^2（3≤x≤43\le x\le4）で「最小値 0」とするのは×。x=2x=2 は範囲の外なので、最小値は x=3x=3 のときの 1 です。
  • 「ない」場合を見落とす：0<x<10<x<1 のように端をふくまない範囲や、グラフがどこまでも上がる場合は、最大値（最小値）がないことがあります。
  • 文章題で xx の範囲を書き忘れる：長さや個数は正の数などの条件があります。範囲を決めてから最大・最小を考えましょう。

ことばの由来

英語では、最大値を maximum（マキシマム）、最小値を minimum（ミニマム）といいます。どちらもラテン語から来た言葉で、「いちばん大きいもの」「いちばん小さいもの」という意味です。日本語でも「マックス」「ミニマム」とよく使いますね。「値」は、関数がとるあたい（数）のことです。

ミニ問題

問題1　一次関数 y=−2x+3y=-2x+3（−1≤x≤2-1\le x\le2）の最大値と最小値を求めましょう。

答えと解き方を見る

傾きが負なので、xx が大きいほど yy は小さくなります。だから両端を調べれば十分です。
x=−1x=-1 のとき y=5y=5、x=2x=2 のとき y=−1y=-1。
x=−1x=-1 のとき最大値 5、x=2x=2 のとき最小値 −1-1 です。

問題2　y=−x2+2x+3y=-x^2+2x+3（0≤x≤30\le x\le3）の最大値と最小値を求めましょう。

答えと解き方を見る
  1. 平方完成：y=−(x−1)2+4y=-(x-1)^2+4。上に凸で、頂点は (1, 4)(1,\ 4)。
  2. 頂点 x=1x=1 は定義域に入っているので、最大値は 4。
  3. 両端：x=0x=0 で y=3y=3、x=3x=3 で y=−9+6+3=0y=-9+6+3=0。軸から遠い x=3x=3 で最小。

x=1x=1 のとき最大値 4、x=3x=3 のとき最小値 0 です。

問題3　y=x2−2xy=x^2-2x（−1<x≤2-1<x\le2）に、最大値・最小値はありますか。

答えと解き方を見る
  1. y=(x−1)2−1y=(x-1)^2-1 で、頂点 (1, −1)(1,\ -1) は範囲に入るので、x=1x=1 のとき最小値 −1-1。
  2. x=2x=2 のとき y=0y=0。左の端 x=−1x=-1 では y=3y=3 になりますが、−1<x-1<x なので x=−1x=-1 はふくまれません。
  3. yy は 3 にいくらでも近づくのに、3 にはなりません。だから最大値はありません。
大喜びするうかるくん

うかるくん

グラフをかいて、頂点と両端をチェック。これで最大・最小は迷わない！

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よくある質問

最大値・最小値とは何ですか？

関数がとる値のうち、いちばん大きい値が最大値、いちばん小さい値が最小値です。

2次関数の最大値・最小値はどう求めますか？

グラフをかき、頂点と定義域の両端での値を調べて、いちばん大きい値といちばん小さい値を選びます。

最大値がないことはありますか？

あります。グラフがどこまでも大きくなる場合や、0＜x＜1 のように端をふくまない範囲では、最大値がないことがあります。

最大値と極大値のちがいは？

最大値は定義域全体でいちばん大きい値、極大値はそのまわりだけで見ていちばん大きい値です。

なぜ場合分けが必要なのですか？

定義域や軸の位置に文字が入ると、軸が定義域に入るかどうかで、最大・最小をとる場所が変わるからです。

最大値・最小値は何年生で習いますか？

2次関数の最大値・最小値は高校の数学Ⅰで習います。中学では、関数の変域としてyの範囲を学びます。

出典・参考

  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編」数学Ⅰ（2次関数）・数学Ⅱ（微分・積分の考え）

最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦