定義域と値域とは？意味と求め方をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

定義域と値域とは？意味と求め方をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

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定義域と値域とは

関数 y=f(x)y=f(x) で、xx のとりうる値の範囲を定義域、それに対応してyy がとる値の範囲を値域といいます。中学校ではどちらも「変域」と呼びます。

読み方：ていぎいきとちいき／英語：domain / range／習う学年：中学1年（変域）、数学Ⅰ（定義域・値域）

うかるくん

うかるくん

y=x2y=x^2 で −1≤x≤2-1\le x\le2 なら、値域は 1≤y≤41\le y\le4 ですよね？

合格先生

合格先生

惜しい！ 途中に x=0x=0 がふくまれるから、yy は 0 まで下がるよ。値域は 0≤y≤40\le y\le4。グラフをかけばすぐ分かるね。

この用語のポイント

  • 定義域＝ xx の範囲、値域＝ yy の範囲（中学では「変域」）
  • 値域はグラフをかいて求める。端を代入するだけでは×
  • 定義域が書いていなければ、式が意味をもつ範囲

やさしく言うと

関数を「数を入れると、数が出てくる箱」と考えます。入れてよい xx の範囲が定義域、出てくる yy の範囲が値域です。身近なもので考えてみましょう。

  • エレベーター：10 階建てのビルのエレベーターで押せるのは 1〜10 のボタンだけです。「入れてよいもの」に決まりがあるのが定義域のイメージです。
  • 入場料のきまり：「小学生 500 円、中学生以上 1000 円」の施設なら、年齢を入れると料金が出てきます。出てくる料金は 500 円か 1000 円のどちらかで、700 円は出てきません。出てくるものの集まりが値域です。
  • 水そうに水を入れる：1 分に 2L ずつ、10 分まで水を入れるとき、時間 xx は 0≤x≤100\le x\le10、水の量 yy は 0≤y≤200\le y\le20 です。時間の範囲が決まると、水の量の範囲も決まります。
−101, 2（など） 定義域 y ＝ x² 101, 4（など） 値域 入れる → 出てくる
入れる x の集まりが定義域、出てくる y の集まりが値域

中学校では、どちらもまとめて変域（xx の変域・yy の変域）と呼びます。高校では「定義域」「値域」と呼び分けます。まとめると、定義域は「入口の範囲」、値域は「出口の範囲」です。

例：y=x2y=x^2（−1≤x≤2-1\le x\le2）の値域

xyO −12 41 (−1, 1)(2, 4) 定義域（x の範囲）−1 ≦ x ≦ 2 値域（y の範囲）0 ≦ y ≦ 4 最小は x＝0 のy＝0（端ではない）
定義域 −1 ≦ x ≦ 2 のとき、値域は 0 ≦ y ≦ 4

端の値を代入すると x=−1x=-1 で y=1y=1、x=2x=2 で y=4y=4 です。でも、定義域の中に頂点 x=0x=0 がふくまれるので、最小値は y=0y=0。値域は 0≤y≤40\le y\le4 です。「端を代入するだけ」では 1≤y≤41\le y\le4 とまちがえます。必ずグラフをかいて確かめましょう。

ひらめいたうかるくん

うかるくん

端を入れるだけじゃダメなんだ。グラフの「いちばん低い所」が中にあるか見ればいいのか！

指さして説明するうかるくん

うかるくん

値域はグラフをかいて、いちばん上と下を見るとまちがえにくいよ。

図で見る：グラフから読む

値域は、定義域の部分だけのグラフを、yy 軸に写した影だと考えると分かりやすくなります。1次関数なら、グラフはまっすぐなので、両はしの点が最大と最小になります。

xyO 62 2 (0, 6)(2, 2) y ＝ −2x ＋ 6 x の変域0 ≦ x ≦ 2 y の変域2 ≦ y ≦ 6 右下がりなのでx が小さいほどy は大きい
右下がりの直線では、x＝0 のときが y の最大

右下がりのときは、xx が小さいほうが yy は大きくなります。yy の変域を書くときは、小さいほうを左に書きます。

次は、反比例 y=1xy=\dfrac1x の x>0x>0 の部分です。xx を大きくすると yy は 0 に近づきますが、0 にはなりません。

xyO (1, 1) (4, 0.25) y ＝ 1/x（x ＞ 0） 値域 y ＞ 0 y は 0 に近づくが、0 にはならない （y＝0 は白丸＝ふくまない）
y＝1/x（x＞0）の値域は y＞0。0 はふくまない
サクラちゃん

サクラちゃん

yy がどんどん 0 に近づくなら、値域に 0 を入れてもいいんじゃないですか？

合格先生

合格先生

近づくだけで、ちょうど 0 になる xx はないよね。1x=0\dfrac1x=0 をみたす xx はないから、0 は値域に入らないんだ。値域は「実際に出てくる値」だけだよ。

定義域が書いていないとき

問題に定義域が書いていなければ、式が意味をもつ xx 全体を定義域と考えます。

○ 定義域・値域の正しい決め方

  • y=x−1y=\sqrt{x-1} → x≥1x\ge1（ルートの中は0以上）
  • y=1xy=\dfrac{1}{x} → x≠0x\ne0（分母は0にできない）
  • y=log⁡2xy=\log_2 x → x>0x>0（真数は正）
  • y=1x−3y=\dfrac{1}{x-3} → x≠3x\ne3（分母が0になる xx をのぞく）
  • y=2x+1y=2x+1 → すべての実数（どんな xx も入れられる）

× よくあるまちがい

  • y=x−1y=\sqrt{x-1} の定義域を「すべての実数」とする
  • y=1xy=\dfrac1x の値域に y=0y=0 を入れる
  • y=x2y=x^2 の値域を「すべての実数」とする（y≥0y\ge0）
  • y=xy=\sqrt{x} の値域に負の数を入れる
  • 文章題の「個数」xx に、負の数や小数を入れる

文章題では、場面から決まる定義域にも気をつけます。長さや時間は 0 以上、個数や人数は 0 以上の整数です。

値域の求め方の手順

  1. 定義域を確かめる（書いていなければ、式が意味をもつ範囲を考える）。
  2. グラフの形をつかむ：1次関数なら直線、2次関数なら平方完成して頂点を出す。
  3. 定義域の部分だけのグラフをかく。頂点が中にあるかどうかを見る。
  4. いちばん低い所といちばん高い所の yy を読む。はしが「＜」なら、その値はふくまない。
関数定義域値域
y=−2x+6y=-2x+60≤x≤20\le x\le22≤y≤62\le y\le6
y=x2y=x^2−1≤x≤2-1\le x\le20≤y≤40\le y\le4
y=x2y=x^21≤x≤21\le x\le21≤y≤41\le y\le4
y=1xy=\dfrac1xx>0x>0y>0y>0
y=xy=\sqrt{x}x≥0x\ge0y≥0y\ge0

2行目と3行目を比べると、同じ y=x2y=x^2 でも、頂点 x=0x=0 が定義域に入るかどうかで値域が変わることが分かります。

テスト・入試ではこう出る

中学1年の比例・反比例、中学2年の1次関数、中学3年の y=ax2y=ax^2 で「変域」として出てきます。高校入試では、xx の変域から yy の変域を求める問題や、逆にyy の変域から係数を求める問題が定番です。高校の数学Ⅰでは2次関数の値域・最大最小、数学Ⅱ・Ⅲでは指数・対数・分数関数などの定義域と値域が問われます。

例題1（中学：1次関数の変域）

1次関数 y=−2x+6y=-2x+6 で、xx の変域が 0≤x≤20\le x\le2 のとき、yy の変域を求めなさい。

  1. 1次関数なので、両はしの xx を代入すればよい。
  2. x=0x=0 のとき y=−2×0+6=6y=-2\times0+6=6。
  3. x=2x=2 のとき y=−2×2+6=2y=-2\times2+6=2。
  4. 小さいほうを左に書く。

答え　2≤y≤62\le y\le6（「6≤y≤26\le y\le2」と書かないこと）

例題2（高校：2次関数の値域）

関数 y=x2−4x+5y=x^2-4x+5（0≤x≤30\le x\le3）の値域を求めなさい。

  1. 平方完成：y=x2−4x+5=(x−2)2+1y=x^2-4x+5=(x-2)^2+1。頂点は (2, 1)(2,\ 1)。
  2. 頂点の x=2x=2 は定義域 0≤x≤30\le x\le3 の中にあるので、最小値は 1。
  3. 両はしの値：x=0x=0 で y=5y=5、x=3x=3 で y=2y=2。大きいほうの 5 が最大値。

答え　1≤y≤51\le y\le5（x=2x=2 で最小値 1、x=0x=0 で最大値 5）

両はしの値だけで「2≤y≤52\le y\le5」とすると×。頂点が中にあるかを、まず確かめます。

「ここが大事！」と説明する合格先生

合格先生

2次関数は「頂点が定義域の中か外か」。これを最初に確かめるのが鉄則だ！

まちがえやすい点

腕でバツを作る合格先生

合格先生

端の値を代入しただけで値域を答えるのは×。グラフをかいて、いちばん低い所と高い所を探そう！

  • 端の値だけで値域を出す：2次関数は、定義域に頂点が入るかどうかで最大・最小が変わります。例題2で「2≤y≤52\le y\le5」とするのが、このまちがいです。
  • 端の「≦」と「＜」を取り違える：定義域が −1<x≤2-1<x\le2 なら、x=−1x=-1 のときの値は値域にふくみません（ミニ問題3）。
  • 右下がりのときに大小を逆に書く：y=−2x+6y=-2x+6（0≤x≤20\le x\le2）で「6≤y≤26\le y\le2」と書くのは×。不等式は小さいほうを左に書きます。
  • 中学の y=ax2y=ax^2 で、xx の変域が 0 をまたぐとき：y=x2y=x^2（−3≤x≤1-3\le x\le1）の yy の変域は 0≤y≤90\le y\le9 です。両はしを代入しただけの「1≤y≤91\le y\le9」は×で、x=0x=0 をふくむので最小は 0 です。
  • 値域と終域を混同する（大学）：大学の数学では「実際に出てくる値の集合（像）」と「行き先として決めた集合（終域）」を区別し、「値域」をどちらの意味で使うかは本によって揺れがあります。高校では、実際にとる値の範囲を値域といいます。

ことばの由来

「定義域」は、関数が定義されている（決められている）領域という意味で、英語では domain（領地・範囲）といいます。「値域」は関数の値がとる領域という意味で、英語では range（範囲）といいます。

ミニ問題

問題1　1次関数 y=3x−1y=3x-1 で、xx の変域が −1≤x≤2-1\le x\le2 のとき、yy の変域を答えましょう。

答えと解き方を見る

−4≤y≤5-4\le y\le5 です。x=−1x=-1 のとき y=−4y=-4、x=2x=2 のとき y=5y=5。右上がりなので、両はしの値がそのまま最小と最大になります。

問題2　関数 y=4−xy=\sqrt{4-x} の定義域と値域を答えましょう。

答えと解き方を見る

定義域は x≤4x\le4、値域は y≥0y\ge0 です。ルートの中は 0 以上なので 4−x≥04-x\ge0、つまり x≤4x\le4。ルートの値は 0 以上で、x=4x=4 のとき y=0y=0、xx を小さくするといくらでも大きくなります。

問題3　関数 y=−x2+2x+3y=-x^2+2x+3（−1<x≤2-1<x\le2）の値域を答えましょう。

答えと解き方を見る

0<y≤40<y\le4 です。

  1. 平方完成：y=−(x−1)2+4y=-(x-1)^2+4。上に凸で、頂点は (1, 4)(1,\ 4)。
  2. x=1x=1 は定義域の中なので、最大値は 4。
  3. はしの値：x=−1x=-1 で y=0y=0、x=2x=2 で y=3y=3。小さいほうは x=−1x=-1 の 0 だが、x=−1x=-1 は定義域にふくまれない（−1<x-1<x）。

だから y=0y=0 はとらず、0<y≤40<y\le4 です。等号の有無まで確かめる問題です。

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よくある質問

定義域と値域のちがいは？

定義域はxのとりうる値の範囲、値域はyがとる値の範囲です。関数を箱にたとえると、入れる数の範囲が定義域、出てくる数の範囲が値域です。

変域と定義域・値域は同じですか？

中学校ではxの変域・yの変域と呼び、高校ではxの変域を定義域、yの変域を値域と呼びます。意味は同じです。

値域はどうやって求めますか？

定義域の範囲でグラフをかき、yのいちばん小さい値と大きい値を読みます。2次関数では、頂点が定義域に入るかどうかに注意します。

定義域が書いていないときはどうしますか？

式が意味をもつxの範囲全体を定義域と考えます。ルートの中は0以上、分母は0以外、対数の真数は正です。

y＝1/x の値域に0は入りますか？

入りません。xを大きくするとyは0に近づきますが、ちょうど0になるxはないからです。

1次関数のyの変域はどう求めますか？

xの変域の両はしの値を代入して、小さいほうを左、大きいほうを右に書きます。右下がりのときは大小が入れかわるので注意します。

出典・参考

  • 文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）解説 数学編」第1学年 C 関数（変域）
  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編」数学Ⅰ（2次関数）

最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦